专题10 以不等式恒成立或有解问题为背景的填空题-2017年高考数学培优系列(教师版)

1、 专题二 压轴填空题第三关 以不等式恒成立或有解问题为背景的填空题【名师综述】含参数不等式的恒成立的问题，是近几年高考的热点.它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性，解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想.含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论.类型一 可转化为二次函数的恒成立问题典例1【河北省武邑中学2017届高三上学期第三次调研考试数学（理）试题】已知定义在上的奇函数满足:当时，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）A BC. D【答案】A【名师指点】利用函数的性质将抽象不等式符号去掉，转化为二

2、次不等式恒成立问题，若实数范围内的二次不等式问题可结合开口方向和判别式处理；若给定区间的二次不等式恒成立或有解问题，可利用参变分离法或图象处理【举一反三】【浙江省绍兴市柯桥区2016届高三教学质量调测（二模）数学（理）试题】对任意不等式恒成立, 则实数的取值范围是 【答案】【解析】设,则,故原不等式转化为,即,所以,即.故应填答案.类型二 利用构造函数求最值方法求恒成立问题典例1 改编题 已知函数,当时，不等式恒成立，则实数的取值范围_【答案】【解析】因当时，不等式恒成立，即恒成立，设 （），只需即可由，（）当时，当时，函数在上单调递减，故 成立；（）当时，由，因，所以，若，即时，在区间上，则

3、函数在上单调递增，在 上无最大值（或：当时，），此时不满足条件；若，即时，函数在上单调递减，在区间上单调递增，同样 在上无最大值，不满足条件 ；（）当时，由，故函数在上单调递减，故成立综上所述，实数a的取值范围是【名师指点】恒成立等价与恒成立，记，则，本题中由于有参数，需要分类讨论，利用导数求最值【举一反三】已知函数若当时，恒成立，则的取值范围_【答案】【解析】,令 当时，在上为增函数，而从而当时，即恒成立，若当时，令，得当时，在上是减函数，而从而当时，即，综上得的取值范围为.类型三 利用参变分离求恒成立问题典例2 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 【答案】【解析】显然时，对任意实数，已

4、知不等式恒成立；令，若，则原不等式等价于，令，则，由于，故，即函数在上单调递减，最大值为，故只要 ；若，则，令，则，在区间上的极值点为，且为极小值点，故函数在上有唯一的极小值点，也是最小值点，故只要 综上可知：若在上已知不等式恒成立，则为上述三个部分的交集，即【名师指点】本题通过不等式恒成立问题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集若按照参数讨论则取并集，是中档题不等式恒成立时求参数的取值范围，常常采用分离参数法把不等式变形为如“”形式，则只要求出的最大值，然后解即可【举一反三】【江西省新余市2016届高三第二次模拟考试数学（理）试题】

5、设函数，对，不等式恒成立，则正数的取值范围为 . 【答案】类型四 利用图像法求恒成立问题典例3 若不等式在区间上恒成立，则实数m的取值范围是 .【答案】【解析】不等式即为，作出函数和的图象，如图，当的图象过点时，因此不等式在区间上恒成立时，有【名师指点】等价于在公共定义域区间内，函数的图像落在的下方，这样在平面直角坐标系中画出相应函数的图像，根据图像上下关系，确定参数取值范围【举一反三】已知函数,若|,则的取值范围是_.【答案】.【解析】【精选名校模拟】1【宁夏育才中学2017届高三上学期第二次月考数学（理）试题】设函数，. 若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.

6、【答案】D【解析】易得是奇函数，在上是增函数，又 ，故选D.2【湖北荆州2017届高三上学期第一次质量检测，6】若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）A B C. D【答案】C【解析】因,故由题设在上恒成立,故，即.故应选C.3【2017广东珠海市高三期末】已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】函数的定义域为，恒成立,即等价于，令，则，令，则在上恒成立，在上单调递增， 故当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，则，故，故答案为.4【2017黑龙江虎林一中高三月考】若函数 在 上单调递减， 则实数的取值范围是_.【答案】 【解析】试题分析：由已知可得在上恒

7、成立在 上恒成立.5【2017重庆巴蜀中学高三月考】定义域为的函数满足，当时，若时，恒成立，则实数的取值范围是 .【答案】或【解析】由题意可得,所以当时, ,所以,由于对称轴,故.故,即,解之得或,故应填答案或.6【2017安徽蚌埠怀远摸底考试】当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】7【2017黑吉两省八校联考】已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为 . 【答案】【解析】试题分析：,令，故在区间上恒成立，故，所以实数的取值范围为.8函数，若对于区间上的任意，都有，则实数的最小值是 【答案】20【解析】对于区间上的任意都有，等价于对于区间上的任意，都有，函数在上单调递增，在上

8、单调递减，9【2017江西鹰潭一中高三期中】若不等式对恒成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】试题分析：根据，有，由于，所以，没有最小值，所以不符合；令，故当时取得最大值为，故.10若关于的不等式在（0，+）上恒成立，则实数的取值范围是 【答案】【解析】令，令（1）当时，不符合题意；（2）当时，在上恒为负，在上恒为正；在上单调递增，则需,此时，符合题意；（3）当时，在恒为负；在单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值也即是最大值，解得11【2017四川绵阳一诊】是定义在上的偶函数，且时，.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .【答案】或或【解析】12已知：函数，若对使得，则实数的取值范围_【答案】【解析】试题分析：由题意只要在上的最小值大于在上的最小值即可，显然当时，的最小值为0，当时，的最小值为，所以，所以13设，不等式对恒成立，则的取值范围_【答案】【解析】根据题意有，即，结合题中所给的角的范围，求得的取值范围是14【2017黑龙江宝清县高级中学期中】已知函数，若，对任意，存在，使成立，则实数的取值范围是 【答案】15设是定义在R上的奇函数，且