控制系统的数学模型.ppt

1、2.1系统的数学模型2.2数学模型的线性化2.3拉氏变换及其反变换2.4传递函数及典型环节的传递函数2.5系统的方块图及其联接2.6基于MATLAB的控制系统建模2.7控制系统模型的转化与连接,CH2控制系统的数学模型,对于一个控制系统，在一定的输入作用下有些什么运动规律，我们不仅希望了解其稳态情况，更重要的是了解其动态过程。如果能将物理系统在信号传递过程中的这一动态特性用数学表达式描述出来，就得到了组成物理系统的数学模型。,2.1系统的数学模型,一、数学模型的定义描述系统输入、输出变量及内部各变量之间相互关系的数学表达式，称为系统数学模型。,二、数学模型的种类控制系统常用的数学模型有：微分方

2、程、差分方程、传递函数、状态空间模型等,三、数学模型的建立方法建立数学模型通常有两种方法，即解析法和实验法。解析方法根据系统各环节所遵循的物理或化学规律分别列写相应的运动方程，这种方法要求明确系统的结构和特性。,实验方法指对系统加入激励信号，测出其响应信号，再经分析、拟合以辨识系统的数学模型。这种方法也称为系统辨识。,本章注重讨论解析法建立物理系统的数学模型。,数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑。,建立控制系统的数学模型，并在此基础上对控制系统进行分析、综合，是控制工程的基本方法。,微分方程（时间域）,代数方程（复数域）,传递函数,方块图,信号流图,微

3、分方程模型是在时域中描述系统（或元件）动态特性的数学模型，它是一种最基本的数学模型，利用它可得到描述系统（或元件）动态特性的其它形式的数学模型。,微分方程模型,实例,质量-弹簧-阻尼系统无源电路网络电枢控制直流电动机,例1质量-弹簧-阻尼系统,例2无源电路网络,例3电枢控制式直流电动机,将上面四个方程联立，可得,列写系统微分方程的一般步骤：,将系统划分环节，确定各环节的输入及输出信号，每个环节列写一个方程；根据物理定律或通过实验得出的物理规律列写各环节的原始方程，并适当简化，线性化；将各环节方程式联立，削去中间变量，最后得到只含有输入、输出变量以及参量的系统方程式。,单输入、单输出系统微分方程

4、的一般形式：,2-2数学模型的线性化,实际系统一般都有非线性现象：,严格讲：所有系统都是非线性的,尽管线性系统的理论已经相当成熟，但非线性系统的理论还远不完善。另外，迭加原理不适用于非线性系统，这给解非线性系统带来很大不便。故我们尽量对所研究的系统进行线性化处理，然后用线性理论进行分析。,严格讲：所有系统都是非线性的,线性化的两个条件：,非线性因素对系统影响很小系统变量只发生微小偏移，可通过切线法进行线性化，求其增量方程,单摆,线性化步骤：,找出静态工作点（工作点不同，所得方程系数也不同）在工作点附近展开成台劳级数略去高阶项，得到关于增量的线性化方程,2-3拉氏变换及反变换一种解线性微分方程的

5、简便方法,拉氏变换的定义简单函数的拉氏变换拉氏变换的性质拉氏变换的反变换应用拉氏变换求解常系数线性微分方程,是分析工程控制系统的基本数学方法,微分方程（时间域）,代数方程（复数域）,一、拉氏变换定义：,对于函数，满足下列条件,象函数,原函数,复变量量纲,二、简单函数的拉氏变换,单位阶跃函数指数函数正弦函数与余弦函数单位脉冲函数单位速度函数单位加速度函数,单位阶跃函数,2.指数函数,单位脉冲函数(t),由洛必达法则：,所以：,单位速度函数（斜坡函数）,单位加速度函数,函数的拉氏变换及反变换通常可以由拉氏变换表直接或通过一定的转换得到。,应记住的一些简单函数的拉氏变换,原函数,象函数,SymstL

6、aplace(dirac(t)Laplace(heaviside(t)Laplace(t)Laplace(0.5*t2),一般情况下，L变换是以字母t为自变量，以其他字母作为参数来进行变换，这些均为字符变量。,下面计算exp(at)和sin(wt)的拉氏变换,Symsatwxf1=laplace(exp(a*t)f2=laplace(sin(w*t),三、拉氏变换的性质,线性性质微分定理积分定理衰减定理延时定理初值定理终值定理周期函数的象函数卷积分的象函数,三、拉氏变换的性质,叠加性质,微分定理,证明：由于,即：,所以：,两个重要推论：,拉氏变换微分性质的应用,积分定理,两个推论：,4衰减定理

