微积分――极限计算

1、一、数列极限计算 1.单调有界准则(掌握例题和习题) 2.夹逼定理(掌握例题和习题) 3.利用函数极限计算方法,第四节 极限的计算,二、函数极限计算 (一)一般极限计算 利用代入法、复合函数极限计算方法和极限四则运算法则直接进行计算。,：(1)上下同除最大项(抓大头) (2)罗比达法则,1.,2.,：(1)约零因子(基本方法) (2)分解因式(基本方法) (3)根式有理化(基本方法) (4)等价无穷小代换（重点、难点） (5)罗比达法则(重点) (6)三角变换(辅助方法) (7)变量替换(适当掌握),(二)未定式的计算,3.,： （1）根式有理化,（2）通分,4.,： 化为 、,5.,（1）

2、化为,（2） 利用重要极限,一、数列极限计算 1.使用单调有界准则求极限,步骤：（1）利用数学归纳法证明数列“单调”、 “有界”，从而证明极限存在； （2）利用 求出极限。 技巧：先猜测（数列的单调性和界），再证明。,例,求数列,的极限.,解：,1.存在性,令,(1)单调性,时,设,时,时,故对一切正整数,有,所以数列递增.,(2)有界性,时,时,设,时,故对一切正整数,有,所以,数列有界.,综上所述,数列极限存在.,(2)求值,设,将,两边求极限,得,即,故,2.使用夹逼定理求极限,方法：通过放缩，得到两个“方便计算”且“极限 相同”的数列。 技巧：动小不动大。,例,求,解,因为,且,所以,

3、原式,例,求,解,因为,且,所以,原式,二、函数极限计算 (一)一般极限计算 利用代入法、极限四则运算法则和复合函数极限计算方法直接进行计算。,1.一些常见结果,（1）极限不为零的因子可以分离单独计算,（2）极限存在的和式可以拆分单独计算,2.四则运算法则的灵活运用分离常量,：上下同除最大项(抓大头),1.,(二)未定式的计算,例1,求,解,原式,例2,求,解,原式,或,原式,例3,求,解,原式,例4,例5,例6,例7,例8,例,求,解,原式,2.,：(1)约零因子(基本方法),例1,求,解,原式,(2)分解因式(基本方法),例2,求,解,原式,例1,求,解,原式,(3)根式有理化(基本方法)

4、,例2,求,原式,(3) 等价无穷小代换(重点、难点),若，在x的某变化过程下有,常见的等价无穷小,则：,代换原理,1.寻找等价因子。,2. 判断 极限是否为零。,3. 代换为极限为零的 。,代换步骤,例1,例2,例2,例3,例1,注1：自变量的变化过程不影响代换。,注意事项,例2,例3,正解,例4,解,错,无法替换,注3：只换因子不换和差。,并不等价,例4,解,例1,解题技巧,技巧1：拆分、合并,例2,例3,技巧2：提取因子,（5）罗比达法则,使用方法,对于 型求极限问题，有,例1,例2,注1 罗比达法则可以反复使用,例1,例2,注意事项,注2：罗比达法则可能失效,例3,极限不存在,例3,可见，罗比达法则失效。,例4,求,解,原式,继续下去，陷入循环，罗必塔法则失效.,正解,注3：罗比达法则最后再用,例5,在使用罗比达法则之前，应该先使用其他求极限的方法简化极限函数式，“走投无路”时再使用“最后法宝”。过早使用罗比达法则往往会极大地增加函数式的复杂程度。,(6)三角变换(辅助方法),例1,例1,(7)变量替换,例1,崩溃！,例1,例1,求,解,原式,3.,（1）根式有理化,（2）通分,例2,求,解,原式,例1,求,解,原式,4.,：化为 、,例2,求,解,原式,例1,求,解,原式,5.