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1、1,第1章 矢量分析,1. 标量、矢量,3. 通量与散度,8. 亥姆霍兹定理,2. 矢量的运算,5. 环量与旋度,6. 斯托克斯定理,4. 高斯散度定理,7. 方向导数与梯度,2,标量：只有大小、没有方向的量 ； 如：质量、时间、温度、功、电荷 矢量：既有大小又有方向的量 ； 如：力、力矩、速度、加速度、电场强度。 注：零既没有大小也没有方向，因常出现在矢量的运 算中，作为约定，将零称为零矢量。,1.标量和矢量,3,2.矢量的代数运算,两矢量进行标积后的结果变成了无方向性的数量值 !,4,矢量的代数运算,两矢量进行矢积后的结果仍为矢量,5,3.通量与散度,通量 元通量 ：场矢量 穿过面元 的通

2、量。 通量 ：场矢量 穿过任意曲面 的通量。 穿过闭合面的通量 ： 物理意义明确： 若 ，体积内存在着通量线的源(正源) ； 若 ，体积内存在通量线的”沟”(负源)； 若 ，体积内正负源的总和为零。,6,（1）散度的定义 （2）散度的运算 在直角坐标系中 引入哈密尔顿算子,散度,7,在矢量场中，若 ，称之为有源场， 称为(通量)源密度；若矢量场中处处 ，称之为无源场。,散度的物理意义,8,4.高斯散度定理,该公式表明了区域V 中场A与边界S上的场A之间的关系。,矢量函数的面积分与体积分的互换。,9,5.环量与旋度,称为矢量A的环量,旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的

3、方向。,10,矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。,点P的旋度的大小是该点环量密度的最大值。,在矢量场中，若A=J0, 称之为旋度场(或涡旋场)，J 称为旋度源(或涡旋源)；,点P的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。,若矢量场处处A=0，称之为无旋场。,旋度的物理意义,旋度的重要性质：任何一个矢量的旋度的散度恒等于0,11,矢量函数的线积分与面积分的互换,该公式表明了区域S中场A与边界L上的场A之间的关系,6.斯托克斯(Stockes)定理,12,方向导数,方向导数表示函数(x,y,z)在一给定点处沿某一方向的标量函数的变化率。,7. 方向导数与梯度,13,梯度,梯度,标量场的梯度是一个

4、矢量,是空间坐标点的函数;,梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向.,梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即该点最 大方向导数;,梯度的物理意义,14,8. 亥姆霍兹定理,亥姆霍茨定理： 在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件唯一地确定。,15,第2章 电场、磁场与麦克斯韦方程,1. 电场力、磁场力、洛伦兹力,4. 微分形式的麦克斯韦方程,3. 麦克斯韦方程的导出及意义,2. 电磁场中的三种电流以及电流连续性原理,7. 电磁场的能量与坡印廷矢量,5. 积分形式的麦克斯韦方程,6. 时谐形式的麦克斯韦方程,16,1 电场力、磁场力与洛伦

5、兹力,1. 电场力,库仑定律,N( 牛顿),适用条件, 两个可视为点电荷的带电体之间相互作用力;,17,库仑定律还可以换一种方式来阐述： 假定电荷q2=1C, 于是电场力 即为q1对单位电荷的作用 力,我们将这个特定大小的电场力 称为电场强度矢量,结论,由电场强度矢量可以得出两个或多个彼此相对静止的电荷之间的作用力，所以电场强度表示了电场力。,18,2. 磁场力,当电荷之间存在相对运动，比如两根载流导线，会发现另外一种力，它存在于这两线之间，是运动的电荷即电流之间的作用力，我们称其为磁场力 。,假定一个电荷q以速度 在磁场中运动，则它所受到磁场力为,这表明：一个单位电流与另外一个电流的作用力可

