高中数学 2.4.1《平面向量的数量积的物理背景及其含义》导学案 新人教A版必修4（通用）

1、2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义辅导案例学习目标1.说平面向量的数量积及其几何意义；2.学会使用平面矢量积的重要性质和运算法则；3.理解长度、角度和垂直的问题可以用平面向量的数量积来处理；重点和难点。平面向量的数量积及其几何意义学习方法指南预习平面向量的数量积及其几何意义；平面向量乘积的重要性质和运算法则；知识链接:1.平面矢量积(内积)的定义：2.两个向量的数量乘积与向量和实数的乘积有很大不同3.“投影”的概念：绘画4.矢量积的几何意义：5.两个向量的数量乘积的性质：设两个非零向量，E是同方向的单位向量。1 e=e=2 =设两个非零向量，E是同方向的单位向量。e=e=3当方向相

2、同时，=当方向相反时，=特殊=|2或4 cosq=5 | |第三，提出疑问：同学们，通过你们的自主学习，你们还有什么疑问，请填写下表疑点怀疑内容学习过程创设问题情境，引导学生学习新课程1.问问题1:请复习我们学过的向量运算。这些操作的结果是什么？2.提问2:请继续回忆我们是如何引入向量加法的。我们是按什么顺序研究这个手术的？3.新课程介绍：在这节课中，我们还将根据这一研究思路学习向量的另一种运算：平面向量数量积的物理背景和意义询问1:数量产品的概念SF1.给出相关材料并提问3:(1)如图所示，物体在力f的作用下产生位移s，那么力所做的功(2)这个公式有什么特点？请填写下面的空格：(1) w(功

3、)是一个量，力是一个量，位移是一个量， 为。(3)你能用书面语言表达“功的计算公式”吗？2.澄清数量产品的定义(1)数量产品的定义：已知两个非零矢量和，它们的夹角为。我们称数量 cos为和的数量乘积(或内积),即：= cos(2)定义描述：(1)符号中间的 不能省略或替换为 。“规定”:零矢量与任意矢量的数量乘积为零。(3)问问题4:向量积运算的结果和线性运算的结果有什么区别？影响产品数量的因素是什么？(4)学生讨论并完成下表：范围090=900180的符号例1:已知| |=3，| |=6，当， ，和之间的角度为60时，分别计算。解决方案：变量：对于两个非零向量，求使| t|最小的t值，并求此

4、时与t的夹角。问题2:研究数量产品的意义1.给出矢量投影的概念：如图所示，我们把cos(cos)称为向量在方向上的投影，记住：ob1= cos2.问问题5:数量乘积的几何意义是什么？3.研究数量产品的物理意义请用一句话概括工作的数学本质：问题3:探索数量产品的可操作性1.问问题6:比较 和 .的面积你的结论是什么？2.清晰度：数量产品的本质那么，让两个B and B都是非零矢量1、=02.=；当与相反时，尤其是 =- 、=2或=3、3.数量产品的运行规律(1)问问题7:关于实数乘法，我们学到了什么算术定律？这些算术定律也适用于向量吗？(2)明确性：数量产品的运行规律；给定向量，和实数，那么：(

5、1)=(2)()=()=()(3)()=例2:(由教师和学生一起完成)知道=6，=4，和之间的角度是60，找到(2 )(-3)，并思考这个运算过程类似于实数的哪个运算。解决方案：变量：(1)(2=2 2 2(2)()(-)=22学习反思基本合规1.已知|=5，|=4，夹角=120。2.众所周知，|=6，|=4，和之间的夹角是60度。找到(2)(-3)。3.当已知|=3，|=4，并且它们彼此不共线时，向量k和-k彼此垂直。4.已知| |=3，| |=6，当， ，和之间的角度为60时，分别计算它们。5.众所周知，|=1，|=，(1)如果，求；(2)如果之间的夹角为60，则找到| |；(3)如果-垂直于，求的夹角。6.设m和n是夹角为60的两个单位向量，求出向量之间的夹角=2m n和=2n-3m。扩展和升级1.已知|=1、|=、和(-)是垂直的，那么与的夹角是()公元前60年至公元前30年2.假设|=2，|=1，和之间的角度为，那么向量m=-4的模为()A.2 B.2 C.6 D.123.如果知道它是一个非零向量，| |=| |是()垂直于(-)A.充分但不必要的条件C.必要和充分条件4.如果向量的夹角为|=2且|=1，则| | |-|=。5.已知=2i-8j、-=-8i 1