慨率论与数理统计课件

1、46,第4章 方差分析 正交试验设计,47,多快好省地生产,科学地生产,化最少的成本,谋取最大的效益,是人们不懈的追求！,现有的生产过程能否改进?产品的质量是否还能提高?,让我们从方差分析正交试验设计中去寻找答案吧,48,引例,寻找某化工产品的最佳生产方案,水平1,水平2,水平3,80,85,90,35,48,55,甲,乙,丙,安排9次试验，结果如下：,49,50,4.1 一元方差分析,4.1,一元方差分析用于考察某因素(多水平),对试验结果有无显著影响.,不同体育活动对儿童身高有无显著影响.,例1,51,参与每一种体育活动的学生身高指标,设等方差母体,作假设,可用 检验法.,构成一个母体,共

2、有3个母体,从各母体中取,一子样(容量可以不等).,即检验3个母体,检验不同体育活动,对儿童身高有无显著影响,均值是否相等.,一般数学模型,检验 次,很繁.,故采用离差分解法.,检验相邻两母体均值是否相等,需要,52,组内平均,将每个子样看成一个组,离差分解式,总平均,总离差平方和,组内离差平 方 和,组间离差平 方 和,53,推导,反映各组内,由 引起的抽样误差,反映组间各母体均值不同引起的误差加上抽样误差,推导,54,分解定理 (柯赫伦定理),的非负二次型, 则,证,必要性显然,下证充分性.,分解定理,设,其中,设,由于,的秩为,故存在线性变换,55,使得,记,则有,由于, 即,为正交阵,

3、为正交变换,由正态变量在正交,变换下的不变性得,由(1)式得,56,通过比较,离差分解式,和,的数值来检验假设,令,其中,令,记,则,于是,57,进而,令,于是，,和,可表示成,58,59,显然,故,记,称 组内均方离差,称 组间均方离差,60,计算各平方和的自由度,的自由度为,的自由度为,的自由度为,对n个变量,仅有1个约束条件,r个约束条件是,1个线性约束条件：,61,由此得,因此,当假设 为真时, 各,由分解定理得,且,与,相互独立，,由F分布的定义，,62,给定显著性水平,当假设,不成立时，,成立时，,使,若,由子样值计算 的数值，,则,拒绝,接受,计算 的数值用方差分析表,因素对结果

4、,有影响,无影响,63,单因素方差分析表,值,均方离差,离差平方和,方差分析表,64,离差平方和的常用计算式,其中,第 个子样观察值之和,第 个子样观察值之平方和,常用计算式,65,例1,例1,给定,考察不同体育活动对儿童,身高有无显著影响.,解,设,作假设,按题意,66,67,单因素方差分析表,组间,组内,总和,分析表,查附表(P.270)得,因为,拒绝,即认为不同体育,活动对儿童身高有显著影响.,68,若假设,不成立,有时需要对 作,区间估计.,由,又,故,69,于是,的置信度为,的置信区间为,70,例2,例2,对例1中任两母体均值差作区间估计，,解,取,71,的置信度为,的置信区间为,的

5、置信度为,的置信区间为,的置信度为,的置信区间为,相仿得,简化计算,对观察值作变换,其中,73,解,例1,取,作变换,得下表,74,解,作假设,按题意,75,最终所得数据与例1完全一样.,76,误差平方和的分解,第i个水平的误差平方和,误差方差,的估计式,77,例3,例3,在单因子试验中,因子A 有 3个水平,每个水平下重复次数分别为 4 , 5 , 6. 则,误差平方和、A 的平方和及总的平方和,的自由度各是多少？,78,解,因子水平数,误差平方和,总试验次数 n =4+5+6=15,因而有,的自由度,因子A平方和,的自由度,总平方和,的自由度,79,例4,例4,在单因子试验中,因子A 有4个水平,每个水平下各重复3 次试验, 已知每个水,平下, 试验结果的子样标准差,1.5 2.0 1.6 1.2,(1) 求误差平方和,(2) 求误差方差,的估计值.,分别为,80,解,因子水平数,每个水平下的试验,于是,次数,由以下各水平下的误差平方,组成：,(1),7-39,习题,作业