第4章 光在波导中的传播

1、第四章光在波导中的传播,光波被约束在确定的介质中传播时，由这种介质构成的光波通道称为光学介质波导，或简称为光波导,光通信的迅速发展，促进了对与之有密切联系的光波导技术的研究。光波导技术是一种以光的电磁场理论为基础，对光波实施限制和传输的技术。其中，介质波导和光纤是两种最常用和最重要的光波导。下面将以射线理论和电磁场理论分析光波在介质波导和光纤中的传导模式和传播特性，并介绍导波光学器件的典型应用。,第一节光在平板波导中的传播一、平板光波导的射线理论平板型波导是介质波导中最简单、最基本的结构，理论分析也具有代表性。故本节就平板型波导从射线理论和电磁场理论两个方面进行分析。,（一）导波与辐射模最简单

2、的平板型光波导是由沉积在衬底上的一层均匀薄膜构成（因而又叫做薄膜波导），如图4-1所示，它的折射率n1比覆盖层（通常为空气）的折射率n0及衬底层折射率n2都高，且n1n2n0。设薄膜厚度为h，沿y方向薄膜不受限，在薄膜与衬底的界面（下界面）上平面波产生全反射的临界角为，而在薄膜与覆盖层的界面（上界面）上平面波产生全反射的临界角为，根据全反射原理，有：,由于n2n0，所以，当平面波的入射角变化时，波导内可产生不同的波型。当入射角满足时，入射平面波在上下界面均产生全反射，此时形成的波称为导波。,只有导波能将能量集中在波导中导行，在平板型光波导中即是由导波来传输光能量的。而辐射模却通过界面向外辐射能

3、量，是不希望存在的寄生波。,当时，在下界面的全反射条件被破坏；当时，上下界面的全反射条件均被破坏。在这两种情况下均有一部分能量从波导中辐射出去，此时的波称为辐射模。,（二）平板光波导中的导波1.波的特征方程与横向谐振条件当平面波的入射角大于临界角时才能形成导波。但在的范围内，的取值并不是连续的，只有当入射角满足某些条件时，才能在薄膜中形成导波。图4-2表示平板波导中构成导波的平面波示意图，实线ABCD和ABCD代表平面波的两条射线。虚线BB和CC则代表向上斜射的平面波的两个波阵面，,图4-2平板波导中的平面波,所以B、B点应有相同的相位，C、C点也有相同的相位。可见由B到C和由B至C所经历的相

4、位变化之差为的整数倍。于是两射线的相位差为：,其中：,根据图中的几何关系，上式可变为：,式中n1、h是薄膜波导的参数，k0是自由空间的波数，它决定于工作波长，、与波导的结构参数n1、n2、n0和入射角有关。当波导和入射波长给定时，上式是关于未知数的方程，它确定了形成导波的入射角的条件，因而叫薄膜波导的特征方程。特征方程是讨论导波特性的基础。,全反射时相位变化,而对于TM波（即电场矢量E平行于纸面的p波），有：,从B到C，平面波在其传播方向上没有经历过反射，其相位变化了,而从B到C，平面波在B点和C点各经历了一次全反射。在C点（下界面）全反射时相位变化了，而在B点（上界面）全反射时相位变化了，这

5、里，相位变化都以反射波比入射波超前计算。根据全反射时相位变化公式，对于TE波（即电场矢量E垂直于纸面的s波），有：,特征方程中是薄膜中波矢量在x方向的分量，它是薄膜中的横向相位常数，可表示为：,于是特征方程可写为：,该式表明，由波导的某点出发，沿波导横向往复一次回到原处，总的相位变化应是的整数倍。这使原来的波加强，即相当于在波导的横向谐振，因而叫做波导的横向谐振条件。横向谐振特性是波导导波的一个重要特性。,2导波的模式对给定的波导、工作波长和整数m，由特征方程可求出形成导波的入射角。以该角入射的平面波即形成一个导波模式。,当、以s波的表达式代入时，得出模式为TE波；当以p波的表达式代入时，得出

