高三数学总复习学案19

1、学案学案 19三角函数的图像与性质三角函数的图像与性质 导学目标： 1.能画出 ysin x，ycos x，ytan x 的图象，了解三角函数的周期性.2.理 解正弦函数、余弦函数在区间0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与 x 轴的交点 等)，理解正切函数在区间内的单调性 ( 2， 2) 自主梳理 1三角函数的图象和性质 函数ysin xycos xytan x 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性 在 _ 上增，在 _ _上减 在 _ _上增，在 _ _上减 在定义域的每一个区间 _ _内是增函数 2.正弦函数 ysin x 当 x_时，取最大值 1； 当 x_时，取最小值1

2、. 3余弦函数 ycos x 当 x_时，取最大值 1； 当 x_时，取最小值1. 4ysin x、ycos x、ytan x 的对称中心分别为_、_、 _. 5ysin x、ycos x 的对称轴分别为_和_，ytan x 没有 对称轴 自我检测 1(2010十堰月考)函数 yAsin(x) (A， 为常数，A0，0)在闭区间， 0上的图象如图所示，则 为 () A1B2C3D4 2函数 ysin图象的对称轴方程可能是 () (2x 3) AxBx 6 12 CxDx 6 12 3(2010湖北)函数 f(x)sin，xR 的最小正周期为 ()3 ( x 2 4) A.BC2D4 2 4 (

3、2010北京海淀高三上学期期中考试)函数 f(x)(sin xcos x)2cos 2x 的最小正周期 为 () A4B3C2D 5如果函数 y3cos(2x)的图象关于点中心对称，那么|的最小值为 () ( 4 3 ，0) A.B.C.D. 6 4 3 2 探究点一求三角函数的定义域 例 1 (2011衡水月考)求函数 y的定义域2log1 2x tan x 变式迁移 1函数 ylg(2sin x1)的定义域为_12cos x 探究点二三角函数的单调性 例 2 求函数 y2sin的单调区间 ( 4x) 变式迁移 2(2011南平月考)(1)求函数 ysin，x，的单调递减区间； ( 32x)

4、 (2)求函数 y3tan的周期及单调区间 ( 6 x 4) 探究点三三角函数的值域与最值 例 3 已知函数 f(x)2asin(2x )b 的定义域为0， ，函数的最大值为 1，最小值 3 2 为5，求 a 和 b 的值 变式迁移 3设函数 f(x)acos xb 的最大值是 1，最小值是3，试确定 g(x)bsin(ax )的周期 3 转化与化归思想的应用 例 (12 分)求下列函数的值域： (1)y2sin2x2cos x2； (2)y3cos xsin x，x0， ；3 2 (3)ysin xcos xsin xcos x. 【答题模板】 解(1)y2sin2x2cos x22cos2

5、x2cos x 2(cos x )2 ，cos x1,1 1 2 1 2 当 cos x1 时，ymax4， 当 cos x 时，ymin ，故函数值域为 ，44 分 1 2 1 2 1 2 (2)y3cos xsin x2cos(x )33 6 x0， ， x ， 2 6 6 2 3 ycos x 在 ，上单调递减， 6 2 3 cos(x ) 1 2 6 3 2 y3，故函数值域为，38 分33 (3)令 tsin xcos x，则 sin xcos x，且|t|. t21 2 2 yt (t1)21，当 t1 时，ymin1； t21 2 1 2 当 t时，ymax .2 1 2 2 函

6、数值域为1， 12 分 1 2 2 【突破思维障碍】 1对于形如 f(x)Asin(x)，xa，b的函数在求值域时，需先确定 x 的范围， 再求值域同时，对于形 如 yasin xbcos xc 的函数， 可借助辅助角公式， 将函数化为 ysin(xa2b2 )c 的形式，从而求得函数的最值 2关于 yacos2xbcos xc(或 yasin2xbsin xc)型或可以为此型的函数求值域， 一般可化为二次函数在闭区间上的值域问题 提醒：不论用什么方法，切忌忽略函数的定义域 1熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的定义、图象和性质是研究三角问题的基 础， 三角函数的定义域是研究其他一切性质的前

