矩阵理论讲义ppt第四章 内积空间.ppt

1、工科研究生数学-矩阵理论第4章内积空间，王新增，山东科技大学信息学院，4.1实内积空间，定义。设V是一个实线性空间，R是一个实数域，2，如果a，b V，有一个唯一的rR对应它，它被记录为(a，b)=r并且满足，(1)G=(a，g) (b，G)，(3) (ka，b)=k (a，b)，(4) (a，a) 0，(a，a)=0 a=0，那么(a，b)是a和b的内积，V是实内积空间，也称为Euclid空间。3、定义内积(内积的离散形式)，例如，线性空间称为内积空间的标准内积。4，定义内积(内积的一般形式)，A是N阶的实正定矩阵，例如，线性空间，5，定义内积(内积的连续形式)，例如，线性空间Ca，B，f，

2、gCa，B，6，已知定义(关于第二元素的线性性质)，(5) (A，B，G Kb)=k(a，B)，向量长度，柯西-施瓦茨不等式，定义。设V为实内积空间，称之为向量A的长度，表示为|a |。设V是实内积空间，a，b，V，k，R，那么当且仅当a和b线性相关时，等号成立；柯西-施瓦茨不等式，三角形不等式，正性，同质性，11。例：利用柯西-施瓦兹不等式证明向量的夹角可以从柯西-施瓦兹不等式中得知，并定义向量的正交性。设V是实内积空间，A，B，V，如果(A，b)=0，那么它叫做A，A和B是正交的，这是实内积空间中的勾股定理。在这个基数下，向量A和B的坐标是，16，度量矩阵，矩阵A称为基数的度量矩阵。也就是

3、说，a是一个实对称矩阵。也就是说，a是一个实正定矩阵。定理：如果内积空间V的两个基是：并且它们的度量矩阵是A和B，那么A和B是可收缩的，也就是说，有一个可逆矩阵P，所以可逆矩阵P是从前一个群基到后一个群基的转移矩阵。4.2标准正交基。如果它们成对正交，它们被称为正交向量组。定理：正交向量集必须是线性独立的。20，每个向量的长度是1。注：(1)标准正交基的度量矩阵是恒等式矩阵，即(2)标准正交基下向量的坐标是向量在相应基向量上的正交投影，即克-施密特正交化过程，克-施密特正交化过程：克-施密特正交化过程图、制作、记住或注意，k是可逆矩阵，因此，从归纳法的假设出发， 我们可以知道矩阵的QR分解导致

4、推论1:在N维实内积空间v中必须有一个标准的正交基。推论2:在N维实内积空间v中的任何正交向量组都可以推广到v的正交基。推论：如果A是可逆矩阵，那么就有正交矩阵Q和可逆上三角矩阵R，这样A=QR， 即矩阵A的QR分解，28，设A是一个N阶可逆矩阵，然后用Gram-Schmidt正交化过程，29，30，例：求出矩阵A的QR分解，4.3正交子空间，定义：设W和U是实内积空间V的子空间，(1) a V，如果b W，都有(A，B (2)如果A W和B U都有(A，b)=0，那么W和U是正交的，即(3)如果W U，W U=V，那么U称为W的正交补码。注：如果W U，W和U的和必须是直和。定理：假设W是实

5、内积空间V的子空间，那么W的正交补存在且唯一，向量的正交投影定义为：假设W是实内积空间V的子空间，那么向量B称为向量A在W上的正交投影， 定理：假设W是实内积空间V和aV的子空间，B是A在W上的正投影，然后是dW，并且当且仅当B=D时，等号成立。最小二乘法，这个问题是：提出来的，线性方程组有实系数，(1)，也就是，(2)，其中不等于零，可能没有解，并且试图找到一个实数组使(2)最小，这就是方程组(1)的最小二乘解，这个问题叫做最小二乘问题。找到(2)的最小值相当于找到一个子空间。中间向量的距离比中间其他向量的距离短。让，它等价于(4)，也就是说，所以(4)等价于(5)，这是必要的，或者，这是最

6、小二乘解所满足的代数方程。众所周知，生产过程中某种材料的废品率不同于某种材料的废品率。找出右边的一个近似公式，例如，在表格中画一个数值的图形，并发现它的变化趋势接近一条直线。因此，我们决定选择一个线性公式来表达它。当然，最好选择一个合适的，这样下面的方程和解都是正确的。事实上，上述任何一种类型都是不可能替代的，而且会出现一些错误。因此，我们希望找到使上述类型的误差最小的平方，即找到原因。最小二乘解所满足的方程是，(取三个有效数字)。即4.4正交变换。设t为：中实内积空间V的线性变换。如果aV存在，那么T被称为V的正交变换。在定理：中，如果T是实内积空间V，a，b，V的线性变换，那么下列命题是等

7、价的，50。推论：(1)两个正交变换的乘积仍然是正交变换；(2)正交变换的逆仍然是正交变换。居士变换，构造了正交变换，并讨论了正交变换H的几何意义。因此，H(a)是一个关于子空间的反射，矩阵H称为居士矩阵，变换H称为居士变换，变换H也称为初等反射变换。53，求一个初等反射变换h，这样h (a)=b。只需要一个W，这样B是A关于子空间的反射，所以W平行于a-b，所以最好定义4.5复内积空间。设V是一个复线性空间，C是一个复数域，54。如果a，b，V有一个唯一的对应于它的cC，表示为(a，b)=c并且满足(2)(G)(b，G)，(3) (ka，b)=k (a，b)，(4) (a，a) 0，(a，a

8、)=0a=0，那么(a，b)是a和b的内积，V是复内积空间。复杂的内积空间也称为酉空间。对称，非负性，55，定义内积，例如。线性空间被称为复杂内积空间的标准内积。56和，(5) (a，b，g)=(a，b) (a，g)，(8)柯西-施瓦兹不等式，和(a，b)=0 a和b是正交的，(10)施密特正交化过程把线性独立的向量组变成正交组，57，57，也就是说，a是一个复正定矩阵。那么，a就叫做埃尔米特矩阵。即a是埃尔米特矩阵。称为复正定矩阵。设t是复内积空间V的线性变换，如果aV存在，则t称为V的酉变换。定理：设t是复内积空间V，a，b，V的线性变换，则下列命题是等价的，4.6正规矩阵，例如对角矩阵，酉矩阵和埃尔米特矩阵都是正规矩阵。定义2:假设甲和乙