6、模式为TM波。当m=0,1,2,时，可得到TE0、TM0、TE1、TM1、TE2、TM2模。m表示了各模式的特点，称为模序数。,对于给定的模式有确定的值，因而也有确定的轴向相位常数。但特征方程是超越方程，得不到解析形式的解。,图4-3是根据数值解画出的-曲线，它表明了的变化范围及变化规律。不能小于，否则将会出现辐射模。也不能大于，因而对于导波，是被限制在两条直线所夹的扇形区域之中的。图中、分别是m=0,1,2时导模的截止频率。,图4-3m=0,1,2时导波的-曲线,3.截止波长在平板波导中，上下界面之一的全反射条件被破坏，导波即处于截止状态。由于n1n2n0，所以当时导波处于截止临界状态。特征

7、方程可写成如下形式：,对一个给定的模式，m是常数。如果工作波长变化，必须调整平面波的入射角，才能满足特征方程，形成导波。当时，导波转化为辐射模，此时的波长就是该模的截止波长，截止波长用表示。由上式有,由特征方程，波长越大，要求相应模式光波的入射角越小。因此，截止波长实际上是波导内允许存在的光波的最大波长。,由于下界面处于全反射临界状态，因而不管对TE波还是TM波，都有，,因此截止波长表示为：,对于TE模和TM模，把不同的代入上式即可得到相应的截止波长。显然，各模式的截止波长由波导参数n1、n2、n0和h决定，与入射光频率无关，它是表示波导本身特征的物理量。不同的模式有不同的截止波长，模序数越高

8、，截止波长越短。TE0模和TM0模的截止波长最长。模序数相同的TE模和TM模的截止波长不同。TE模的截止波长较TM模的长，因而在所有的波导模式中，TE0模的截止波长最长。,对于n2=n0的所谓对称平板波导，截止波长为：,该式对TE模和TM模都适用，这就是说，对于对称波导，模序数相同的TE模和TM模具有相同的截止波长。但是，TE0模（或TM0模）的截止波长=，此时没有截止现象，这是对称波导的特有性质。,4.单模传输与模式数量由于TE0模的截止波长最长，因而它的传输条件最容易满足。在波导术语中，把截止波长最长（截止频率最低）的模式叫做基模。平板波导中的TE0模即是基模。如果波导的结构或选择的工作波

9、长只允许TE0模传输，其它模式均截止，则称为单模传输。,当n1与n2差别不大时，TE0模和TM0模非常接近，难以分开，此时仍可认为是单模传输。因此，单模传输的概念并不严格。,单模传输的条件是：,与该m对应的模式处于截止状态，而比它低的模式处于导行状态。波导中导波模式的数量是TE模和TM模的模式数量之和。膜越厚（h越大），n1与n2差别越大，波导中的模式数量就越多。,当单模传输的条件被破坏（如工作波长缩短）时，即出现多模共存现象。多模共存时的模数量可由特征方程求得：,模数量,二、平板光波导的波动理论,用射线法讨论平板波导，物理概念清楚、明确，得出的许多结论不仅对平板波导，而且对其它形式的介质波导

10、也是很有价值的。但对波导中各模式对应的电磁场的具体分布形式，射线法尚不能给出满意的解答，必须应用电磁场的波动理论结合波导的边界条件来确定。,设在平板波导中，衬底和覆盖层的长度延伸到无穷远，薄膜的宽度远大于它的厚度。因此，可以认为平板波导中的光波只在x方向受到限制（见图），并设平板波导的几何结构和折射率分布沿y方向不变，即折射率分布n(x)只与x有关，相应的模式也只是x坐标的函数。为简单起见，下面只讨论TE模的场分布形式。对于TE模，在图4-1所选的坐标系中，它的电磁场分量为、和。由于电场与磁场有确定的关系，因此下面只分析电场Ey。,对于定态单色波，其电磁场满足波动方程，若不考虑时间因子，则波动

