哈尔滨工业大学概率论与数理统计第四章多维随机变量及.ppt

1、多维随机变量及其分布，第4章。从这开始，我们开始学习第四章。一维随机变量及其分布，多维随机变量及其分布。由于从二维扩展到多维没有实质性的困难，我们将重点放在二维随机变量上，这是第三章的扩展。首先，多维随机变量及其分布函数，边分布函数，到目前为止，我们只讨论了一维r.v及其分布。然而，用一个随机变量来描述一些随机现象是不够的，还需要用几个随机变量来描述。射击时，命中点的位置由一对r.v(两个坐标)确定，飞机在空中的重心位置由三个r.v(三个坐标)确定，等等。如果定义相同，那么由它们构造的n维向量()称为n维随机变量，或n维随机向量。简而言之，二维随机变量由(x，y)表示。下面的讨论集中在二维r.

2、v(X，y)，多维随机变量可以类比。两个事件同时发生，类似于一维随机变量的分布函数。二维随机变量的分布函数定义如下：定义：设(x，y)二维随机变量，其中x和y是任意实数，则二元函数称为(x，y)的分布函数或x和y的联合分布函数。几何意义：如果(x，y)被视为平面上随机点的坐标，则f (x， y)是(x，y)落在以点(x，y)为顶点的左下角无限矩形场中的概率。 分布函数的性质：1 .任何实数x，y都有0f (x，y)1；也就是说，对于每个独立变量，F(x，y)是单调的；2。4，也就是说，对于每个独立变量，F(x，y)是右连续的。如果二维r.v(X，Y)的分布函数F(x，Y)是已知的，我们可以分别

3、求出r.v X和Y的分布函数，即分布函数F(x，Y)的边分布函数或二维r.v (X，Y)关于X和Y的边分布函数。定义1:如果二维随机变量(X，Y)的所有可能值都是有限对或可数无限对，那么(X，Y)称为二维离散随机变量。分发列表的属性：分发列表的表达式方法：公式方法，示例1将一枚统一的硬币投掷三次，让X为前面出现三次的次数，Y为前面出现的次数与后面出现的次数之差的绝对值，并求出(X，Y)的联合分发列表。解决方案：(X，Y)理想值(0，3)Y=3=(1/2)3=1/8，p (x=1，y=1)=3 (1/2) 3=3/8，p (x=2，y=1)=3/8，p (x=3，y=0)不难从表中找到：p (x

4、=0)=1/8，p (x=1)=3/8，p (x=2)=3/8，p(X=2)=3/8如下表所示，我们经常在联合分布列表格的边上写边分布列表，从而得到边分布这个术语，联合分布和边分布之间的关系，而边分布可以通过联合分布来确定；然而，联合分布不能由边缘分布决定。通常，对于离散r.v (X，Y)，那么(X，Y)X的边分布列表是，(X，Y)Y的边分布列表是，X和Y的联合分布列表是。二维离散随机变量(X，Y)的分布函数可以表示如下：其中，在第三讲中，二维连续随机变量、概率密度和边际概率密度被称为二维连续随机变量(X，Y)，而f(x，Y)被称为二维随机变量(X，Y)的概率密度。 或者X和Y的联合概率密度。

5、不难得出连续r.v(X，Y)的概率密度和分布函数之间的关系如下：在f (x，Y)的连续点上，概率密度的性质是：如果G是xOy平面上的一个区域，点(X，Y)落入G的概率是：性质13360表示Z。性质23360表示被Z=f(x，Y)和xOy平面夹住的空间面积的体积是属性3:表示P(X，Y)G的值等于曲面Z=f(x，Y)的曲面圆柱体的体积几何意义：对于连续的r.v (X，Y)，如果X和Y的联合概率密度为0，那么(X，Y)关于X的边际概率密度为0，而(X，Y)关于Y的边际概率密度为0。在例2中，设(X，Y)的概率密度为0，求出(1) c的值；(2)两个边际概率的密度。=5c/24=1，c=24/5，(

6、1)，解：例2设(X，Y)的概率密度为，解3360 (2)，求(1) c的值；(2)两个边际概率的密度。注意积分极限和数值范围。在示例2中，假设(X，Y)的概率密度为，求解： (2)，并找到(1) c的值；(2)两个边缘概率的密度，注意积分极限，注意取值范围，即在计算连续r.v的边缘密度时，经常需要积分某一区域的联合密度。当联合密度函数以块表示时，在计算积分时应特别注意积分极限。这里我们介绍两种常见的二维分布。设G是平面上的一个有界区域，它的面积是a。如果二维随机变量Y有概率密度，那么就说X，Y在G上服从均匀分布，一个粒子被抛入平面上的有界区域G。如果粒子落在g中任何小区域b的概率与该小区域的面积成正比，但与b的形状和位置无关，那么粒子的坐标(X，Y)在g上服从均匀分布。如图所示，随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念。两个事件A和B的独立性的定义是：如果P(AB)=P(A)P(B)，那么事件A和B是独立的。两个随机变量独立性的定义是：第四，随机变量的