高三数学总复习学案41

1、学案学案 41空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积 导学目标： 1.了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积的计算公式.2.了解球、柱、锥、台 的体积的计算公式.3.培养学生的空间想象能力、 逻辑推理能力和计算能力， 会利用所学公式 进行必要的计算.4.提高认识图、理解图、应用图的能力 自主梳理 1多面体的表面积 (1)设直棱柱高为 h，底面多边形的周长为 c，则 S直棱柱侧_. (2)设正 n 棱锥底面边长为 a，底面周长为 c，斜高为 h，则 S正棱锥侧_ _. (3)设正 n 棱台下底面边长为 a，周长为 c，上底面边长为 a，周长为 c，斜高为 h，则 S正棱台侧_. (4)设球的

2、半径为 R，则 S球_. 2几何体的体积公式 (1)柱体的体积 V柱体_(其中 S 为柱体的底面面积，h 为高) 特别地，底面半径是 r，高是 h 的圆柱体的体积 V圆柱r2h. (2)锥体的体积 V锥体_(其中 S 为锥体的底面面积，h 为高) 特别地，底面半径是 r，高是 h 的圆锥的体积 V圆锥 r2h. 1 3 (3)台体的体积 V台体_(其中 S，S 分别是台体上、下底面的面积，h 为高) 特别地，上、下底面的半径分别是 r、r，高是 h 的圆台的体积 V圆台 h(r2rr 1 3 r2) (4)球的体积 V球_(其中 R 为球的半径) 自我检测 1已知两平行平面 ， 间的距离为 3

3、，P，边长为 1 的正三角形 ABC 在平面 内， 则三棱锥 PABC 的体积为() A. B. 1 4 1 2 C. D. 3 6 3 4 2(2011唐山月考) 从一个正方体中，如图那样截去 4 个三棱锥后，得到一个正三棱锥 ABCD，则它的表 面积与正方体表面积的比为() A.3 B.232 C.6 D.636 3设三棱柱 ABCA1B1C1的体积为 V，P，Q 分别是侧棱 AA1，CC1上的点，且 PA QC1，则四棱锥 BAPQC 的体积为() A. V B. V 1 6 1 4 C. V D. V 1 3 1 2 4(2011平顶山月考)下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得

4、该几何体的表 面积是() A9 B10 C11 D12 5(2011陕西)某几何体的三视图如下，则它的体积是() A8 B8 2 3 3 C82 D.2 3 探究点一多面体的表面积及体积 例 1 三棱柱的底面是边长为 4 的正三角形，侧棱长为 3，一条侧棱与底面相邻两边都 成 60角，求此棱柱的侧面积与体积 变式迁移 1(2011烟台月考)已知三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都等于 2， A1在底面 ABC 上的射影为 BC 的中点，则三棱柱的侧面面积为_ 探究点二旋转体的表面积及体积 例 2 如图所示，半径为 R 的半圆内的阴影部分以直径 AB 所在直线为轴，旋转一周得到一 几何体

5、，求该几何体的表面积(其中BAC30)及其体积 变式迁移 2直三棱柱 ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上 若 ABACAA12， BAC120，则此球的表面积等于_ 探究点三侧面展开图中的最值问题 例 3 如图所示，长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABa，BCb，CC1c，并且 abc0.求沿着长方体的表面自 A 到 C1的最短线路的长 变式迁移 3 (2011杭州月考)如图所示，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，底面为直角三角形，ACB 90，AC6，BCCC1 .P 是 BC1上一动点，则 CPPA1的最小值是_2 1有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用

6、几何体中的 直角三角形、直角梯形求有关的几何元素 2当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂， 但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割” 、“补”的技巧，化复杂几何体为 简单几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题提供便利(1)几何体的“分割”： 几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求， 分割成若干个易求体积的几何体， 进 而求之(2)几何体的“补形”：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易 求体积的几何体，如长方体、正方体等另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积 的方法，由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积 (满分：

7、75 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1(2011安徽)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为() A48 B328 17 C488 D8017 2已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是，则 32 3 这个三棱柱的体积是() A96 B16 C24 D483333 3已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 a，长为定值的线段 EF 在棱 AB 上移动 (EFbc0，abacbc0. 故最短线路的长为.a2b2c22bc 变式迁移 35 2 解析将BCC1沿 BC1线折到面 A1C1B 上，如图所示 连接 A1C 即为 CPPA1

