高三数学（理数）总复习练习专题十六 概率

1、1(2015广东，4，易)袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球，5 个红球从 袋中任取 2 个球，所取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球的概率为() A. B. C. D1 5 21 10 21 11 21 【答案】B由题意知，从袋中任取 2 个球，共有 C 105(种)取法，所取的 2 个球中恰有 1 个白 2 15 球，1 个红球的情况有 C C 50(种)，由古典概型概率公式得 P. 1 101 5 50 105 10 21 2(2015江苏，5，易)袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球，1 只红球，2 只黄球，从 中一次随机摸出 2 只

2、球，则这 2 只球颜色不同的概率为_ 【解析】4 只球分别记为白、红、黄1、黄2，则从中一次摸出 2 只球所有可能的情况有：白红、 白黄1、白黄2、红黄1、红黄2、黄1黄2，共 6 种情况，其中 2 只球颜色不同的有 5 种，故 P . 5 6 【答案】5 6 1(2011四川，1，易)有一个容量为 66 的样本，数据的分组及各组的频数如下： 11.5，15.5) 2 15.5，19.5) 4 19.5，23.5) 9 23.5，27.5)18 27.5，31.5) 11 31.5，35.5)12 35.5.39.5)7 39.5，43.5) 3 根据样本的频率分布估计，数据落在31.5，43

3、.5)的概率约是() A. B. C. D. 1 6 1 3 1 2 2 3 【答案】B由条件可知落在31.5，43.5)的数据有 127322 个，故所求的概率为 P . 22 66 1 3 2(2014陕西，6，易)从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中，任取 2 个点，则这 2 个点的距离不 小于该正方形边长的概率为() A. B. 1 5 2 5 C. D. 3 5 4 5 【答案】C从 5 个点取 2 个共有 C 10(种)取法，而不小于正方形边长的只有 4 条边与 2 条对 2 5 角线，共 6 种，所以 P . 6 10 3 5 3(2012广东，7，中)从个位数与十位数之和为奇

4、数的两位数中任取一个，其个位数为 0 的概率是 () A. B. C. D. 4 9 1 3 2 9 1 9 【答案】D个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数中必一个奇数一个偶数，所以可以 分两类： (1)当个位数为奇数时，有 5420(个)符合条件的两位数 (2)当个位数为偶数时，有 5525(个)符合条件的两位数 因此共有 202545(个)符合条件的两位数， 其中个位数为 0 的两位数有 5 个， 所以所求概率为 P . 5 45 1 9 4(2014江西，12，易)10 件产品中有 7 件正品，3 件次品，从中任取 4 件，则恰好取到 1 件次品的 概率是_ 【解析】从 10 件产

5、品中任取 4 件有 C种取法， 取出的 4 件产品中恰有 1 件次品有 C C 种取法，4103 71 3 则所求的概率 P . CC C 1 2 【答案】1 2 5(2014江苏，4，易)从 1，2，3，6 这 4 个数中一次随机地取 2 个数，则所取 2 个数的乘积为 6 的 概率是_ 【解析】从 1，2，3，6 这 4 个数中任取 2 个数共有 C 6(种)取法，其中乘积为 6 的有1，6和2 4 2，32 种取法，因此所求概率为 P . 2 6 1 3 【答案】1 3 6(2013江苏，7，易)现有某类病毒记作 XmYn，其中正整数 m，n(m7，n9)可以任意选取，则 m，n 都取到

6、奇数的概率为_ 【解析】因为正整数 m，n 满足 m7，n9，所以(m，n)所有可能的取值一共有 7963(种)， 其中 m，n 都取到奇数的情况有 4520(种)，因此所求概率为 P. 20 63 【答案】20 63 7(2013课标，14，中)从 n 个正整数 1，2，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和 等于 5 的概率为，则 n_ 1 14 【解析】当 n3 时，易知不成立当 n4 时，两个数之和为 5 有两种情况：(1，4)，(2，3) 由题意知 ，即 n(n1)56，解得 n8 或 n7(舍去)，故 n8. 2 C 1 14 【答案】8 8(2012重庆，15，中)某艺校在

7、一天的 6 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门 艺术课各 1 节，则在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课的概率为_(用数字作 答) 【解析】6 节课随机安排，共有 A 720(种)方法6 6 相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课，分三类： 第 1 类：文化课之间没有艺术课，有 A A 624144(种)3 34 4 第 2 类：文化课之间有 1 节艺术课，有 A C A A 6326216(种)3 31 31 23 3 第 3 类：文化课之间有 2 节艺术课，有 A A A 66272(种)3 32 32 2 共有种) 由古典概型概