11、方程将转化为亥姆霍兹方程。对于TE模，其电场只有沿y方向的一个分量Ey，并且Ey可以表达为,式中，是传播常数。将上式代入亥姆霍兹方程，得到各层中的电场应满足的亥姆霍兹方程：,j=0,1,2,对于的非对称波导，当时，由于是导波，在薄膜中应是驻波解，可用余弦函数表示；在衬底和覆盖层中应是衰减解，可用指数函数表示。在覆盖层、波导和衬底中的解Ey(x)可以表述为：,上式中，A0、A1、A2是三个区域中的电场复振幅，是一常数相位角，k1x是薄膜内x方向的横向相位常数，和是导波在上、下界面的横向衰减常数。将Ey(x)各表达式代入亥姆霍兹方程得到：,薄膜波导中的边界条件为：在x=0和x=h处，电场强度的切向

12、分量Ey连续，磁场强度的切向分量Hz(dEy/dx)连续，得：,（在x=0处，Ey连续）,(在x=0处，Hz连续),（在x=h处，Ey连续）,(在x=h处，Hz连续),有了上述7个方程式，就可联解出场方程Ey(x)中的7个未知数，再由模式本征方程可求出不同m值对应的值。这样，就可以确定出覆盖层、波导和衬底中的场分布。,下图给出了TE0、TE1、TE2及TE3四种模式的场分布。可以看出，在波导内，场呈余弦分布，而在覆盖层和衬底内，均作指数衰减。,三、耦合模理论,在实际应用中，常常要求将一个光波导中的能量耦合到相邻的光波导中去，以实现方向耦合、开关、调制、滤波等功能。另一方面，光波导间的耦合有时又

13、是有害的。因此，有必要研究在光波导中传输模间的耦合问题。下面以两个并列的条形波导为例说明此问题。,折射率为n1和n2的两个条形波导并列于折射率为n3的衬底中，一个波导位于另一个波导的倏逝波的范围内，彼此间存在着较弱的耦合。,由此简单模型出发，导出模间耦合的公式，并讨论典型的激发条件。,（一）耦合模方程,首先假设在波导1、2中分别传输着模式E1、E2，彼此间不存在耦合，则E1或E2均可表示为：,且满足微分方程：,式中，A(x,y)是横截面的场分布。,当两个波导靠得很近时，将发生两件事：第一，由于几何结构的变化传播常数将发生变化；第二，因为两个波导彼此处于对方的倏逝波区，所以两波导间将发生功率交换

14、。,(4-1),(4-2),考虑到两波导间的功率交换，微分方程式（4-2）变为：,式中：,(4-3),(4-4),和分别为波导1和波导2独立存在时的传播常数；c11和c22分别为引入邻近波导时波导1和波导2的传播常数的改变量；c12和c21称为互耦系数，表征两波导间的能量交换。,方程式（4-3）称为耦合模方程，是研究和讨论耦合效应的基础。,（二）耦合模方程的解,假设E1、E2仍然具有指数形式的解:,将上式代入方程（4-3），可求得的两个解:,(4-6),这样，E1与E2的通解为:,E1与E2的通解为:,(4-7),进一步假设从波导1中泄漏的能量全部被波导2所吸收，则两波导的总能量沿z轴保持不变

15、，则有:,其中:W=E1E1*+E2E2*将（4-7）代入(4-8)式，得到耦合条件：c12=-c21*,(4-8),利用此条件，（4-6）式可简化为:,(4-9),利用耦合条件，（4-6）式可简化为:,式中:,现在式（4-7）通解中只剩系数A1和A2需确定，它们可由外部激发条件求出。,（三）典型的激发条件,（1）两个光波导的结构参数完全一致，仅波导1的输入端被激发,即已知：,在这种情况下，耦合模方程的解为:,(4-12),上式表示两个波导内,场的振幅分别受到余弦和正弦函数的调制。,条件又称为相位匹配。,（2）两个光波导的结构参数保持相同，且在输入端加入相同的激发信号光,即已知：,此种情况下，

