浙江省杭州市塘栖中学2014届高三数学一轮复习课件(理) 第11章11.6 双曲线剖析

1、11.6 双曲线,D,A,A28 B14-8 C14+8 D8,_,_,1.双曲线的定义 平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值为常数2a(且 )的点的轨迹叫双曲线，有|MF1|-|MF2|=2a. 在定义中，当2a=|F1F2|时表示两条射线，当 时，不表示任何图形.,02a|F1F2|,2a|F1F2|,2.双曲线的标准方程 (1)焦点在x轴上的双曲线: ,其中 ,焦点坐标为F1(-c,0),F2(c,0)； (2)焦点在y轴上的双曲线: , (a0,b0)，其中c2=a2+b2，焦点坐标为F1(0,-c),F2(0,c).,c2=a2+b2,3.双曲线 (a0,b0)的几何性质 (1

2、)范围： ,yR； (2)对称性：对称轴x=0,y=0， 对称中心(0，0)； 一般规律：双曲线有两条对称轴，它们分别是两焦点连线及两焦点连线段的中垂线.,|x|a,(3)顶点:A1(-a,0),A2(a,0);实轴长 ,虚轴长 ; 一般规律：双曲线都有两个顶点，顶点是曲线与它本身的对称轴的交点. (4)离心率 ( )；双曲线的离心率在(1,+)内，离心率确定了双曲线的形状.,|A1A2|=2a,|B1B2|=2b,e1,(5)渐近线：双曲线 的两条渐近线方程为 ；双曲线 的两条渐近线方程为 . 双曲线有两条渐近线，它们的交点就是双曲线的中心；焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b;有公共渐近线的两

3、条双曲线可能是:a.共轭双曲线；b.放大的双曲线；c.共轭放大或放大后共轭的双曲线.,已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中的“1”为“0”就得到两条渐近线方程，即方程 就是双曲线 的两条渐近线方程.,考点1：双曲线的定义及应用 例题1：如果双曲线 上一点P到双曲线右焦点的距离是10，那么点P到左焦点的距离为( ) A.6 B.14 C.6或14 D.2或18,C,解析:因为|PF1|-|PF2|=2a=4， |PF2|=10，所以|PF1|=6或14，故选C.,点评：本小题主要是应用双曲线的第一定义求解问题.,拓展训练：已知动圆M与圆C1:(x+5)2+y2=4

4、9和圆C2:(x-5)2+y2=1都外切，求动圆圆心M的轨迹方程. 解析：设动圆半径为R,则 |MC1|=R+7 |MC2|=R+1, 则|MC1|-|MC2|=6,可知动点M的轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线的右支，其方程为 (x0).,例题2:根据下列条件，分别求出双曲线的标准方程： (1)与双曲线 有共同的渐近线，且过点 解析：(1)方法1：由双曲线的方程得 a=3,b=4, 所以渐近线方程为,考点2 求双曲线的标准方程,当x=-3时， 所以所求的双曲线的焦点在x轴上. 设所求双曲线的方程为 由题意， 得 所以所求双曲线的方程为,解得,方法2：双曲线 的渐近线方程为 所以设所求双曲线的方

5、程为 将点 代入得 故所求双曲线的方程为 即,(2)与双曲线 有公共焦点，且过点 解法1：设所求双曲线的方程为 由题意易求得 又双曲线过点 所以 因为 所以a2=12,b2=8. 故所求双曲线的方程为,方法2： 设所求双曲线的方程为 将点 代入得k=4, 所以所求双曲线的方程为,待定系数法求双曲线方程最常用的设法： （1）与双曲线 有共同渐近线的双曲线方程可设为 （t0）； （2）若双曲线的渐近线方程为 则双曲线方程可设为 (t0)； （3）与双曲线 共焦点的双曲线方程可设为 (-b2k0)共焦点的双曲线方程可设为 (b20)的两个焦点的连线互相垂直，且与两个顶点连线的夹角为 求双曲线的方程.

6、 解析：设F1、F2为双曲线的两个焦点， 依题意，它的焦点在x轴上.,拓展训练：,因为PF1PF2,且|OP|=6, 所以2c=|F1F2|=2|OP|=12,所以c=6. 又P与两顶点连线的夹角为 所以 所以b2=c2-a2=24, 故所求双曲线的方程为,考点3：双曲线的几何性质 例题3：如图，F1和F2分别是 双曲线 (a0,b0)的两个焦点， A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为( ),A. B. C. D.,解析：连接AF1.由题意得F1AF2=90,AF2F1=30, |F1F2|=2c,|AF1|=c,|AF

7、2|= c, 2a=|AF2|-|AF1|= c-c, 则双曲线的离心率为 故选D.,点评：本题的关键是将平面几何的性质转化为双曲线的特征量之间的关系.,已知F1,F2为双曲线 (a0,b0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且PF1F2=30，则双曲线的渐近线方程为 .,拓展训练：,解析：方法1：设F2(c,0)(c0),P(c,y0), 则 解得 所以 在RtPF1F2中，PF1F2=30 所以|F1F2|= |PF2|,即 又c2=a2+b2, 故有b2=2a2,所以 故所求双曲线的渐近线方程为,方法2：|PF1|=2|PF2|, 由双曲线的定义可知|PF1|-|PF2|=

8、2a, 得|PF2|=2a. 因为|PF2|= 所以 所以b2=2a2, 所以 故双曲线的渐近线方程为,考点4：双曲线的综合应用 例题4：已知双曲线C： (00, 所以 且k22,得x1x2+y1y22, 所以 即 解得 综合， 得k的取值范围为,1.a,b,c有关系式c2=a2+b2成立，且a0, b0,c0.其中a与b的大小关系，可以为a=b, ab. 2.双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”（两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点），“四线”（两条对称轴、两条渐近线），“两形”（中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形，双曲线上一点和两焦点构成的三角形）研究它们之间的相互联系.,3.椭圆是封闭性曲线，而双曲线是开放性的.又双曲线有两支，故在应用时要注意在哪一支上. 4.根据方程判定焦点的位置时，注意与椭圆的差异性. 5.求双曲线的标准方程时应首先考虑焦点的位置，若不确定焦点的位置时，需进行讨论，或可直接设双曲线的方程为Ax2+By2=1(AB0).,6.与双曲线 共渐近线的双曲线方程为 (0). 7.双曲线的形状与e有关系: e