8、的最小值，过点 C 作 CD 垂直 A1C1延长线交于 D，BCC1为 等腰直角三角形， CD1，C1D1，A1DA1C1C1D7. A1C 5 .A1D2CD24912 课后练习区 1C 由三视图知该几何体的直观图如图所示，该几何体的下底面是边长为 4 的正方形 ； 上底 面是长为 4、宽为 2 的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为 2，下底长为 4，高为 4； 另两个侧面是矩形，宽为 4，长为.所以 S表4224 (24)424421217 1 2 2488.1717 2D由 R3，R2.正三棱柱的高 h4.设其底面边长为 a，则 a2， 4 3 32 3 1 3 3 2 a4 . 3

9、 V(4)2448. 3 4 33 3D4.B 5C将三视图还原成几何体的直观图如图所示 它的四个面的面积分别为 8,6,10,6，故最大的面积应为 10.2 66 7 解析取底面中心为 O，AF 中点为 M，连接 PO、OM、PM、AO，则 POOM， OMAF，PMAF， OAOP2，OM，3 PM.437 S侧6 26. 1 2 77 7. 15 3 解析围成圆锥筒的母线长为 4 cm， 设圆锥的底面半径为 r，则 2r 24， 1 4 r1，圆锥的高 h.421215 V圆锥 r2h(cm3) 1 3 15 3 82R2 解析方法一设圆柱的轴与球的半径的夹角为 ，则圆柱高为 2Rcos

10、 ，圆柱底面半 径为 Rsin ，S圆柱侧2Rsin 2Rcos 2R2sin 2.当 sin 21 时，S圆柱侧最大为 2R2， 此时，S球表S圆柱侧4R22R22R2. 方法二设圆柱底面半径为 r，则其高为 2.R2r2 S圆柱侧2r2，R2r2 S圆柱侧4.R2r2 4r2 R2r2 令 S圆柱侧0，得 rR. 2 2 当 0r0； 2 2 当RrR 时，S0. 2 2 当 rR 时，S圆柱侧取得最大值 2R2. 2 2 此时 S球表S圆柱侧4R22R22R2. 方法三设圆柱底面半径为 r，则其高为 2，R2r2 S圆柱侧2r24R2r2r2 R 2r2 42R2(当且仅当 r2R2r2

11、，即 rR 时取“”) r2R2r2 2 2 2 当 rR 时，S圆柱侧最大为 2R2. 2 2 此时 S球表S圆柱侧4R22R22R2. 9解设圆柱的底面半径为 r，母线长为 h， 当点 C 是弧的中点时， 三角形 ABC 的面积为 r2， 三棱柱 ABCA1B1C1的体积为 r2h， AB 三棱锥 A1ABC 的体积为 r2h，四棱锥 A1BCC1B1的体积为 r2h r2h r2h，圆柱的体 1 3 1 3 2 3 积为 r2h，(10 分) 故四棱锥 A1BCC1B1与圆柱的体积比为 23. (12 分) 10(1)证明取 BC 的中点 E，连接 AE，DE，EF， ABC 与DBC

12、都是边长为 4 的正三角形， AEBC，DEBC. 又 AEDEE， BC平面 AED.又 AD面 AED， BCAD.(6 分) (2)解由已知得，AED 为等腰三角形，且 AEED2，设 ADx，F 为棱 AD 的3 中点， 则 EF，12(1 2x ) 2 SAED x ，(8 分) 1 2 12x 2 4 1 4 48x2x4 V SAED(BECE) (0x4)， 1 3 1 3 48x2x43 当 x224，即 x2时，Vmax8，6 该四面体存在最大值，最大值为 8，(11 分) 此时棱长 AD2.(12 分)6 11(1)证明由多面体 ABFEDC 的三视图知，三棱柱 AEDBFC 中，底面 DAE 是等 腰直角三角形，DAAE2，DA平面 ABFE，面 ABFE，ABCD 都是边长为 2 的正方 形(3 分) 连接 EB，则 M 是 EB 的中点， 在EBC 中，MNEC， 且 EC平面 CDEF， MN平面 CDEF， MN平面 CDEF.(6 分) (2)解DA平面 A