8、率公式得 P . 432 720 3 5 【答案】3 5 考向 1随机事件的频率与概率 1随机事件概率的基本性质 (1)概率的取值范围为 0P(A)1. (2)必然事件的概率为 1，不可能事件的概率为 0. 2频率与概率 (1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验， 观察某一事件 A 是否出现， 称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数，称事件 A 出现的比例 fn(A)为事件 A 出现的频率 nA n (2)对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某个常数上， 把这个常数记作 P(A)，称为事件 A 的概率 (3)概率可

9、看成频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小频率在大 量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的概率 (2014陕西，19，12 分)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本 车辆中每辆车的赔付结果统计如下： 赔付金额(元)01 0002 0003 0004 000 车辆数(辆)500130100150120 (1)若每辆车的投保金额均为 2 800 元，估计赔付金额大于投保金额的概率； (2)在样本车辆中，车主是新司机的占 10%，在赔付金额为 4 000 元的样本车辆中，车主是新司机的 占 20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为 4 000 元的

10、概率 【解析】(1)设 A 表示事件“赔付金额为 3 000 元” ，B 表示事件“赔付金额为 4 000 元” ，由题意 易得样本车辆总数为 1 000 辆，以频率估计概率得 P(A)0.15，P(B)0.12. 150 1 000 120 1 000 由于投保金额为 2 800 元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付 3 000 元和 4 000 元，所以其概 率为 P(A)P(B)0.150.120.27. (2)设 C 表示事件“投保车辆中新司机获赔 4 000 元” ，由已知，样本车辆中车主为新司机的有 0.11 000100(辆)，而赔付金额为 4 000 元的车辆中，车主为新司

11、机的有 0.212024(辆)，所以样本车辆中 新司机获赔金额为 4 000 元的频率为0.24，由频率估计概率得 P(C)0.24. 24 100 【点拨】本题主要考查了用频率估计概率，题(1)根据赔付金额分为两类求解；题(2)的关键是求出 样本车辆中车主为新司机的人数和赔付金额为 4 000 元的车辆中车主为新司机的人数 随机事件概率问题的求解方法 在一次试验中，等可能出现的 n 个结果组成一个集合 I，这 n 个结果就是集合 I 的 n 个元素，各基本 事件均对应于集合 I 的含有一个元素的子集 包含 m 个结果的事件 A 对应于 I 的含有 m 个元素的子集 A， 于是事件 A 的概率

12、为 P(A) . m n (2011陕西，20，13 分)如图，A 地到火车站共有两条路径 L1和 L2，现随机抽取 100 位从 A 地到达火车站的人进行调查，调查结果如下： 所用时间 (分钟) 10202030304040505060 选择 L1的 人数 612181212 选择 L2的 人数 0416164 (1)试估计 40 分钟内不能赶到火车站的概率； (2)分别求通过路径 L1和 L2所用时间落在上表中各时间段内的频率； (3)现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶 到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径 解：(1

13、)由已知共调查了 100 人，其中 40 分钟内不能赶到火车站的有 121216444(人)， 用频率估计相应的概率为 0.44. (2)由表可知选择 L1的有 60 人，选择 L2的有 40 人， 故由调查结果得频率为： 所用时间 （分钟） 10202030304040505060 L1的频率0.10.20.30.20.2 L2的频率00.10.40.40.1 (3)用 A1，A2分别表示甲选择 L1和 L2时，在 40 分钟内赶到火车站 ； 用 B1，B2分别表示乙选择 L1和 L2时，在 50 分钟内赶到火车站 由(2)知 P(A1)0.10.20.30.6， P(A2)0.10.40.

14、5, P(A1)P(A2)， 甲应选择路径 L1. P(B1)0.10.20.30.20.8， P(B2)0.10.40.40.9， P(B2)P(B1)， 乙应选择路径 L2. 考向 2互斥事件与对立事件的概率 1互斥事件及其概率的加法公式 (1)定义：若 AB 为不可能事件(记作：AB)，则称事件 A 与事件 B 互斥，其含义是：事件 A 与事件 B 在任何一次试验中不会同时发生 (2)如果事件 A 与事件 B 互斥，那么 P(AB)P(A)P(B) (3)一般地，如果事件 A1，A2，An彼此互斥，那么事件“A1A2An”发生(指事件 A1， A2， An中至少有一个发生)的概率等于这

15、n 个事件分别发生的概率和， 即 P(A1A2An)P(A1) P(A2)P(An) 2对立事件及其概率公式 (1)定义：若 AB 为不可能事件，而 AB 为必然事件，则事件 A 与事件 B 互为对立事件，其含义 是：事件 A 与事件 B 在任何一次试验中有且仅有一个发生 (2)若事件 B 与事件 A 互为对立事件，则 P(A)P(B)1，即 P(A)1P(B)A 的对立事件记为 ，A 当计算事件 A 的概率 P(A)比较困难时，可通过 P(A)1P( )计算A (1)两个事件互斥未必对立，但对立一定互斥 (2)只有事件 A，B 互斥时，才有公式 P(AB)P(A)P(B)，否则公式不成立 (

