人教大纲版高考数学题库考点20圆锥曲线的综合问题

1、 考点 20 圆锥曲线的综合问题考点 20 圆锥曲线的综合问题 1.（2010上海高考文科3）在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，它的一个焦点坐标为 ( 5,0)，1(2,1)e ， 2(2, 1)e 分别是两条渐近线的方向向量任取双曲线上的点P，若 2 21 1 e eb be ea aO OP P （a，bR） ，则a，b满足的一个等式是 【命题立意】本题考查双曲线性质与向量的有关知识，属中档题 【思路点拨】先设出双曲线的方程，再由渐近线的方向向量及焦点坐标求出实半轴长和虚半轴长，得到双 曲线方程.由向量相等，建立 P 点横纵坐标与 a,b 的关系，将 P 点坐标代入双曲线方程就能找到

2、 a，b 满足 的等式 【规范解答】可设双曲线方程为 ) )0 0 , , 0 0 ( ( 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 n nm m n n y y m m x x ，因为 1(2,1)e ， 2(2, 1)e 分别是两条 渐近线的方向向量，所以 2 2 1 1 m m n n . 又由已知可得双曲线中 c= 5 5 ，所以 5 5 2 22 2 n nm m . 由可得 1 1 2 2 n n m m 所以双曲线方程为 1 1 4 4 2 2 2 2 y y x x .设 P（x，y） ，则 ) )1 1 , , 2 2 ( () )1 1 , , 2 2( () ), ,( (

3、 b ba ay yx x ， ， ， 所以代入双曲线方程,得 4 4 1 1 a ab b . 【答案】 4 4 1 1 a ab b 2.（2010上海高考理科3）如图所示，直线 x=2 与双曲线：1 4 2 2 y x 的渐近线交于 1 E, 2 E两点， 记 1122 ,OEe OEe ，任取双曲线上的点 P， 若，则 a，b 满足的 12 OPaebe (a,b R) 一个等式是 . 【命题立意】本题考查双曲线的性质与向量的有关知识 【思路点拨】先求出双曲线的渐近线方程，再确定 1 E, 2 E的坐标，由向量相等，建立 P 点横纵坐标与 a,b 的关系，将 P 点坐标代入双曲线方程就

4、能找到 a，b 满足的等式 【规范解答】易得 ) )1 1 , , 2 2 ( () ), ,1 1 , , 2 2( ( 2 21 1 E EE E ， 所以 ) )1 1 , , 2 2 ( () ), ,1 1 , , 2 2( ( 2 22 21 11 1 O OE Ee eO OE Ee e . 设 ) ), ,( (y yx xP P ,则 ) ), ,( (y yx xO OP P ，所以 ) )1 1 , , 2 2 ( () )1 1 , , 2 2( () ), ,( ( b ba ay yx x ， 即 b ba ay y b ba ax x2 22 2 代入双曲线方程,

5、得 4 4 1 1 a ab b . ， ， 【答案】 4 4 1 1 a ab b 【方法技巧】求双曲线 22 22 1 xy ab 的渐近线时，可令 22 22 0 xy ab 即可解出渐近线方程 3.（2010江西高考文科）已知抛物线 1 C： 22 xbyb经过椭圆 2 C： 22 22 1(0) xy ab ab 的两个焦点. (1) 求椭圆 2 C的离心率. (2) 设(3, )Qb，又,M N为 1 C与 2 C不在y轴上的两个交点，若 QMN的重心在抛物线 1 C上， 求 1 C和 2 C的方程. 【命题立意】本小题主要考查直线、椭圆、抛物线等基础知识，考 查三角形的重心性质，

6、考查运算求解能力、推理论证能力，考查函 数与方程思想、数形结合思想. 【思路点拨】 （1）将焦点坐标直接代入即可得.（2）利用对称特点先求两个交点 M，N 的坐标，然后将求 出的重心坐标代入方程求出字母系数即可. 【规范解答】 （1）因为抛物线 1 C 经过椭圆 2 C 的两个焦点 12 (,0),( ,0)FcF c ， 所以 22 0cbb ，即 22 cb .由 2222 2abcc 得椭圆 2 C 的离心率 2 2 e . N x Q M O y （2）由（1）可知 22 2ab ，椭圆 2 C 的方程为 22 22 1 2 xy bb . 与抛物线 1 C 的方程 22 xbyb 联

7、立消去 x 得： 22 20ybyb . 解得： 2 b y 或 yb （舍去）.所以 6 2 xb ， 即 66 (,),(,) 2222 bb MbNb ，所以 QMN 的重心坐标为(1,0). 因为重心在 1 C 上，所以 22 10bb ，得 1b .所以 2 2a . 所以抛物线 1 C 的方程为 2 1xy ，椭圆 2 C 的方程为 2 2 1 2 x y . 4.（2010江西高考理科）设椭圆 22 1 22 :1(0) xy Cab ab ，抛物线 22 2: Cxbyb （1）若 2 C经过 1 C的两个焦点，求 1 C的离心率. （2）设 5 (0, ),(3 3,) 4