6、以用一个磁感应强度 来描述。,19,3.洛伦兹力,当一个电荷既受到电场力同时又受到磁场力的作用时，我们称这样的合力为洛伦兹力。,20,2.电磁场中的三种电流及电流连续性原理,1. 传导电流、运流电流和位移电流,自由电荷在导电媒质中作有规则运动而形成,传导电流,传导电流的电流密度 与电场强度 的关系为：,运流电流,电荷在无阻力空间作有规则运动而形成,假设存在一个电荷体密度为 的区域，在电场作用下，电荷以平均速度 运动，,运流电流密度为,21,此式称为电流连续性原理,2.电流连续性原理,麦克斯韦假设，S面内自由电量q的增长应与穿出的位移电流相一致，并且若指定穿出S面的电流为正，则,在时变电磁场空间

7、，围绕着通电导体作一闭合面S，则穿入的传导电流和运流电流应等于S面内自由电量q的增加率，即,于是可得,22,通常，传导电流与运流电流并不同时存在。,则穿过闭合面S的位移电流为：,电介质内部的分子束缚电荷作微观位移而形成,位移电流,作一个闭合面S，假定其中所包围的电量为q，根据高斯定律可知,位移电流密度,23,3. 麦克斯韦方程的导出及意义,根据高斯定律,可得麦克斯韦第一方程 ：,或,可得麦克斯韦第二方程 ：,根据斯托克斯定律,24,磁通连续性原理,可得麦克斯韦第三方程 ：,根据高斯定律,麦克斯韦第四方程,由斯托克斯定律得,25,4. 微分形式的麦克斯韦方程,或,26,5. 积分形式的麦克斯韦方

8、程,27,6. 时谐形式的麦克斯韦方程,微分形式的时谐表示,积分形式的时谐表示,时谐场即激励源按照单一频率随时间作正弦变化时所激发的随时间按照正弦变化的场。,28,7. 电磁场的能量与坡印廷矢量,电磁能量符合自然界物质运动过程中能量守恒和转化定律坡印亭定理，坡印亭矢量是描述电磁场能量流动的物理量。,此式称为 坡印廷定理,是某一点上的单位体积能量的变化率,为电磁能量密度,称其为坡印廷矢量,29,对于正弦电磁场，计算一个周期内的时间平均值更有实际意义，坡印廷矢量的时间平均值即平均坡印廷矢量定义为,在时谐形式下,30,第3章 介质中的麦克斯韦方程,1. 介质特性：电偶极矩 、分子极化率 、极化矢量,

9、4. 一般媒质中的麦克斯韦方程,3. 磁偶极矩、磁化强度矢量,2. 介质的折射率、相对介电系数,5. 介质中的三个物态方程,6. 场量的边界条件,31,1. 介质特性,电偶极子,32,定义：其内部存在的带电粒子，受到原子内在力、分子内在力或分子之间的作用力不能自由运动，这样的物质称为电介质（简称介质）。,电介质,电介质可分为两大类：,一类是无极分子电介质,电介质中正负电荷的中心是重合的.,第二类是有极分子电介质,这类电介质中的正负电荷中心不重合，每个分子可等效为一个电偶极子.,33,电介质的极化,在外电场作用下，电介质中出现有序排列电偶极子以及表面上出现束缚电荷的现象 。,无极分子的极化称为位

10、移极化,有极分子的极化称为转向极化.,分子极化率,分子极化率是反映分子固有特性的一个函数,也是所施加场强的角频率的函数.,34,介质极化形成的宏观电矩也要产生电场，将影响原电场的分布。为定量地表征介质极化的强弱程度，需引入极化强度矢量P 。,35,2. 介质的折射率、相对介电系数,介质的折射率(refractive index) n定义为,其中c是电磁波在真空中的速度，v则是电磁波在折射率为n的介质中的速度。,反映介质特性的量相对介电常数,36,3. 磁偶极矩、磁化强度矢量,根据原子的简单模型，电子沿圆形轨道围绕原子核旋转，其作用可相当于一个圆电流，即一个小电流环，这个微观电流也会产生磁效应，