7、提， 求三角函数的定义域实质上就是解最简 单的三角不等式(组) 2三角函数的值域问题，实质上是含有三角函数的复合函数的值域问题 3函数 yAsin(x) (A0，0)的单调区间的确定，基本思想是把 x 看作一个 整体，利用 ysin x 的单调区间来求 (满分：75 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1(2011黄山月考)已知函数 ysin x 的定义域为a，b，值域为1， ，则 ba 的 1 2 值不可能是 () A.B.CD. 3 2 3 4 3 2(2010安徽 6 校高三联考)已知函数 ytan x (0)与直线 ya 相交于 A、B 两点， 且|AB|最小值为 ，则函

8、数 f(x)sin xcos x 的单调增区间是 ()3 A. (kZ) 2k 6，2k 6 B. (kZ) 2k 3，2k 2 3 C. (kZ) 2k 2 3 ，2k 3 D. (kZ) 2k 6，2k 5 6 3函数 f(x)tan x (0)的图象的相邻的两支截直线 y 所得线段长为 ，则 f 4 4 ( 4 ) 的值是 () A0B1C1D. 4 4函数 yxcos x 的部分图象是图中 () 5 (2011三明模拟)若函数 ysin xf(x)在 ，上单调递增， 则函数 f(x)可以是() 4 3 4 A1Bcos x Csin xDcos x 题号12345 答案 二、填空题(每

9、小题 4 分，共 12 分) 6设点 P 是函数 f(x)sin x 的图象 C 的一个对称中心，若点 P 到图象 C 的对称轴的 距离的最小值是 ，则 f(x)的最小正周期是_ 8 7函数 f(x)2sin 对于任意的 xR，都有 f(x1)f(x)f(x2)，则|x1x2|的最小值为 x 4 _ 8(2010江苏)定义在区间上的函数 y6cos x 的图象与 y5tan x 的图象的交点 (0， 2) 为 P，过点 P 作 PP1x 轴于点 P1，直线 PP1与 ysin x 的图象交于点 P2，则线段 P1P2的长 为_ 三、解答题(共 38 分) 9(12 分)(2011厦门月考)已知

10、函数 f(x)，求它的定义域和值域，并 2cos4x3cos2x1 cos 2x 判断它的奇偶性 10(12 分)(2010福建改编)已知函数 f(x)2sin(x )a(0)与 g(x)2cos(2x) 6 1 的图象的对称轴完全相同 (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)求函数 f(x)的单调递减区间； (3)当 x0， 时，f(x)的最小值为2，求 a 的值 2 11(14 分)(2010安徽合肥高三二模)已知向量 a(sin x，2sin x)，b(2cos x，sin x)，3 定义 f(x)ab . 3 (1)求函数 yf(x)，xR 的单调递减区间； (2)若函数 yf(x

11、) (0 )为偶函数，求 的值 2 答案答案 自主梳理 1RRx|xk ，kZ1,11,1R22奇函数偶函数 2 奇函数2k ，2k (kZ)2k ，2k (kZ)2k，2k(kZ)2k， 2 2 2 3 2 2k(kZ)(k ，k )(kZ) 2 2 22k (kZ)2k (kZ)3.2k(kZ)2k(kZ)4.(k，0)(kZ) 2 2 (kZ)(kZ)5.xk (kZ)xk(kZ) (k 2，0) ( k 2 ，0) 2 自我检测 1C2.D3.D4.D5.A 课堂活动区 例 1 解题导引求三角函数的定义域时，需要转化为三角不等式(组)求解，常常借助 于三角函数的图象和周期解决， 求交集

