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1、2.2 线性方程与常数变易法,一阶线性微分方程,一 一阶线性微分方程的解法-常数变易法,代入(2.28)得,积分得,注 求(2.28)的通解可直接用公式(2.31),此外，方程(2.28)的通解也可以写成,或,此外，还要注意方程形式，如果方程形如,则通解形如,或,初值问题,的解为,初值问题,的解为,解:,将方程改写为,首先,求齐次方程,的通解,从,分离变量得,两边积分得,故对应齐次方程通解为,其次应用常数变易法求非齐线性方程的通解,即,积分得,故通解为,解:,但将它改写为,即,故其通解为,例3 求初值问题,的解.,解:,先求原方程的通解,故所给初值问题的解为,线性微分方程解的性质:,1.齐次方

2、程的解或者恒为零，或恒不为零。,2.齐次方程任何解的线性组合仍是它的解。,3.齐次方程的任一解与非齐次方程的任一解之和仍,为非齐次方程的解。,4.非齐次方程的两解之差为对应齐次方程的解。,5.非齐次方程的任一解与对应齐次方程的通解之和,是非齐次方程的通解。,线性非齐次方程初值解公式在理论上的意义,我们可以利用它来研究解的性质，对解进行“估值”.,于是,证毕。,例,设F(x)f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(,+),内满足以下条件:,(1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ;,(2) 求出F(x) 的表达式 .,解: (1),所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程

3、:,(2) 由一阶线性微分方程解的公式得,于是,形如,的方程,称为伯努利方程.,解法:,解:,解以上线性方程得,即为原方程通解.,P43,解：原方程整理得,解：原方程化为,4. 已知 试求函数 的一般表达式.,P43,解 设,则原方程化为,两边对x求导，并整理得,求得其通解为,代入原方程的c=0，,所以,P43,的连续函数，证明该方程的非零解以 为周期的,作业,P49 必做1(1)(2)(6)(8) 选作2,思考题(选作),（2）设方程 的系数 是以 为周期,充要条件是,伯努利,在科学史上，父子科学家、兄弟科学家并不鲜见，然而，在一个家族跨世纪的几代人中，众多父子兄弟都是科学家的较为罕见，其中

4、，瑞士的伯努利家族最为突出。,伯努利家族3代人中产 生了8位科学家，出类拔萃的至少有3位；而在他们一代又一代的众多子孙中，至少有一半相继成为杰出人物。伯努利家族的后裔有不少于120位被人们系统地追溯过，他们在数学、科学、技术、工程乃至法律、管理、文学、艺术等方面享有名望，有的甚至声名显赫。最不可思议的是这个家族中有两代人，他们中的大多数数学家，并非有意选择数学为职业，然而却忘情地沉溺于数学之中，有人调侃他们就像酒鬼碰到了烈酒。,老尼古拉伯努利（Nicolaus Bernoulli，公元16231708年）生于巴塞尔，受过良好教育，曾在当地政府和司法部门任高级职务。他有3个有成就的儿子。其中长子雅各布（Jocob，公元16541705年）和第三个儿子约翰（Johann，公元16671748年）成为著名的数学家，第二个儿子

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