11、这个小电流环可等效为一个物理模型，即磁偶极子(magnetic dipole)。,在没有外加磁场的作用下，绝大部分材料中所有原子的磁偶极矩的取向是杂乱无章的，结果总的磁矩为，对外不呈现磁性。,在外磁场的作用下，物质中的原子磁矩将受到一个力矩的作用，所有原子磁矩都趋于与外磁场方向一致的排列，彼此不再抵消，结果对外产生磁效应，影响磁场分布，这种现象称为物质的磁化。,37,为了描述及衡量介质的磁化程度，定义磁化强度矢量,磁介质磁化后对磁场的影响，可用磁化电流密度来等效,磁化电流不同于自由电流，其电荷运动是被束缚在媒质内部的，因而也叫束缚电流。,38,对于各向同性及线性磁介质，由实验可证明,式中 为磁

12、化率（Magnetic susceptibility），是一个 标量常数。,磁介质，是在外加磁场的作用下，产生磁化现象，影响外磁场分布的物质。除了真空外，其它任何物质都是可磁化的磁介质。根据物质的磁效应的不同，磁介质通常可分为：抗磁质、顺磁质、铁磁质、亚铁磁质等。,39,抗磁质,顺磁质,铁磁质,在外磁场的作用下，呈现强烈的磁化，能明显地影响磁场的分布。,亚铁磁质,在外磁场作用下，这类材料也呈现较大磁效应，但由于部分反向磁矩的存在，其磁性比铁磁材料要小。,40,电介质中的麦克斯韦方程的一般形式为:,4. 一般媒质中的麦克斯韦方程,41,5. 介质中的三个物态方程,6. 场量的边界条件,42,第4

13、章 矢量位与标量位,1. 矢量位与标量位的导出,4. 动态位（滞后位）的概念,3. 矢量位与标量位满足的波动方程,2. 洛伦兹规范 ，库仑规范,43,根据麦克斯韦第三方程,任意矢量的旋度的散度恒等于零,令,于是得到了一个关于磁场 的位函数 ，,矢量位和标量位,是一个标量位函数,保证 的唯一方法是,44,2. 洛伦兹规范 ，库仑规范,称为洛伦兹条件或称为洛伦兹规范.,这个规定被称为库仑规范,45,3.矢量位与标量位满足的波动方程,这是一个关于 的三维波动方程，这个方程被称为达朗贝尔方程，方程右边为场源。,这是一个关于 的三维波动方程，这个方程也被称为达朗贝尔方程，方程右边为场源。,46,动态位,

14、上面的分析说明，在时刻t，空间某点所观察到的矢量位 和标量位 是由 时刻的电流或电荷产生的，也就是说，在空间某点并不会立刻感受到波源的影响，而是要滞后一段时间 ，这个滞后效应是由于电磁波的速度为有限值而引起的，于是我们又可将随时间变化的位函数 和 称为动态位或滞后位。,47,第5章 静态场的解,1. 静电场、恒定电场 、恒定磁场的基本方程,4. 镜像法 、分离变量法,3. 对偶原理、叠加原理、唯一性定理,2. 静态场的位函数方程,48,1. 静电场、恒定电场 、恒定磁场的基本方程,1、静电场的基本方程,上式表明：静电场中的旋度为0，即静电场中的电场不可能由旋涡源产生；电荷是产生电场的通量源。,

15、静电场是一个有源无旋场，所以静电场可用电位函数来描述，即,49,2、恒定电场的基本方程,载有恒定电流的导体内部及其周围介质中产生的电场，即为恒定电场。当导体中有电流时，由于导体电阻的存在，要在导体中维持恒定电流，必须依靠外部电源提供能量，其电源内部的电场也是恒定的。,若闭合路径不经过电源，则：,这是恒定电场在无源区的基本方程积分形式，其微分形式为,50,3、恒定磁场的基本方程,这是恒定磁场的基本方程。,从以上方程可知，恒定磁场是一个旋涡场，电流是这个旋涡场的源，电流线是闭合的。,恒定电流的导体周围或内部不仅存在电场，而且存在磁场，但这个磁场不随时间变化，是恒定磁场。假设导体中的传导电流为I，电