16、2015河南洛阳一模，17，12 分)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概 率如下： 排队人数01234 5 人及 5 人以 上 概率0.10.160.30.30.10.04 求：(1)至多 2 人排队等候的概率是多少？ (2)至少 3 人排队等候的概率是多少？ 【思路导引】(1)可转化为等候的人数为 0 人、1 人和 2 人的概率和；(2)可转化为等候的人数为 3 人、4 人和 5 人及 5 人以上的概率和，或转化为其对立事件“至多 2 人排队等候” 【解析】记“无人排队等候”为事件 A， “1 人排队等候”为事件 B， “2 人排队等候”为事件 C， “3 人排队等候”为事件

17、D， “4 人排队等候”为事件 E， “5 人及 5 人以上排队等候”为事件 F，则事件 A，B，C，D，E，F 互斥 (1)记 “至多 2 人排队等候” 为事件 G， 则 GABC， 所以 P(G)P(A)P(B)P(C)0.10.16 0.30.56. (2)方法一：记“至少 3 人排队等候”为事件 H，则 HDEF，所以 P(H)P(D)P(E)P(F) 0.30.10.040.44. 方法二：记“至少 3 人排队等候”为事件 H，则其对立事件为事件 G，所以 P(H)1P(G)0.44. 互斥事件、对立事件概率的求法 (1)解决此类问题，首先应根据互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互

18、斥事件或对立事件，再选 择概率公式进行计算 (2)求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法： 直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公 式计算； 间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式 P(A)1P( )求解，即运用正难则反的数学A 思想特别是“至多”“至少”型问题，用间接法就显得较简便 (2015河南郑州模拟，16，13 分)某商场有奖销售中，购满 100 元商品得 1 张奖券，多购 多得.1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖 1 个，一等奖 10 个，二等奖 50 个设 1 张奖券中特等奖、 一等奖、二等奖的事件分别为 A，B，C，求：(

19、1)P(A)，P(B)，P(C)； (2)1 张奖券的中奖概率； (3)1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率 解：(1)P(A)，P(B)，P(C). 1 1 000 10 1 000 1 100 50 1 000 1 20 故事件 A，B，C 发生的概率分别为，. 1 1 000 1 100 1 20 (2)1 张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖 设“1 张奖券中奖”这个事件为 M，则 MABC. A，B，C 两两互斥， P(M)P(ABC)P(A)P(B)P(C). 1 1 000 1 100 1 20 61 1 000 故 1 张奖券的中奖概率为. 61 1 000 (3)设“1

20、张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件 N，由对立事件概率公式得 P(N)1 P(AB) 即 P(N)1. ( 1 1 000 1 100) 989 1 000 故 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为. 989 1 000 考向 3古典概型 1古典概型的两个特点 (1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，每次试验只出现其中一个基本事件； (2)等可能性：每个基本事件发生的可能性是相等的 2古典概型的概率公式 (1)在基本事件总数为 n 的古典概型中，每个基本事件发生的概率都是相等的，即每个基本事件发生 的概率都是 . 1 n (2)如果随机事件 A 包含的基本事件数为 m，由互

21、斥事件的概率加法公式可得 P(A) .即对于古典概 m n 型，任何事件的概率为 P(A). A包含的基本事件的个数 基本事件的总数 求古典概型的概率时，应注意试验结果的有限性和所有结果的等可能性 (1)(2014课标，5)4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、 周日都有同学参加公益活动的概率为() A. B. C. D. 1 8 3 8 5 8 7 8 (2)(2014广东，11)从 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 中任取七个不同的数，则这七个数的中位数 是 6 的概率为_ 【解析】(1)方法一：4 位同学各自在周六、日任选一天参加公益活动共有 2416(种)

22、结果，而周 六、日都有同学参加公益活动有两种情况：一天一人，另一天三人，C A 8(种)；每天二人，有 C1 42 2 6(种)，所以 P .2 4 86 16 7 8 方法二(间接法)：4 位同学各自在周六、日任选一天参加公益活动，共有 2416(种)结果，而 4 人都 选周六或周日有 2 种结果，所以 P1 . 2 16 7 8 (2)从 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 中任取七个不同的数有 C种选法要使抽取的七个数的中710 位数是 6，则 6，7，8，9 必须取，再从 0，1，2，3，4，5 中任取 3 个，有 C 种选法，故概率为 .3 6 C C 1 6 【答案】(1)D(