16、耦合模方程的解为:,(4-14),特别当C12为纯虚数时，上式变为:,此时两个波导内光波场的唯一区别是传播常数不同，因而传播速度不同。,（3）作为一般的情形，考虑两个波导的参数不一致，在z=0处仅波导1被激发的情形,耦合模方程的解为:,式中U=E1(0),为了研究波导间的能量传递，可计算出：,显然，总能量在光波的传播过程中保持不变，所以两个波导的能量变化是互补的。,在条件满足时，可实现波导间能量的完全转移。,在其余的情况下，转移部分的能量所占比例取决于，因而取决于波导间参数的差异。调整这些参数可改变，从而改变波导间耦合的程度。,第二节光在光纤中的传播,本节从射线理论和波动理论两方面对光在光纤中

17、传播的物理图象进行讨论。,一、光纤的结构特性,光纤的典型结构如图4-2所示。光纤的核心部分是由圆柱形玻璃纤芯和玻璃包层构成，最外层是一种弹性耐磨的塑料护套。纤芯粗细、纤芯折射率n1和包层折射率n2，对光纤的传光特性起决定性的影响。按照折射率分布划分，光纤类型分为阶跃折射率光纤和渐变(梯度)折射率光纤。,图4-2光纤的结构,图4-3示出这两种类型光纤的折射率分布及光线行进情况。,图4-3典型光纤的结构,阶跃单模,阶跃多模,梯度多模,随着纤芯直径(通常用2a表示)的粗细不同，光纤中传输模式的数量也不相同。因此，按照光纤传输模式的数量划分，光纤分为单模光纤和多模光纤。随着光纤技术的发展，还出现了一系

18、列的特种光纤，如塑料光纤、导电光纤、空心光纤、发光光纤、保偏光纤等。,描述光纤传光特性的基本结构参数主要有以下几个：,1光纤尺寸如图4-3所示，光纤结构尺寸包括纤芯直径2a和包层外径2b。2数值孔径NA光纤的数值孔径是表示光纤集光能力大小的一个参数。3相对折射率差相对折射率差是表示纤芯和包层之间相对折射率差的一个参数，由下式给出：,通常纤芯和包层折射率相差很小。的取值大约在0.0010.01范围，此时1，这种情况称为弱波导。在弱波导条件下，数值孔径NA和相对折射率差有如下关系：,4归一化频率(或结构参量)归一化频率是一个与光纤中能够传输的模式数有关的参数，其定义为,当时，光纤中只能传输单一模式

19、。当时，将传输多种模式。在弱波导光纤中允许存在的模式数M可由下式估算：,5折射率分布上面分析的都是阶跃折射率光纤的情况，其整个纤芯中折射率是常数。对梯度折射率光纤，其纤芯截面的径向折射率n(r)呈渐变型分布(见图4-3c)，往往用下式来表示:,式中，是纤芯轴线处()的折射率；r为纤芯内任意一点到芯轴的距离；a为纤芯半径；为相对折射率差；为折射率分布指数。,阶跃型多模光纤一般芯直径50200，0.010.02。单模光纤的芯直径一般小于10。,梯度(渐变)型光纤芯径与阶跃型相同，但折射率不是常数，通常从纤芯轴处往纤芯边缘按抛物线形递减()。,二、阶跃光纤的射线理论,下面用几何光学的方法，分析阶跃折

20、射率光纤子午面内与界面法线成角传播的光线（从波动的角度看就是平面波）的传播行为，如图4-4所示，设单色平面波在真空中的波长为，波数为，在折射率为n1的纤芯内波数为，在折射率为n2的包层中波数为。,图4-4光纤中子午面内的光线传播路径,将芯内以角传播的平面波波矢分解成轴向（z方向）分量和横向分量（x方向）：,轴向分量通常称为传播常数，表示平面波以行波沿轴向传播。,横向分量由于纤芯和包层界面的反射，当横向来回一次的相位变化为的整数倍时，所有的多重反射波都在x的相同位置上互相增强，因而形成一种不沿轴向减弱的驻波。这样在纤芯内光强的横向分布沿轴向不变，形成稳定的光场分布，这种状态称之为模。而这种模只有