8、Ab Qb，又 M，N 为 1 C与 2 C不在y轴上的 两个交点，若AMN的垂心为 3 (0,) 4 Bb，且QMN的重心在 2 C上，求椭圆 1 C和抛物线 2 C的方程 【命题立意】本小题主要考查直线、椭圆、抛物线等基础知识， 考查综合运用解析几何知识解决问题的能力，体现了函数与方程思想及数形结合思想. 【思路点拨】 （1）将焦点坐标直接代入即可得.（2）利用对称特点先求两个交点 M，N 的坐标，然后将求 出的重心坐标代入方程求出字母系数即可. 【规范解答】 （1）因为抛物线 2 C经过椭圆 1 C的两个焦点 1( ,0)Fc， 2( ,0) F c， 可得 22 cb.由 2222 2

9、abcc，有 2 2 1 2 c a ， 所以椭圆 1 C的离心率 2 2 e （2）由题设可知 M，N 关于 y 轴对称，设 11111 (,),( ,),(0)Mx yN x yx x10， 则由 AMN 的垂心为 B，有 0BM AN ， 所以 2 111 3 ()()0 4 xyb yb . 由于点 11 ( ,)N x y 在 2 C 上，故有 22 11 xbyb . 由得 , 4 1 b y 或 by 1 （舍去） ，所以 , 2 5 1 bx 故 ), 4 , 2 5 (), 4 , 2 5 ( b bN b bM 所以 QMN 的重心为.因重心在 2 C 上，可得 , 4 3

10、 2 2 b b b 3 4 （， ） 所以 ), 2 1 ,5(), 2 1 ,5(, 2NMb . 又因为 NM, 在 1 C 上，所以 , 1 4 ) 2 1 ( )5( 2 2 2 a 得 . 3 16 2 a 所以椭圆 1 C 的方程为 , 1 4 3 16 22 yx 抛物线 2 C 的方程为 . 4 2 2 yx 5.（2010四川高考理科20）已知定点1 02 0A(, ),F( , )，定直线 1 2 l : x ，不在x轴上的动点P与 点F的距离是它到直线l的距离的 2 倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于 B,C 两点，直线 AB,AC 分别交l于点 M,N. （1）

11、求E的方程. （2）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由. 【命题立意】本题主要考查轨迹方程、直线方程、直线和双曲线交点问题、圆的性质等基础知识，考查用 代数方法研究圆锥曲线的性质及推理运算能力. 【思路点拨】 （1）可直接设点，利用已知条件求轨迹方程，属送分题. （2） 结合图形，要判断以线段MN为直径的圆是否过点F，一从长度判断：点F到MN的中点的距离是 否是线段MN长度的一半，这个计算量更大些；二从位置关系判断：若F在以MN为直径的圆上，则 MFN为直角， 即 FMFN,因平面坐标系内点的坐标易求，从而转化为向量的坐标运算，即判断 是否成立.FM FN=0 【规范解答】 （1

12、）设 ( , )(0)P x yy ，则由题意知 22 1 (2)(0)2 2 xyx ， 整理可得 2 2 1(0) 3 y xy . E的方程为 2 2 1(0) 3 y xy . （2）当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为 (2)(0)yk xk ， 由 2 2 1, 3 (2). y x yk x 消去 y 得（3-k2） 222 (3)4(43)0k xk xk . 由题意知， 2 30k 且 0 . 设 11 ( ,)B x y ， 22 (,)C xy ，则 2 12 2 4 3 k xx k ， 2 12 2 43 3 k x x k . 22 12121212 (2)(2

13、)2()4y ykxxkx xxx 222 2 222 4389 (4) 333 kkk k kkk . x1x2-1，直线AB 的方程为 1 1 (1) 1 y yx x , 因此M点的坐标为 1 1 31 ( ,) 2 2(1) y x , 1 1 33 (,) 2 2(1) y FM x .同理可得 2 2 33 (,) 2 2(1) y FN x . 12 12 933 () () 224(1)(1) y y FM FN xx 2 2 22 22 81 999 3 0 434444 4(1) 33 k k kk kk . FM FN ,即以线段MN为直径的圆过点F. 当直线BC与x轴垂

14、直时，其方程为 2x ，则不妨令 (2,3),(2, 3)BC , AB的方程为 1yx ，因此M点的坐标为 1 3 ( , ) 2 2 ， 3 3 (, ) 2 2 FM .同理可得 33 (,) 22 FN . 3333 () ()0 2222 FM FN （） .FM FN ,即以线段MN为直径的圆过点F. 33 ()=0 22 - 综上，以线段MN为直径的圆过点F. 【方法技巧】利用方程组求解直线和圆锥曲线的交点问题是通用方法，判断垂直的问题可借助向量的数量 积解决.注重数形结合的思想，很多几何性质从图形可直观体现出来. 6.（2010上海高考理科23） 已知椭圆的方程为 22 22