7、,5延时定理,6初值定理,初值定理建立了函数f(t)在t=0+处的初值与函数sF(s)在s趋于无穷远处的终值间的关系。,终值定理,终值定理说明f(t)稳定值与sF(s)在s=0时的初值相同。,7终值定理,8周期函数的象函数,9时间比例尺改变的象函数,10tx(t)的象函数,11卷积分的象函数,利用以上拉氏变换的性质以及已知典型函数的象函数，经常可以推导其它函数的象函数，也可以简化计算,四、拉氏反变换,拉氏反变换方法：,利用拉氏变换表（本书附录A）利用部分分式展开法，将一个复杂的象函数展开为一些简单的象函数的线性叠加，然后再利用已知函数的拉氏变换和拉氏变换的性质,控制系统象函数的一般形式：,将分

8、母因式分解后，包括三种不同的极点情况，采用部分分式法进行拉氏反变换,使分子为零的S值称为函数的零点,使分母为零的S值称为函数的极点,三种不同的极点情况,1、只含有不同单极点情况：,2、含有共轭复极点情况：,可通过配方，化成正余弦象函数的形式，再取其反变换,3、含有多重极点情况：,其中的求法：,五、用拉氏变换解常系数线性微分方程,例11：求解微分方程组：；初始条件：,六、用拉氏变换解常系数线性微分方程组,用拉氏变换解微分方程的步骤：,对微分方程进行拉氏变换；作因变量的拉氏反变换，求出微分方程的时间解。,2-4传递函数及典型环节的传递函数,传递函数的定义传递函数的性质传递函数的优点典型环节的传递函

9、数特征方程、零点和极点,零初始条件：,t0时，输入量及其各阶导数均为0；,输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即t0时，输出量及其各阶导数也均为0；,一、传递函数定义：在零初始条件下，线性定常系统输出象函数与输入象函数之比。,定义：当初始状态为零时，线性定常系统输出量与输入量的拉氏变换之比，称为系统传递函数。,例12求传递函数,例13求传递函数,例14：如图所示电路。输入ui，输出uo，求系统传函。,传递函数求取步骤：,1、写出系统的线性或线性化微分方程。,2、对微分方程进行拉氏变换并令其初始条件为零。,3、求输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，即为系统传函。,传递函数的几点说明

10、1、传递函数的概念，只适用于初始状态为零时的线性定常系统。2、同一系统选取不同物理量作为输入、输出时，传递函数不同。3、传递函数的分母、分子分别反映了系统本身的固有特性和系统与外界的联系。,二、传递函数的性质,关于传递函数的性质，换句话说：,传递函数分母代表系统的固有特性,分子代表输入与系统的关系传递函数与具体物理结构无关,关于传递函数的几个术语,注意：开环传递函数是闭环控制系统一个重要概念，它并不是开环系统的传递函数，而是指闭环系统的开环。,闭环传递函数,思考：单位反馈？,传函的零点和极点：,根据多项式定理，传递函数的一般形式也可写成：,式中，B(s)=b0(s-z1)(s-z2)(s-zm

11、)=0的根s=zi(i=1,2,m)，称为传递函数的零点；影响瞬态响应曲线的形状，不影响系统稳定性,A(s)=a0(s-p1)(s-p2)(s-pn)=0的根s=pj(j=1,2,n)，称为传递函数的极点；决定系统瞬态响应曲线的收敛性，即稳定性,系统传递函数的极点就是系统的特征根。零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。,系统传递函数的分母多项式称为特征多项式，A(S)=0称为特征方程，极点称为特征根。,特征方程决定着系统的动态特性。A(s)中s的最高阶次等于系统的阶次。,式中，K称为系统的放大系数或增益。,当s=0时：G(0)=bm/an=K,从微分方程的角度看，此时相当于所有的导数项都为

12、零。因此K反应了系统处于静态时，输出与输入的比值。,零、极点分布图,将传递函数的零、极点表示在复平面上的图形称为传递函数的零、极点分布图。图中，零点用“O”表示，极点用“”表示。,分别令分子、分母为零，得到1个零点，3个极点：,三、传递函数的优点,四、典型环节的传递函数,环节,具有某种确定信息传递关系的元件、元件组或元件的一部分称为一个环节。经常遇到的环节称为典型环节。,任何复杂的系统总可归结为由一些典型环节所组成。,典型环节包括:,比例环节一阶惯性环节微分环节积分环节二阶振荡环节,比例环节,输出量不失真、无惯性地跟随输入量，两者成比例关系。,时间域方程,2一阶惯性环节,时间域方程,时间常数,