23、2)1 6 【点拨】解题(1)的关键是求出所有可能结果的种数，另外，可以用间接法求解；题(2)利用排列组 合知识求出基本事件的总数和事件“七个数的中位数是 6”包含的基本事件的个数，再利用古典概型概 率公式求解. 求古典概型概率的步骤 (1)反复阅读题目，收集题目中的各种信息，理解题意； (2)判断试验是否为古典概型，并用字母表示所求事件； (3)利用列举法或排列组合知识求出总的基本事件的个数 n 及事件 A 中包含的基本事件的个数 m； (4)计算事件 A 的概率 P(A) . m n (2014四川成都高三月考，7)将一颗骰子抛掷两次，所得向上点数分别为 m，n，则函数 y mx3nx1

24、在1，)上为增函数的概率是() 2 3 A. B. C. D. 1 2 5 6 3 4 2 3 【答案】By mx3nx1，y2mx2n， 2 3 令 y0 得 x， n 2m x1，x2是函数的两个极值点， n 2m n 2m 函数在上是增函数，则1，即 n2m. n 2m，) n 2m 通过建立关于 m，n 的坐标系可得出满足 n2m 的点有 30 个， 由古典概型公式可得函数 y mx3nx1 在1，)上为增函数的概率是 P . 2 3 30 36 5 6 1(2015江西师大附中检测，5)高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、 乙相邻，则甲、丙相邻的概率为() A.

25、 B. 1 10 1 4 C. D. 3 10 2 5 【答案】B五人排队，甲、乙相邻的排法有 A A 48(种)，若甲、丙相邻，此时甲在乙、丙中 2 24 4 间，排法有 A A 12(种)，故甲、丙相邻的概率为 . 3 32 2 12 48 1 4 2(2014河南洛阳诊断，6)设集合 A1，2，B1，2，3，分别从集合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b，确定平面上的一个点 P(a，b)，记“点 P(a，b)落在直线 xyn 上” 为事件 Cn(2n5，nN)， 若事件 Cn的概率最大，则 n 的所有可能值为() A3 B4 C2 和 5 D3 和 4 【答案】D点 P 的所有可能值

26、为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3) 当 n2 时，P 点可能是(1，1)； 当 n3 时，P 点可能是(1，2)，(2，1)； 当 n4 时，P 点可能是(1，3)，(2，2)； 当 n5 时，P 点可能是(2，3) 即事件 C3，C4的概率最大，故选 D. 3(2014广东梅州二模，7)从正方体的 8 个顶点的任意两个所确定的所有直线中取出两条，则这两 条直线是异面直线的概率是() A. B. C. D. 29 189 29 63 34 63 4 7 【答案】B从 8 个顶点中任选 2 个共确定直线 C 28(条)， 从中任取两条直线有 C种取法， 从

27、2 82 28 八个顶点任取四个不共面的点共有(C 12)组，而其中每一组不共面的四点可以出现 3 对异面直线， 4 8 故 P. （C12） 3 C 29 63 4(2015山东淄博一模，10)将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为 a，第二次出现的点数记 为 b，设任意投掷两次使两条不重合直线 l1：axby2，l2：x2y2 平行的概率为 P1，相交的概率为 P2，若点(P1，P2)在圆(xm)2y2的内部，则实数 m 的取值范围是() 137 144 A. B. ( 5 18，) (， 7 18) C. D. ( 7 18， 5 18)( 5 18， 7 18) 【答案】D对于 a

28、与 b 各有 6 种情形，故总数为 36 种 两条直线 l1：axby2，l2：x2y2 平行的情形有 a2，b4 或 a3，b6， 故概率为 P1. 2 36 1 18 两条直线 l1：axby2，l2：x2y2 相交的情形除平行与重合(a1，b2)即可， P2， 33 36 11 12 点(P1，P2)在圆(xm)2y2的内部， 137 144 ， ( 1 18m) 2 ( 11 12) 2 137 144 解得m0，即 p2q21. 当 p，qZ 时，设点 M(p，q)，如图，直线 p3，2，1，0，1，2，3 和直线 q3，2， 1，0，1，2，3 的交点，即为点 M，共有 49 个，

29、其中在圆上和圆内的点共有 5 个(图中黑点) 当点 M(p，q)落在圆 p2q21 外时， 方程 x22pxq210 有两个相异实数根 所以方程 x22pxq210 有两个相异实数根的概率 P. 495 49 44 49 【答案】44 49 7(2015河北唐山模拟，14)无重复数字的五位数 a1a2a3a4a5，当 a1a3，a3a5时称为 波形数，则由 1，2，3，4，5 任意组成的一个没有重复数字的五位数是波形数的概率是_ 【解析】a2a1，a3；a4a3，a5， a2只能是 3，4，5. (1)若 a23，则 a45，a54，a1与 a3是 1 或 2，这时共有 A 2(个)符合条件的