16、流密度为 ,则有,51,2. 静态场的位函数方程,静电场的位函数 满足的方程,称为泊松方程。,如果场中某处有=0，即在无源区域，则上式变为,将这种形式的方程称为拉普拉斯方程。,1、静电场的位函数分布,52,2、恒定电场的位函数分布,在无源区域，恒定电场的位函数满足拉普拉斯方程。,3、恒定磁场的位函数分布,此式即为矢量磁位的拉普拉斯方程。,注意：标量磁位的定义只是在无源区才能应用。,53,3.对偶原理、叠加原理、唯一性定理,如果描述两种物理现象的方程具有相同的数学形式，并且有相似的边界条件或对应的边界条件，那么它们的数学解的形式也将是相同的，这就是对偶原理。具有同样数学形式的两个方程称为对偶性方

17、程，在对偶性方程中，处于同等地位的量称为对偶量。,对偶原理,54,叠加原理,若 和 分别满足拉普拉斯方程，即 和 ,则 和 的线性组合： 必然也满足拉普拉斯方程. 式中a、b均为常系数。,唯一性定理,对于任一静态场，在边界条件给定后，空间各处的场也就唯一地确定了，或者说这时拉普拉斯方程的解是唯一的。,55,镜像法,镜像法是利用一个与源电荷相似的点电荷或线电荷来代替或等效实际电荷所产生的感应电荷，这个相似的电荷称为镜像电荷，然后通过计算由源电荷和镜像电荷共同产生的合成电场，而得到源电荷与实际的感应电荷所产生的合成电场，这种方法称为镜像法。,镜像电荷与源电荷共同产生的电位函数，既能满足给定的边界条

18、件，又在一定区域内满足拉普拉斯方程。根据唯一性定理，所假设的位函数就是该区域上的唯一的电位函数。,56,2/=偶数,57,58,59,分离变量法,分离变量法是求解拉普拉斯方程的基本方法，该方法把一个多变量的函数表示成为几个单变量函数的乘积后，再进行计算。,通过分离变量，它将函数的偏微分方程分解为带“分离”常数的几个单变量的常微分方程。,60,将拉普拉斯方程分解成三个带分离常数的常微分方程。显然，三个分离常数不可能全为实数，也不能全为虚数。将三个常数都假设为是某一个常数平方的负值，是因为要使方程的解成为一些特殊函数，以便于利用边界条件来确定常数。,61,第6章 自由空间中的电磁波,1. 电波,4

19、. 波的极化,3. 自由空间中的平面电磁波,2. 磁波,5. 电磁波谱,62,自由空间是一个没有电荷因而也就不存在电流的空间。 这并不是说在整个空间中没有源存在，而只是指在我们所感兴趣的区域不存在源，这个区域应有=0和 =0。,63,平面波，是三维波中最简单的一种。这个波在空间传播过程中，对应于任意时刻t，在其传播空间具有相同相位的点所构成的等相位面（也称为波阵面）为平面，于是就称其为平面波。,均匀平面波是最简单也是最容易理解的。 均匀（Uniform）:在任意时刻，在所在的平面中场的大小和方向都是不变的。,64,1.电波,麦克斯韦方程组说明：在自由空间存在着电波，对其所作的唯一的限制是它在自

