函数的奇偶性与周期性课件幻灯片.ppt

1、第四节 函数的奇偶性与周期性,1,1.函数的奇偶性定义一般地，图像关于原点对称的函数叫做奇函数，如果函数是奇函数，则一定满足 ；图像关于y轴对称的函数叫做偶函数，如果f(x)是偶函数，则一定满足 ，当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称函数具有奇偶性.,基础梳理,f(x)f(x),f(x)f(x),2,2. 奇、偶函数的性质（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于 对称.（2）若奇函数的定义域包含数0,则f(0)= .(3)在公共定义域内，两个奇函数之积（商）为 函数；两个偶函数之积（商）为 函数；一奇一偶函数之积（商）为 函数.（取商时分母不为零）,奇,原点,0,偶,偶,3,（4）奇函数在关于原点

2、对称区间上的单调性 ，偶函数在关于原点对称区间上的单调性 .,相反,一致,4,3. 周期函数的定义对于函数f(x)，如果存在 ,使得 当x取 时， 都成 立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数.,定义域内每一个值,一个非零常数T,f(xT)f(x),5,4. 求函数周期的几个常用结论f(x+a)=-f(x)函数f(x)的周期T=2a.f(x+a)= 函数f(x)的周期T=2a.f(x+a)=f(x-a)函数f(x)的周期T=2a.同时要注意与下列结论的区别:f(x+a)=f(-x)函数f(x)的图象的对称轴x= ;f(x+a)=-f(-x)函数f(x)的图象的对称中心为 .,6,(教材改编题

3、)下面四个结论中，正确命题的个数是 () 偶函数的图象一定与y轴相交； 函数f(x)为奇函数的充要条件是f(0)0； 偶函数的图象关于y轴对称； 既是奇函数，又是偶函数的函数一定是 f(x)0(xR) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4,基础达标,7,A解析：,错误，如函数f(x) 是偶函数，但其图象与y 轴 没有交点； 错误，因为奇函数的定义域可能不包含原点； 正确； 错误，既是奇函数又是偶函数的函数也可以为 f(x)0，x(a，a),8,2. (教材改编题)已知函数f(x)ax2bx3ab 是偶函数，且其定义域为a1,2a，则() A. a ，b0 B. a1，b0 C. a1，b0

4、D. a3，b0,9,A解析：,由f(x)ax2bx3ab为偶函数，得b0. 又定义域为a1,2a， (a1)2a0，a .,10,3. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时， f(x)x22x，则f(x)在R上的表达式是() A. yx(x2) B. yx(|x|2) C. y|x|(x2) D. yx(|x|2),D解析：,当x0时，f(x)x22x. f(x)是定义在R上的奇函数， 当x0，f(x)f(x) (x22x)x(x2)， f(x) 即f(x)x(|x|2),11,4. 函数f(x)x3sin x1(xR)，若f(a)2， 则f(a)的值为() A. 3 B. 0 C.

5、1 D. 2,f(x)1x3sin x为奇函数，又f(a)2， f(a)11，f(a)11，即f(a)0.,B解析：,12,5. 设f(x)(xR)是以3为周期的奇函数， 且f(1)1，f(2)a，则() A. a2 B. a2 C. a1 D. a1,f(2)f(23)f(1)f(1)a， f(1)a，又f(1)1，a1. a1，故选D.,D解析：,13,经典例题,题型一判断函数的奇偶性,【例1】判断下列函数的奇偶性 (1) ； (2) + ；,14,解：,(1)由 ，得定义域为1,1)，关于原点不对称， f(x)为非奇非偶函数 (2)由 x21x1， f(x)0，f(x)既是奇函数又是偶函

6、数,15,变式11,判断函数f(x)log2(x )的奇偶性, |x|， x0，函数的定义域为R. 又f(x)f(x) log2x log2(x )log210， f(x)f(x)，f(x)为奇函数,解析：,16,题型二奇偶性的应用,【例2】(1)已知函数f(x) (a，b，cZ) 是奇函数，又f(1)2，f(2)3，求a，b，c的值； (2)已知偶函数f(x)在(0，)上是增函数， 且f(3x1)f(2x)，求x的取值范围,17,解： (1)由f(x)f(x)，得 bxc(bxc)，c0. 又f(1)2，得a12b， 而f(2)3，得 ，解得1a2. 又aZ，a0或a1. 若a0，则b Z，

7、应舍去； 若a1，则b1Z. a1，b1，c0.,18,(2) f(x)是偶函数且在(0，)上是增函数， 由f(3x1)f(2x)，得f(|3x1|)f(|2x|)， 因而有|3x1|2x|，化简得5x26x10， 解得x 或x1. 则x的取值范围为 (1，),19,变式2-1 若f(x)是奇函数，且在(-，0)上是增函数，又f(-2)=0，求满足(x+1)f(x-1)0的x的取值范围 解析：画出函数f(x)的草图,20,(2011湖南雅礼中学月考)定义在R上的偶函数f(x)，当x0时，f(x)=2x，则满足f(1-2x)f(3)的x取值范围是() A. (-1,2) B. (-2,1) C.

8、 -1,2 D. (-2,1 解析：f(x)为偶函数， f(x)=f(|x|)， f(1-2x)f(3)，即f(|1-2x|)f(3)， 又当x0时，f(x)=2x为增函数， |1-2x|3，-32x-13， -1x2.故选A.,变式22,A,21,题型三函数的周期性,【例3】已知f(x)是定义在R上的奇函数， 且满足f(x+4)=f(x)，当x(0,2)时，f(x)= 则f(7)=(),A -2 B 2 C -98 D 98,解 f(7)=f(8-1)=f(-1)=-f(1) 所以f(7)=-2。故选A,22,易错警示,【例】判断函数f(x) 的奇偶性 错解当x0时，f(x)(x)22(x)3 (x22x3)f(x)； 当x0时，f(x)(x)22(x)3 (x22x3)f(x) 函数f(x)是奇函数,答案：f(x)既不是奇函数也不是偶函数,23,(2010山东)设f(x)为定义在R上的奇函数， 当x0时，f(x)2x2xb(b为常数)， 则f(1)() A. 3B. 1C. 1D. 3