2020届镇江三模考试数学卷

1、2020 届届镇江镇江三模考试数学卷三模考试数学卷 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分。不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题 卡相应位置上。 1. 已知集合 2 1,2 ,1,ABa ，若 ABa，则实数a _. 2. 若复数z满足(1 3 )3i zi，其中i是虚数单位，z _. 3. 已知, 是某个平行四边形的两个内角，命题:P；命题:sinsinQ，则命题P是命题Q 的_条件（在“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中选择一个合适的填空） 。 4. 为了研究疫情病毒和人的血型间的关系， 在被感染的 600 人中，O型血有 200

2、人，A型血有 150 人，B 型血有 150 人，AB型血有 100 人。在这 600 人中，为抽取一个容量为 60 人的样本，则应从O型血中抽 取的人数为_. 5. 已知直线 12 :230,:20lxylxkyk，且 12 ll，则直线 12 ,l l间的距离为_. 6. 一周后的 6 月 25 日为端午节，国家规定调休放假 3 天，甲、乙、丙三人端午节值班，每人值班一天， 每天一人值班，则甲在乙前面值班的概率为_. 7. 中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七， 要将第八数来言”。意思是把 996 斤绵分给 8 个儿子作盘缠，按照年龄

3、从大到小的顺序依次排列分绵，每 个弟弟都比前面的哥哥多 17 斤绵，那么第 8 个儿子分到的绵的斤数为_. 8. 已知抛物线 2 4yx的准线是双曲线 22 2 1(0) 2 xy a a 的左准线，则a _. 9. 算数书竹简于 20 世纪 80 年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我们现存最早的成系统的数学典 籍.其中记载有求“囷盖”术：“冒如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一”，该术相当于给出了由圆锥 的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式：hLV 2 36 1 .它实际上将圆锥体积公式中的圆周率取 近似值. 10. 已知圆4)2()( : 22 1 yaxC与圆1) 1()( :

4、 22 2 ybxC外切， 则ab的最大值为. 11. 九章算术是我国古代著名数学经典，其对勾股定理的论述比西方早一 千多年.其中有这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？” 其意为：今有直角三角形ABC，勾（短直角边）BC长 5 步，股（长直角边） AB长 12 步，问该直角三角形能容纳的正方形DEBF边长为多少？在如图 所示中，求得正方形DEBF的边长后，可求得ACEtan. 12. 已 知 在OAB中 ，PAOBOBOA,135, 2,2 为 平 面OAB上 一 点 ， 且 (),OPOAOBR 当OP最小时，向量OP与OB的夹角为. 13. 已知函数 , 31 , 34

5、, 1, )( 2 xxx xe xf x 若函数2)()(xkxfxg有三个零点， 则实数k的取值 范围是. 14. 在锐角ABC 中，角 CBA, 的对边分别为 cba, 若 ,cossincos)sin(CAACb 且 , 2a 则 CB A tantan tan 的最大值为 . 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分. 15. （本小题满分 14 分） 如图，在直三棱柱 111 CBAABC 中，D为AC中点，., 11 ACDABCAB求证： （1）CB1平面BDA1； （2）平面BDA1平面. 11C AB 16、在ABC中，三角A B C, ,的对边分别为a b c, ,

6、，且 5 cos 5 A ，sin5cosBC （1）求tanC的值； （2）若2 2a ，求ABC 的面积. 17、在平而直角坐标系xOy中，椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 左、右焦点分别为 12 ,F F，离心率为 2 2 ， 两准线间距离为8， 圆O的直径为 12 FF， 直线l与圆O相切于第四象限点T， 与y轴交于M点， 与椭圆C 交于点N（N点在T点上方） ，且OMON. （1）求椭圆C的标准方程： （2）求直线l的方程: （3）求直线l上满足到 12 ,F F距离之和为4 2的所有点的坐标. 18、镇江市长江路江边春江潮广场要设计一尊鼎型塑像（如图 1） ，塑像总高度

7、为 12 米，塑像由两部分组 成，上半部分由四根垂直于水平地面的等高垂直立柱组成（立柱上凸起部分忽略不计） ，下半部分由正四 棱台的上底面四根水平横柱和正四棱台的四根侧棱斜柱组成， 如图 2 所示.设计要求正棱台的水平横柱长度 为 4 米，下底面边长为 8 米，设斜柱与地面的所成的角为. （1）用表示塑像上半部分立柱的高度，并求sin的取值范围？ （2）若该塑像上半部分立柱的造价为3千元/米(立柱上凸起部分忽略不计)，下半部分横柱和斜柱的造价 都为2千元/米，问当为何值时，塑像总造价最低？ 19. 各项为正数的数列 n a如果满足：存在实数, 1k对任意正整数k a a k n n n 1 1 ,恒成立，且存在正整数 n，使得 ka a k a a n n n n 1 11 或成立，则称数列 n a为“紧密数列”，k称为“紧密数列” n a的“紧密度”. 已知数列 n a的各项为正数，前n项和为 n S，且对任意正整数n，为常数）（CBACBaaS nnn , 2 恒成立. （1）当 4 1 , 2 1 , 4 1 CBA时， 求数列 n a的通项公式； 证明数列 n a是“紧密度”为 3 的“紧密数列”； （2）当0A时，已知数列 n a和数列 n S都为“紧密数列”，“紧密度”分别为 21,k k，且2 , 1, 21 kk， 求实数B的取值范