21、在特定的角度下才会形成，下面看如何确定这些特定的角度。,据上图，从A点到A点，光线正好向前曲折全反射一个周期，在直径为2a的波导中，其横向一周期的相位变化为：,全反射产生的相位变化,只有光波在光纤横向一周期内相位的变化为的整数倍时，这样的光波才能沿轴向不减弱地传播。这一条件为：,式中，N取一系列整数。该方程称为光纤射线理论的模式本征方程。如给定一整数N，就可由上式计算出对应的角度，它即为对应于N的特征反射角。,下图中，对应于N=0，1，2画出了光线的特征反射角以及子午面内与横向相应的电场强度分布。,图4-5阶跃光纤中子午光线的传输和模的电场分布,因为N是离散的，所以也是离散的，它表示在光纤中传

22、输的光只有在特定的反射角下才会形成稳定的光场分布，这时才有对应的模式输出，而不满足的光线不会在光纤中形成稳定的光场。N决定模的阶数，表示横向电场强度分布的波节数,以上讨论的是光纤中子午面内的传输情况。由此看出采用射线方法分析，可以得到光在光纤中传输的直观图像和导波模式的初步概念。但为了更详细地掌握光纤的传输特性，以及光纤中电磁场的各种分布状态(即各种模式的形象描述)，还必须运用波动光学理论对光纤作进一步的分析。,三、阶跃光纤的模式理论,1.光纤中的横向电磁场将光纤置于圆柱坐标系中，根据光纤圆柱形边界条件，求波动方程的解，是光纤模式理论的基本出发点。下面采用近似模式理论来讨论，即是将光纤中的横向

23、电场和横向磁场当作标量近似处理。,近似地认为光纤中的射线与光纤轴平行传播，这样的电磁波可以看成是“准TEM波”，它在光纤中的纵向分量Ez和Hz极微弱，而横向场分量Et和Ht极强，另外，考虑到圆柱形光纤的轴对称性，因而可将准TEM波的横向电场分量Et用沿y轴(或x轴)偏振的标量(或)来表示。,经过以上的近似处理后，据电磁场波动方程，可得到光纤中横向电场满足的方程为:,考虑光纤中的定态单色波：,则波动方程化为亥姆霍兹方程:,光波在光纤中沿z轴传播，取柱坐标系(r，z)，令:,横向场,传播常数,取柱坐标系下的拉普拉斯算子，则亥姆霍兹方程变为:,由于电磁场在方向(圆周方向)必须满足周期条件，故可取横向

24、电场形式为:,代入亥姆霍兹方程，则在纤芯及包层中有:,第一类贝塞尔(Bessel)方程,第二类贝塞尔方程,这样波动方程的标量解为:,纤芯中:,包层中：,其中，u和w是两个无量纲实参量，其定义为：,它们与归一化频率V的关系为：,由边界条件确定的常数。,根据贝塞尔函数性质，第一个解表示在纤芯中电场成驻波分布，第二个解表示在包层中电场是衰减的。u表示纤芯中电场的传播状态，而w则代表包层里电场的传播状态。通常u称为导波的径向归一化相移常数，w称为导波的径向归一化衰减常数。m是从0开始的正整数。知道了光纤中电场，进而就可以根据麦克斯韦方程求出磁场(此处略去这一求解过程)。它们是分析阶跃折射率光纤中光传播

25、行为的两个基本量。由于和是两个沿坐标轴y和x的线性偏振量，因此称此种导波模式为线性偏振模，简称为Lp模。图4-5中给出了三种模的电场分布。,2.特征方程与截止条件,波动方程的解(4-15)式应满足边界条件,即在处的纤芯与包层界面上，横向电场本身和沿边界法线上的变化率应连续。由此可以推导出阶跃折射率光纤的特征方程为:,利用该特征方程，可以求出u或w，进而分析光纤中LP模的传输特性。因为该特征方程是一个超越方程，一般情况下只能求其数值解。不过，在某些对于研究光纤传输特性有着普遍意义的特殊情况下，可以将它简化成很简单的形式求解。,对于光纤传输特性有普遍意义的问题是：光纤中的导波模式传输和截止的条件。,为了研究这些条件，首先必须了解光纤中导波模式的截止现象。我们知道，如果，则纤芯内的全反射条件被破坏，此时导波模式不再被约束