30、五位数2 2 (2)若 a24，则 a45，a1，a3，a5可以是 1，2，3，共有 A 6(个)符合条件的五位数3 3 (3)若 a25，则 a43 或 4，此时分别与(1)(2)情况相同 满足条件的五位数有 2(A A )16(个)2 23 3 又由 1，2，3，4，5 任意组成的一个没有重复数字的五位数有 A 120(个)，故所求概率为5 5 16 120 . 2 15 【答案】 2 15 8(2015浙江杭州模拟，18，14 分)袋中装有黑球和白球共 7 个，从中任取 2 个球都是白球的概率 为 .现有甲、乙两人从袋中轮流取球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到两人中有 1

31、1 7 人取到白球时即终止每个球在每一次被取出的机会是等可能的 (1)求袋中原有白球的个数； (2)求取球 2 次即终止的概率； (3)求甲取到白球的概率 解：(1)设袋中原有 n 个白球，从袋中任取 2 个球都是白球有 C 种结果，从袋中任取 22n n（n1） 2 个球共有 C 21(种)结果2 7 由题意知 ， 1 7 n（n1） 2 21 n（n1） 42 n(n1)6，解得 n3 或 n2(舍去)， 即袋中原有 3 个白球 (2)记“取球 2 次即终止”为事件 A，则 P(A) . CC A 2 7 (3)记“甲取到白球”为事件 B， “第 i 次取到白球”为事件 Ai，i1，2，3

32、，4，5，因为甲先取，所 以甲只能在第 1 次，第 3 次和第 5 次取球 所以 P(B)P(A1A3A5)P(A1)P(A3)P(A5) . C C AC A AC A 3 7 6 35 1 35 22 35 1(2015湖北，7，中)在区间0，1上随机取两个数 x，y，记 p1为事件“xy ” 的概率，p2为事 1 2 件“|xy| ”的概率，p3为事件“xy ”的概率，则() 1 2 1 2 Ap1p2p3 Bp2p3p1 Cp3p1p2 Dp3p2p3p2. 2 (2015福建， 13， 中)如图， 点 A 的坐标为(1， 0)， 点 C 的坐标为(2， 4)， 函数 f(x)x2.若

33、在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于_ 【解析】由几何概型概率公式得， P. S阴 S矩形 S矩形 2 1x2dx S矩形 S矩形4，x2dx ， 2 1 7 3 P. 4 7 3 4 5 12 【答案】 5 12 1 (2012北京， 2， 易)设不等式组表示的平面区域为 D， 在区域 D 内随机取一个点， 0 x 2， 0 y 2) 则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是() A. B. C. D. 4 2 2 6 4 4 【答案】D不等式组表示的区域如图正方形所示，而所求点可以存在的位置为正方形面积减去 四分之一圆的面积部分，如图阴影部分所示，因此 P. 2 2

34、1 42 2 2 2 4 4 2(2012福建，6，易)如图所示，在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P，则点 P 恰好取自阴影 部分的概率为() A. B. C. D. 1 4 1 5 1 6 1 7 【答案】C图中阴影部分面积为 (x)dx ，而正方形 OABC 的面积为 1， 1 0 x 3 21 2 0 21 32 xx 1 6 所求概率为 .故选 C. 1 6 1 1 6 3(2014湖北，7，中)由不等式组确定的平面区域记为 1，不等式组 x 0， y 0， yx2 0) xy 1， xy 2) 确定的平面区域记为 2，在 1中随机取一点，则该点恰好在 2内的概率为()

35、A. B. C. D. 1 8 1 4 3 4 7 8 【答案】D如图，由题意知平面区域 1的面积 SAOM 222. 1 S 1 2 1与 2的公共区域为阴影部分， 面积 S阴SABC2 1 . 1 S 1 2 1 2 7 4 由几何概型得该点恰好落在 2内的概率 P . S阴 S1 7 4 2 7 8 故选 D. 4(2013四川，9，中)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯这两串彩灯的第一次闪亮相 互独立，且都在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮那么这两串彩 灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是() A. B. C. D.

36、1 4 1 2 3 4 7 8 【答案】C设通电 x 秒后第一串彩灯闪亮，y 秒后第二串彩灯闪亮 依题意得 0 x4，0y4，S4416. 又两串彩灯闪亮的时刻相差不超过 2 秒，即|xy|2， 如图可知，符合要求的 S16 22 2212， 1 2 1 2 由几何概型可得 P . S S 12 16 3 4 5(2013福建，11，易)利用计算机产生 01 之间的均匀随机数 a，则事件“3a10” 发生的概率 为_ 【解析】由题意知 0a1，事件“3a10” 发生时，a 且 a1，取区间长度为测度，由几何 1 3 概型的概率公式得其概率 P . 1 1 3 1 2 3 【答案】2 3 6(2

