第4章 矩阵的分解

1、第4章、矩阵的分解,MatrixFactorizationandDecomposition,矩阵分解的概述,矩阵的分解：A=A1+A2+Ak矩阵的和A=A1A2Am矩阵的乘积矩阵分解的原则：实际应用的需要,理论上的需要计算上的需要,显示原矩阵的某些特性矩阵化简的方法之一主要技巧：各种标准形的理论和计算方法矩阵的分块,4.1LU分解(图灵Turing,1948),LU分解：ACnn，若A的顺序主子式不为零，则存在唯一的主对角线上元素全为1的下三角形矩阵L与唯一的上三角形矩阵U，使得A=LU.例如：,Application,可以简化求解线性方程的算法,举例,4.2QR分解,1.利用Gram-Sch

2、midt正交化过程的QR分解Theorem设矩阵ACmn，R(A)=n(列满秩)。则存在非奇异上三角阵R，和矩阵Q，QHQ=E，使得A=QR。,Remark:这样的分解称之为QR分解。,实施步骤,G-S正交化,单位化,4.2QR分解,例P090例4.2.1此例中矩阵是列满秩的例P091例4.2.2此例表明即使矩阵不是列满秩的，也可以用G-S正交化方法，但是其QR分解不是唯一的。,4.3满秩分解,矩阵的满秩分解对秩为r的矩阵AFmn，存在秩为r的矩阵BFmr，CFrn，使得A=BC为A的满秩分解。,列满秩,行满秩,已知的结论,满秩分解的实现：向量组最大无关组的求法,例求矩阵A的满秩分解,矩阵的满

3、秩分解的做法设ACmn，R(A)=r,对A作行初等变换得行最简形H，若H的首1元分别在H的第j1,j2,jr列，取H的前r行所成矩阵为C，取A的j1,j2,jr列所成矩阵为B，则BCmr，CCrn，其秩序均为r，且A=BC。,例P098例4.3.2；例P098例4.3.1（此矩阵为列满秩矩阵）,4.4奇异值分解(SingularValueDecomposition),Problem:矩阵的奇异值分解是酉等价型的分解:ACmn，酉矩阵UCmm,VCnn,使得A=UVH。,矩阵A等价于=,奇异值分解基本适用于内积空间中与矩阵秩相关的问题A的奇异值分解依赖于正规矩阵AHA的酉相似分解的。,一、矩阵A

4、的奇异值及其性质,1、矩阵AHA和AAH的性质：ACmn，AHACnn，AAHCmm，都是Hermite矩阵。Theorem2.7.8（P052）秩（A）秩（AHA）=秩（AAH）。AHA和AAH的非零特征值相等。AHA和AAH是半正定矩阵。,AHA和AAH的特征值是非负实数：12n,2、奇异值的定义：（P099）ACmn，秩（A）=r，设AHA的特征值12r0，r+1=r+2=n=0，则矩阵的奇异值,二、矩阵的奇异值分解,1、Theorem4.4.1（P099）设ACmn，秩（A）=r，则存在酉矩阵UCmm，VCnn，使得,证明思想：Step1.AHA正规，VHAHAV=，酉矩阵V。,例求矩

5、阵A的奇异值分解，A=。,Step2.令,得U1=u1，u2，ur,扩充为标准正交基酉矩阵U。,4.5Moore-Penrose（M-P）广义逆,由Moore1920年提出，1955年由Penrose发展。1、Definition设ACmn，如果XCnm，使得AXA=AXAX=X（AX）H=AX（XA）H=XA则称X为A的M-P广义逆，记为X=A+。,A1=A+；,例讨论原有的逆的概念和M-P广义逆的关系。,例求下列特殊矩阵的广义逆；零矩阵0；对角矩阵,0+mn=0nm,3、M-P广义逆的存在性及其求法Theorem任何矩阵都有M-P广义逆。求法：设A满秩分解A=BC，则奇异值分解可以用于求广义逆(Theorem4.5.3,P105)设A奇异值分解：,，则,2、M-P广义逆的惟一性,Theorem如果A有M-P广义逆，则A的M-P广义逆是惟一的。,例设，求A+。,例设，求A+。,3、M-P广义逆的性质Theorem4.5.2(P103)：(A+)+=A(A+)H=(AH)+(A)+=-1A+A列满秩，则A+=(AHA)1AH，A行满秩，则A+=AH(AAH)1。A有满秩分解：A=BC