15、1(0) xy ab ab ，点 P 的坐标为（-a，b）. （1）若直角坐标平面上的点 M，A(0,-b)，B(a，0)满足 1 PM=(PA+PB) 2 ,求点M的坐标. （2）设直线 11 :lyk xp交椭圆于C，D两点，交直线 22 :lyk x于点E.若 2 12 2 b kk a ，证明： E为CD的中点. （3）对于椭圆上的点 Q（a cos，b sin） （0） ，如果椭圆上存在不同的两个交点 1 P， 2 P 满足 12 PP +PP =PQ ,写出求作点 1 P， 2 P的步骤，并求出使 1 P， 2 P存在的的取值范围. 【命题立意】本题综合性较强，其涉及椭圆的方程及性

16、质、直线与椭圆的位置关系、椭圆的参数方程、向 量的应用等有关知识 【规范解答】 （1）由题知 ) )2 2, ,( (b ba aP PA A ， ) ), ,2 2( (b ba aP PB B ， ) ) 2 2 3 3 , , 2 2 3 3 ( () )( ( 2 2 1 1b ba a P PB BP PA A . 设 ) ), ,( (y yx xMM ，则 ) ), ,( (b by ya ax xP PMM .由 1 PM=(PA+PB) 2 ， 得 2 2 3 3 2 2 3 3 b b b by y a a a ax x 解得 2 2 2 2 b b y y a a x x

17、 所以点 M 的坐标为 ) ) 2 2 , , 2 2 ( ( b ba a MM ， ， ， ， （2）设 ) ), ,( ( 1 11 1 y yx xC C ， ) ), ,( ( 2 22 2 y yx xD D ， 则 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 b b y y a a x x ， 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b b y y a a x x .两式相减整理得 2 21 1 2 21 1 2 2 2 2 2 21 1 2 21 1 y yy y x xx x a a b b x xx x y yy y ， 所以 2 21 1 2

18、21 1 2 2 2 2 1 1 y yy y x xx x a a b b k k .又因为 2 12 2 b kk a ， 所以 2 21 1 2 21 1 2 2 x xx x y yy y k k . 设 CD 的中点为 ) ) 2 2 , , 2 2 ( ( 2 21 12 21 1 y yy yx xx x N N ，则点 N 在直线 1 1 l l 上.又点 N 坐标满足 2 2 l l 方程，所以点 N 在直线 2 2 l l 上，即 N 为直线 1 1 l l 与 2 2 l l 的交点，由题设 1 1 l l 与 2 2 l l 交于点 E,所以点 E 与点 N 重合，即

19、E 为 CD 的中点 (3)由 P PQ QP PP PP PP P 2 21 1 ，且点 2 21 1, ,P P P P 在椭圆上， 由向量的几何性质可知四边形 2 21 1Q QP P P PP P 为平行 四边形.作法：设椭圆的中心为 O， 取 PQ中点为 F； 作直线 OF 交椭圆于点 N； 过 N 作椭圆的切线 t； 过 F 作直线 t 的平行线l， 则这条线与椭圆的两个交点就是所求的点 2 21 1, ,P P P P 要使这样的点 2 21 1, ,P P P P 存在，只需线段 PQ 的中点 F 在椭圆内部，易得 ) ) 2 2 s si in n , , 2 2 c co

20、os s ( ( b bb ba aa a F F . 由 1 1 2 2 s si in n 2 2 c co os s 2 22 2 2 2 b b b bb b a a a aa a ，解得 4 4 2 2 ) ) 4 4 s si in n( ( ，所以 4 4 2 2 a ar rc cs si in n 4 4 . 又 0，所以 4 4 2 2 a ar rc cs si in n 4 4 0 0 的取值范围为 4 4 2 2 a ar rc cs si in n 4 4 0 0 【方法技巧】 （1）直线与椭圆相交的问题中，设出弦端点的坐标，代入椭圆方程作差整理后，可以得到直 线的

21、斜率与弦中点坐标的关系；（2） “直线与椭圆有两个交点”等价于“弦中点在椭圆内部” ，可以将弦 中点的坐标代入椭圆方程，将方程中的“=”改为“” ，其作用等价于联立方程后的判别式大于 0. 7.（2010湖北高考理科19）已知一条曲线 C 在 y 轴右边，C 上每一点到点 F(1,0)的距离减去它到 y 轴距离的差是 1. (1)求曲线 C 的方程. (2)是否存在正数 m，对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线，都有0FA FB ?若存在， 求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由. 【命题立意】本题主要考查如何求曲线方程、抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系等，同时考查考生 的推理和运算求解能力 【思路点拨】(1)按求曲线方程的步骤求对应的曲线方程. (2)假设存在符合条件的 m，设 A(x1,y1),B(x2,y2),由0FA FB 1212 (1)(1)xxy y 1 2 sin 2 cos 22 2 b bb a aa = 121212 () 10 x xxxy y ,再利用根与系数的关系找出 m 的值或范围. 【规范解答】(1)设(