37、014福建，14，易)如图，在边长为 e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它 落到阴影部分的概率为_ 【解析】yex与 yln x 互为反函数，故直线 yx 两侧的阴影部分面积相等， S阴2(eex)dx2(exex)| 2， 1 0 1 0 又S正方形e2，P. S阴 S正方形 2 e2 【答案】 2 e2 7 (2013山东， 14， 中)在区间3， 3上随机取一个数 x， 使得|x1|x2|1 成立的概率为_ 【解析】当 x2 时，不等式可化为 x1x21，即 31，此式恒成立， 此时 x2. 综上，不等式|x1|x2|1 的解集为1，) 不等式|x1|x2|1 在区间

38、3，3上的解集为1，3，其长度为 2. 又 x3，3，其长度为 6，由几何概型可得 P . 2 6 1 3 【答案】1 3 8(2011江西，12，中)小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若 此点到圆心的距离大于 ，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于 ，则去打篮球；否则，在家看 1 2 1 4 书则小波周末不在家看书的概率为_ 【解析】记“小波周末去看电影”为事件 A，则 P(A)1 ，记“小波周末去打 ( 1 2 ) 2 3 4 篮球” 为事件 B，则 P(B)，点到圆心的距离大于 与点到圆心的距离小于 不可能同 ( 1 4 ) 2 1 16 1 2 1 4

39、时发生，所以事件 A 与事件 B 相互独立， 则小波周末不在家看书为事件 AB，P(AB)P(A)P(B) . 3 4 1 16 13 16 【答案】13 16 考向 1与长度(角度)有关的几何概型 1几何概型的意义 几何概型是基本事件个数有无限个，每个基本事件发生的可能性相等的一个概率模型，这个概率模 型的显著特点是每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)有关 2几何概型的概率计算公式 在几何概型中，事件 A 的概率的计算公式如下： P(A). 构成事件A的区域长度（面积或体积） 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积） (1)(2012辽宁，10)在长为 12 cm 的

40、线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形，邻边长分别等于 线段 AC，CB 的长，则该矩形面积小于 32 cm2的概率为() A. B. C. D. 1 6 1 3 2 3 4 5 (2)(2014湖北黄冈质检，15)如图在等腰直角三角形 ABC 中，过直角顶点 C 作射线 CM 交 AB 于 M， 则使得 AM 小于 AC 的概率为_ 【思路导引】解题(1)(2)的思路是先正确选择事件区域的几何度量(长度、角度)，再根据已知条件 求出各区域长度，最后根据几何概型的概率计算公式求解 【解析】(1)设 ACx(0x12)，则 CB12x，则矩形面积 Sx(12x)12xx20，解得 0x4 或 8

41、x12，在数轴上表示，如图所示 由几何概型概率公式，得所求概率为 ，故选 C. 8 12 2 3 (2)当 AMAC 时，ACM 为以A 为顶点的等腰三角形，ACM67.5. 18045 2 当ACM67.5时，AMR，P .2 MmC 圆的周长 1 2 考向 2与面积(体积)有关的几何概型 (1)(2014辽宁，14)正方形的四个顶点 A(1，1)，B(1，1)，C(1，1)，D(1，1)分 别在抛物线 yx2和 yx2上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形 ABCD 中，则质点落在图中阴 影区域的概率是_ (2)(2014北京昌平联考，12)在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D

42、1中，点 O 为底面 ABCD 的中心， 在正方体 ABCDA1B1C1D1内随机取一点 P，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为_ 【解析】(1)S正方形4， S阴影2(1x2)dx2Error! 1 ， 1 1 1 8 3 P . S阴影 S正方形 8 3 4 2 3 (2)如图，与点 O 距离等于 1 的点的轨迹是一个以 O 为球心，半径为 1 的半球面， 其体积为 V1 13. 1 2 4 3 2 3 事件“点 P 与点 O 距离大于 1 的概率”对应的区域体积为 23， 2 3 根据几何概型概率公式，点 P 与点 O 距离大于 1 的概率 P1. 23 2 3 23 12 【

43、答案】(1) (2)1 2 3 12 【点拨】解题(1)(2)的关键是正确选择事件区域的几何度量(面积、体积)，求出度量值，利用几何 概型概率计算公式求解 应用几何概型求概率的方法 建立相应的几何概型，将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量 (1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在数轴上即可； (2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件， 然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型； (3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述， 则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，

44、 利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型 (2013陕西，5)如图，在矩形区域 ABCD 的 A，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号 的覆盖范围分别是扇形区域 ADE 和扇形区域 CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)若在 该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是() A1 B.1 4 2 C2 D. 2 4 【答案】A依题意，有信号的区域面积为2，矩形的面积为 2， 4 2 故所求概率为 P1. 2 1 2 2 1 4 1(2015湖北荆州中学质检，4)在区间，内随机取两个数分别记为 a，b，则使得函数 f(x) x22axb2有零点的概率为() A. B.