12、时可以利用单位圆， 对于周期相同的可以先求交集再 加周期的整数倍即可 解要使函数有意义， 则Error! 得Error! 所以函数的定义域为 . x|0 x 0)的函数的 单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：把“x (0)”视 为一个“整体” ；A0 (A0)时，所列不等式的方向与 ysin x(xR)，ycos x(xR)的单 调区间对应的不等式方向相同(反) 解y2sin可看作是由 y2sin u 与 u x 复合而成的 ( 4x) 4 又u x 为减函数， 4 由 2k u2k (kZ)， 2 2 即 2k x2k (kZ)， 2 4 2 得2k x2k (kZ)，

13、 4 3 4 即(kZ)为 2k 4，2k 3 4 y2sin的递减区间 ( 4x) 由 2k u2k (kZ)， 2 3 2 即 2k x2k (kZ)， 2 4 3 2 得2kx2k (kZ)， 5 4 4 即(kZ)为 2k 5 4 ，2k 4 y2sin的递增区间 ( 4x) 综上可知，y2sin的递增区间为 ( 4x) (kZ)； 2k 5 4 ，2k 4 递减区间为 (kZ) 2k 4，2k 3 4 变式迁移 2解(1)由 ysin， ( 32x) 得 ysin， (2x 3) 由 2k2x 2k， 2 3 2 得kxk，kZ， 12 5 12 又 x， x，x，x. 7 12 1

14、2 5 12 11 12 函数 ysin，x，的单调递减区间为， ( 32x) ， 7 12 12， 5 12 . 11 12， (2)函数 y3tan的周期 ( 6 x 4) T4. | 1 4 | 由 y3tan( 6 x 4) 得 y3tan， ( x 4 6) 由 k k 得 2 x 4 6 2 4kx0，则Error!，解得Error!； 若 a0，则Error!，解得Error!； 若 a0，则Error!，解得Error!. 所以 g(x)sin(2x )或 g(x)sin(2x )，周期为 . 3 3 课后练习区 1A画出函数 ysin x 的草图(图略)，分析知 ba 的取值

15、范围为，故选 A. 2 3 4 3 2B由题意知，函数的最小正周期为 ，则 1， 故 f(x)sin xcos x3 2sin的单调增区间满足： (x 6) 2k x 2k (kZ) 2 6 2 解得 2k x2k. 3 2 3 3A 4D 5D因为 ysin xcos xsin(x )， x ，即 x，满足题意，2 4 2 4 2 4 3 4 所以函数 f(x)可以是cos x 6. 2 解析依题意得 ，所以最小正周期 T . T 4 8 2 74 解析由 f(x1)f(x)f(x2)知，f(x1)、f(x2)分别为 f(x)的最小值和最大值，而当 2k x 4 ，即 x8k2 (kZ)时，

16、f(x)取最小值；而 2k ，即 x8k2 (kZ)时，f(x)取 2 x 4 2 最大值， |x1x2|的最小值为 4. 8.2 3 解析线段 P1P2的长即为 sin x 的值，且其中的 x 满足 6cos x5tan x，x，解 (0， 2) 得 sin x .所以线段 P1P2的长为 . 2 3 2 3 9解由题意知 cos 2x0，得 2xk ， 2 解得 x (kZ) k 2 4 f(x)的定义域为x|xR，且 x ，kZ k 2 4 (3 分) 又 f(x)2cos 4x3cos2x1 cos 2x 2cos 2x1cos2x1 2cos2x1 cos2x1sin2x，(6 分)

17、 又定义域关于原点对称， f(x)是偶函数(8 分) 显然sin2x1,0， 又x ，kZ， k 2 4 sin2x . 1 2 原函数的值域为 .(12 分) y|1 y 1 2或 1 2 y 0 10解(1)f(x)和 g(x)的对称轴完全相同， 二者的周期相同，即 2，f(x)2sin(2x )a(3 分) 6 f(x)的最小正周期 T.(4 分) 2 2 (2)当 2k 2x 2k，kZ， 2 6 3 2 即 k xk(kZ)时，函数 f(x)单调递减， 6 2 3 故函数 f(x)的单调递减区间为 k ，k(kZ)(8 分) 6 2 3 (3)当 x0， 时，2x ，(10 分) 2 6 6 7 6 2sin(2 )a2， 2 6 a