13、凡运动方程为一阶微分方程：,形式的环节称为惯性环节。其传递函数为,例17,微分环节理想微分环节,4积分环节,含有两个独立的储能元件，且所存储的能量能够相互转换，从而导致输出带有振荡的性质，控制方程为：,传递函数：,式中，T振荡环节的时间常数阻尼比，对于振荡环节，01K比例系数,5二阶振荡环节,振荡环节传递函数的另一常用标准形式为（K=1）：,n称为无阻尼固有频率。,如：质量-弹簧-阻尼系统,传递函数：,式中，,系统传递函数的一般形式,小结,环节是根据微分方程划分的，不是具体的物理装置或元件；,一个环节往往由几个元件之间的运动特性共同组成；,同一元件在不同系统中作用不同，输入输出的物理量不同，可

14、起到不同环节的作用。,在控制工程领域，人们习惯于用方块图说明和讨论问题，方块图是系统中各个元件功能和信号流向的图解表示，它清楚地表明系统中各个环节间的相互关系，便于对系统进行分析和研究。,方块图及其变换,1方框图的概念方框图也是描述系统的一种数学模型，构成方框图的基本符号有四种:,例18：求图示系统闭环传函。,例19：如图所示无源RC电路网，设输入端电压ui(t)，输出端电压为uo(t),画出相应方框图。,解：根据基尔霍夫定律：,零初始条件下，进行拉氏变换，得,2系统方框图的建立,Uo(S),Ui(S),I(S),+,即,2系统方框图的建立建立物理系统方框图的基本步骤：1、确定系统输入和输出变

15、量；2、列写关于中间变量的原始微分方程组；3、对微分方程组进行拉氏变换，得到相应的S空间代数方程组；4、按照信号在系统中的因果关系，依次将各元件的方框图连接起来，从左向右画出。,3串联,4并联,5反馈,+,-,联立并削去中间变量,+,系统输入Xi(s)系统输出Xo(s)反馈信号B(s):B(s)=Xo(s)H(s)偏差信号E(s):E(s)=Xi(s)-B(s),单位反馈：若H(S)=1，则系统称为单位反馈系统。,对于复杂控制系统，其方框图甚为复杂，为便于分析和计算，需将其化简。通常化简方法有：方框图等效化简利用梅逊增益法化简(自学),6方块图化简,分支点与相加点的变换,分支(引出)点的移动前

16、移，后移相加(比较)点移动前移，后移,分支点前移,Movingapickoffpointaheadofablock,分支点后移,Movingapickoffpointpastablock,相加点前移,Movingasummingjunctionaheadofablock,相加点后移,Movingasummingjunctionpastablock,例20：简化如图所示系统方框图,1）分支点后移。,2）串联、反馈环节合并。,3）相加点前移。,4）相加点A、B可合并，再分解，即A、B交换位置。,5）反馈环节、串联环节合并。,6）反馈环节合并。,对线性定常系统，式中s的系数均为常数，且a0不等于零，

17、这时系统在MATLAB中可以方便地由分子和分母系数构成的两个向量唯一地确定出来，这两个向量分别用num和den表示：num=b0,b1,bmden=a0,a1,an注意：它们都是严格按s的降幂进行排列的。,一、连续系统的传递函数模型如前所述，在零初始条件下，微分方程两边同时进行拉氏变换，则有连续系统的传递函数如下：,2.6基于MATLAB的控制系统建模,然后利用下面的语句就可以表示这个系统sys=tf(num,den)其中tf()代表采用传递函数形式建立系统模型。,举例：传递函数描述1）,num=12,24,0,20;den=24622;,SYS=tf(num,den),tf(num,den,

18、inputdelay,3),2）,借助多项式乘法函数conv来处理：num=4*conv(1,2,conv(1,6,6,1,6,6);den=conv(1,0,conv(1,1,conv(1,1,conv(1,1,1,3,2,5);,当传递函数复杂时，应用多项式乘法函数conv()等实现。,零极点模型实际上是传递函数模型的另一种表现形式，其原理是分别对原系统传递函数的分子、分母进行分解因式处理，以获得系统的零点和极点的表示形式。,在MATLAB中零极点增益模型用z,p,K矢量组表示。即：z=z1,z2,zmp=p1,p2,.,pnK=k,二、零极点增益模型,K为系统增益，zi为零点，pj为极点

19、,建立零极点形式数学模型的函数zpk()：,(1)sys=zpk(z,p,k)(2)sys=zpk(z,p,k,inputdelay,tao),前者建立常规系统零极点形式的数学模型，后者建立的是有时间延迟系统的零极点形式数学模型。,提取模型中零极点和增益的函数zpkdata()：,分析控制系统过程中，经常要求对系统函数进行分解，使其表现为一些基本控制单元的和的形式。传递函数表示成为部分分式形式,三、部分分式展开模型,式中，pi(i1，2，n)为该系统的n个极点，与零极点形式的n个极点是一致的，rj(j1，2，n)是对应各极点的留数；h(s)则表示传递函数分子多项式除以分母多项式的余式，若分子多