45、 7 8 3 4 C. D. 1 2 1 4 【答案】B建立如图所示的平面直角坐标系，则试验的全部结果构成的区域 为正方形 ABCD 及其内部 要使函数 f(x)x22axb2有零点， 则必须有 4a2 4(b2)0， 即 a2b2， 其表示的区域为图中阴影部分故所求概率 P S阴影 S正方形 . 32 42 3 4 2(2014北京昌平模拟，5)设不等式组表示的平面区域为 D.在区域 D 内随机取一 x2y2 0， x 4， y 2 ) 个点，则此点到直线 y20 的距离不小于 2 的概率是() A. B. 4 13 5 13 C. D. 8 25 9 25 【答案】D作出平面区域 D，可知

46、平面区域 D 是以 A(4，3)，B(4，2)，C(6，2)为顶点的 三角形区域，当点在AED 区域内时，点到直线 y20 的距离不小于 2. P. S AED S ABC 1 2 6 3 1 2 10 5 9 25 3(2015河南郑州一模，5)已知 x，y 都是区间内任取的一个实数，则使得 ysin x 成立的概 0， 2 率是() A. B. 4 2 2 C. D. 1 2 2 2 【答案】A所求事件的度量为函数 ysin x 的图象在内与 x 轴围成的图形的面积， 即 S 0， 2 ，则所求事件 A 的概率为 P，故选 A. 22 00 sincos1xdxx S S 1 2 2 4

47、2 4(2014安徽合肥一模，13)如图，四边形 ABCD 为矩形，AB，BC1，在DAB 内任作射线3 AP，则射线 AP 与线段 BC 有公共点的概率为_ 【解析】当点 P 在 BC 上时，AP 与 BC 有公共点，此时 AP 扫过ABC， 所以 P . BAC BAD 30 90 1 3 【答案】1 3 5 (2014山东东营模拟， 14)在长为 16 cm 的线段 AB 上任取一点 M， 并以线段 AM 为一边作正方形， 则此正方形的面积介于 25 cm2与 81 cm2之间的概率为_ 【解析】根据题意，设 AM 的长为 x cm，依题意有 25x281，5x90的概 率为_ 【解析】

48、如图，以 AB 为直径作圆，则圆在正方形 ABCD 内的区域为半圆， 其面积 S 12 ，满足条件AMB90的点 M 在半圆内， 1 2 2 故所求概率 P . S阴影 S正方形ABCD 2 22 8 【答案】 8 7 (2014云南昆明三模， 14)圆 x2y22内的曲线 ysin x 与 x 轴围成的阴影部分区域记为 M(如 图)，随机往圆内投掷一个点 A，则点 A 落在区域 M 的概率为_ 【解析】圆的面积为3，阴影部分的面积为 2Error! 4， 0 P. 4 3 【答案】 4 3 8(2015宁夏银川一模，14)如图，矩形 OABC 内的阴影部分由曲线 f(x)sin x 及直线

49、xa(a(0， )与 x 轴围成，向矩形 OABC 内随机掷一点，该点落在阴影部分的概率为 ，则 a_ 1 2 【解析】根据题意，阴影部分的面积为 sin xdxcos x| 1cos a， a 0 a0 又矩形的面积为 a 4， 4 a 则由几何概型的概率公式可得 ， 1cos a 4 1 2 即 cos a1， 又 a(0，a. 【答案】 (时间：90 分钟_分数：120 分) 一、选择题(共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分) 1(2011课标全国，6)有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各 个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率

50、为() A. B. C. D. 1 3 1 2 2 3 3 4 【答案】A甲、乙两人都有 3 种选择，共有 339 种情况，甲、乙两人参加同一兴趣小组共 有 3 种情况 甲、乙两人参加同一兴趣小组的概率 P ，故选 A. 3 9 1 3 2(2014山东潍坊质检，5)连续抛掷两次骰子，得到的点数分别为 m，n，记向量 a(m，n)，b (1，1)的夹角为 ，则 的概率是() (0， 2 A. B. C. D. 5 12 1 2 7 12 5 6 【答案】C根据题意得到的点(m，n)共 36 个，abmn0，所以 mn，满足此条件的点(m， n)共有 12345621(个)，故所求概率为. 21

51、 36 7 12 3(2015浙江绍兴二模，4)从 1，2，9 中任取两数，其中 ： 恰有一个偶数和恰有一个奇数 ； 至少有一个奇数和两个数都是奇数；至少有一个奇数和两个数都是偶数；至少有一个奇数和至少有 一个偶数 在上述事件中，是对立事件的是() A B C D 【答案】C从 1，2，9 中任取两数，包括一奇一偶、二奇、二偶，共三种互斥事件，所以 只有中的两个事件才是对立的 4(2011广东，6)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要 再赢两局才能得冠军若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为() A. B. C. D. 1 2 3 5 2 3 3 4