20、由空间必须以光速传播。,此式称为亥姆霍兹方程。,2. 磁波,亥姆霍兹磁场方程,65,3. 自由空间中的平面电磁波,电场和磁场相对于传播方向来说都是横向波，这种波称为横向电磁波,简称为TEM波。,和 相互垂直的，都垂直于波的传播方向。,66,4. 波的极化,1. 如果矢量的尖端在一条直线上运动，称之为线极化波。,2. 如果矢量的尖端的运动轨迹是一个圆，则称之为圆极化波。,极化（polarization）通常是用电场矢量 的尖端在空间随时间变化的轨迹来描述的。,3. 椭圆极化波：电场 的尖端的运动将描绘出一个椭圆。 3.1 如果用右手的拇指指向波传播的方向，其它四指所指的方向正好与电场 矢量运动的

21、方向相同，这个波就是右旋极化波。 3.2 如果用左手的拇指指向波传播的方向，其它四指所指的方向正好与电场 矢量运动的方向相同，这个波就是左旋极化波。,4. 无一定极化的波，如光波，通常称为随机极化波。,67,当 ，并且 时， 电磁波是圆极化波,当 时， ，电磁波为左旋椭圆极化波,当 时， ，电磁波是线极化波,当 时， ，电磁波为右旋椭圆极化波,68,为了对各种电磁波有个全面的了解，人们按照波长或频率的顺序把这些电磁波排列起来，这就是电磁波谱 .,5. 电磁波谱,电磁波谱,69,第7章 非导电介质中的电磁波,1. 非导电介质中的电磁波方程,4. 复数折射率的相关结论,3. 平面电磁波在有损耗介质

22、中的传播,2. 平面电磁波在无损耗介质中的传播,5. 相速度、色散、群速度,70,1. 非导电介质中的电磁波方程,与波动方程的一般形式比较可知在一般介质中，电磁波的传播速度,71,2. 平面电磁波在无损耗介质中的传播,波速为,这里的 k 称为传播常数或波数,72,3. 平面电磁波在有损耗介质中的传播,实际的介质都是有损耗的，因此，研究波在有损耗介质中的传播具有实际意义。有损耗介质也称为耗散介质，在这里是指电导率 ,但仍然保持均匀、线性及各向同性等特性。,式中 称为复介电系数，即,式中 称为损耗角,复介电系数虚部与实部之比为 ,它代表了传导电流和位移电流密度的比值。该比值是一个相角，工程上称之为

23、损耗正切，表示为,73,传播系数 称为复波数。,有耗介质的本征阻抗是一个复数，其结果使均匀平面波中电场强度矢量与磁场强度矢量之间存在相位差。,74,1、理想介质： 这时,2、良介质： （一般取 ）这时,3、理想导体 ： ，这时 ，说明电磁波在理想介质中立刻衰减到零， 说明波长为零，相速为零。这些特点表示电磁波不能进入理想导体内部。,75,5、半导体 ： 可与 相比拟， 的表示为一般形式。,4、良导体： （一般取 ）这时,76,4. 复数折射率的相关结论,1. 复数折射率的实部决定了波的速度，而且很容易得出折射率实部的定义为两个速度之比，即 。,2. 当波在介质中传播时，复数折射率的虚部使波的幅

24、值按指数规律衰减，虚部值越大，波的衰减就越快。,77,5. 相速度、色散、群速度,相速，即正弦波的最大速度。一般情况下，速度 v 是恒定相位面在波中向前推进的速度，,相速,群速是波包络上某一恒定相位点推进的速度。,群速,是指其折射率的虚部为非零值的媒质,这时波在传播的过程中会逐渐衰减。,色散介质,指波的传播速度即相速取决于介质折射率的实部,因而随频率而变，不同频率的波将以不同的速率在其中传播。,耗散介质,78,若将电磁波的振幅衰减到 时它在介质中的趋肤深度或穿透深度定义为 ，根据 就可以测量出电磁波在开始明显衰减之前的传播距离。,第8章 导体中的电磁波,当电磁波的振幅衰减到 时，有,即,1.穿透深度,从前面的平面极化波中场强表示式可知,79,2.等离子体,是除气体、液体和固体以外的第四种物态，它是由电子、负离子、正离子