20、项式阶次与分母多项式相等，h为标量，若分子多项式阶次小于分母多项式阶次，该项不存在。,函数r,p,k=residue(num,den)对两个多项式的比进行部分展开，以及把传函分解为微分单元的形式。,向量b和a是按s的降幂排列的多项式系数。部分分式展开后，余数返回到向量r，极点返回到列向量p，常数项返回到k。,num,den=residue(r,p,k)可以将部分分式转化为多项式比p(s)/q(s)。,传递函数模型部分分式展开函数residue,num=2,0,9,1;den=1,1,4,4;r,p,k=residue(num,den),p=0.0000+2.0000i0.0000-2.0000

21、i-1.0000,k=2,r=0.0000-0.2500i0.0000+0.2500i-2.0000,结果表达式：,部分分式展开：,(一)微分方程与传递函数形式微分方程的模型参数向量与传递函数的模型参数向量完全一样，所以微分方程模型在仿真中总是用其对应的传递函数模型来描述。,一、模型的转换,在一些场合下需要用到某种模型，而在另外一些场合下可能需要另外的模型，这就需要进行模型的转换。以上所述的几种数学模型可以相互转换，以适应不同的仿真分析要求。,2.7控制系统模型的转化与连接,(二)传递函数与零极点增益形式传递函数转化为零极点增益表示形式的关键，实际上取决于如何求取传递函数分子、分母多项式的根。

22、令,则两式分别有m个和n个相应的根zi(i1，2，m)和pj(j=1，2，n)，此即为系统的m个零点和n个极点。,求根过程采用MATLAB语言，可使模型转换过程变得十分方便。,MATLAB语言的控制系统工具箱中提供的关于模型转换函数有好几种，其中tf2zp()和zp2tf()，就是用来进行传递函数形式与零极点增益形式之间的相互转换的。如语句：,Z，P，Ktf2zp(num，den)表示将分子、分母多项式系数向量为num，den的传递函数模型参数经运算返回左端式中的相应变元，形成零、极点表示形式的模型参数向量Z、P、K。,同理，语句：num，denzp2tf(Z，P，K)表示将零、极点增益形式表

23、为传递函数有理多项式形式。,num=1,11,30,0;den=1,9,45,87,50;z,p,k=tf2zp(num,den),结果表达式：,零极点增益模型：,如：系统的零极点增益模型为：,%转换为传递函数模型：,z=-3;p=-1,-2,-5;k=6;num,den=zp2tf(z,p,k)num=00618den=181710,(三)部分分式与传递函数或零极点增益形式传递函数转化为部分分式，关键在于求取各分式的分子待定系数，即下式中的ri(i1，2，n):,单极点情况下，该待定系数可用以下极点留数的求取公式得到,MATLAB语言中有专门解决极点留数求取的功能函数，可以非常方便地得到我们

24、所需的结果。,语句：R，P，Kresidue(num，den)num，denresidue(R，P，K)就是用来将传递函数形式与部分分式形式的数学模型相互转换的函数。由上可知，数学模型可根据仿真分析需要建立为不同的形式，并且利用MATLAB语言能够非常容易地相互转换，以适应仿真过程中的一些特殊要求。,例：对于下列系统传递函数,分子分母表示为num0,1,3den1,3,2采用命令r,p,kresidue（num，den）,得到r，p，kresidue（num，den）r2000010000p100002.0000k,反之，利用下列命令num，denresidue（r,p,k）可以将部分分式展开

25、式返回到传递函数多项式之比的形式，即得到num，denresidue（r，p，k）num0.00001.00003.0000den=1.00003.00002.0000,当包含m重极点时，部分分式展开式将包括下列m项：,例对于下列系统传递函数,分子分母表示为num0,1,2,3den1,3,3,1采用命令r，p，kresidue（num，den）,得到num0123；den1331；r，p，kresidue（num，den）r1.00000.00002.0000p1.00001.0000l.0000k即,4）已知部分分式：%转换为传递函数模型：,r=-0.25i,0.25i,-2;p=2i,-2i,-1;k=2;num,den=residue(r,p,k)num=2091den=1144,sys=tf(num,den),1、并联：parallel功能：并联连接两个系统。说明：parallel函数按并联方式连接两个系统，它既适合于连续时间系统，也适合于离散时间系统。SYS=parallel(SYS1,