52、【答案】D方法一：以甲队再打的局数分类讨论，若甲队再打一局得冠军的概率为 p1，则 p1 ，若甲队再打两局得冠军的概率为 p2，则 p2 ，故甲队获得冠军的概率为 p1p2 ，故选 D. 1 2 1 2 1 2 1 4 3 4 方法二：设乙队获得冠军的概率为 p1，则 p1 ，故甲队获得冠军的概率为 p1p1 ，故 1 2 1 2 1 4 3 4 选 D. 5(2015河北唐山一中调研，5)设 m，n 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则在先后两次出现 的点数中有 5 的条件下，方程 x2mxn0 有实根的概率为() A. B. 11 36 7 36 C. D. 7 11 7 10 【答案】C

53、由题意可得，在先后两次出现的点数(m，n)中有 5 的基本事件有(5，1)，(5，2)，(5， 3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(1，5)，(2，5)，(3，5)，(4，5)，(6，5)，共 11 个，而满足 m24n0 的 有 7 个，故选 C. 6(2014安徽亳州高三质检，10)已知集合 M1，2，3，4，N(a，b)|aM，bM，A 是集 合 N 中任意一点，O 为坐标原点，则直线 OA 与 yx21 有交点的概率是() A. B. C. D. 1 2 1 3 1 4 1 8 【答案】C直线 OA 的方程为 y x，直线 OA 与 yx21 有交点，则有解，即 x2 b a

54、yb ax， yx21) b a x10 有解，即40，即 2，满足此条件的点有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，4)共 4 个，而 N 中 b2 a2 b a 所有点有 16 个，P . 4 16 1 4 7 (2014山东菏泽模拟， 8)已知实数 x1， 1， y0， 2， 则点 P(x， y)落在区域 2xy2 0， x2y1 0， xy2 0 ) 内的概率为() A. B. 3 16 3 8 C. D. 3 4 1 2 【答案】B如图所示，P(x，y)在矩形 ABCD 内取值，S矩形 ABCD4，不等式组所表示的区域为 AEF，因为 FG ，所以 SAEF 2 ，由几何概型的概

55、率公式，得所求概率为 4 ，故选 3 2 1 2 3 2 3 2 3 2 3 8 B. 8(2015安徽芜湖一模，8)已知数列an是等差数列，从 a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中取走任意四 项，则剩下三项构成等差数列的概率为() A. B. 6 35 9 35 C1 或 D1 或 9 35 6 35 【答案】C当等差数列an的公差为 0 时，剩下三项一定构成等差数列，故概率为 1. 当等差数列an的公差不为 0 时，从 a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中取走任意四项，剩下三项的总数 有 C 35(种)， 4 7 剩下三项构成等差数列，则符合条件的有(a1，a2，a3)，(a2

56、，a3，a4)，(a3，a4，a5)，(a4，a5，a6)， (a5，a6，a7)，(a1，a3，a5)，(a2，a4，a6)，(a3，a5，a7)，(a1，a4，a7)9 种情况，故剩下三项构成等差数 列的概率为. 9 35 思路点拨：根据公差是否为 0 进行分类讨论，由题意可求得所有的基本事件数目，也可求得符合条 件的基本事件数目，由古典概型概率公式求解 9(2015河南开封模拟，7)在不等式组所表示的平面区域内任取一点 P，若点 P 的 0 x 2， 0 y 2) 坐标(x，y)满足 ykx 的概率为 ，则实数 k() 3 4 A4 B2 C. D. 2 3 1 2 【答案】D如图，满足

57、不等式组的区域是边长为 2 的正方形，面积是 4，假设满足不等式 ykx 的区域如图阴影部分，其面积为 4 22k，由几何概型的概率公式得点 P 的坐标(x，y)满足 ykx 的 1 2 概率为 ，解得 k . 41 2 2 2k 4 3 4 1 2 10(2015湖北武汉模拟，7)如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，E，H 分别是棱 A1B1，D1C1 上的点(点 E 与 B1不重合)，且 EHA1D1，过 EH 的平面与棱 BB1，CC1相交，交点分别为 F，G.若 AB 2AA12a， EFa， B1EB1F， 在长方体 ABCDA1B1C1D1内随机选取一点， 则该点取自于几何体 A1ABFE D1DCGH 内的概率为() A. B. C. D. 11 16 3 4 13 16 7 8 【答案】D在等腰直角三角形 B1EF 中，因为斜边 EFa， 所以 B1EB1Fa. 2 2 根据几何概型概率公式，得 P 11 1 1