分类加法计数原理

1、分类加法计数原理,计数,3种,2种,3+2=5种,引例1,从杭州到北京，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中，汽车有3班，火车有2班，那么一天中，乘坐这些交通工具从杭州到北京共有多少种不同的走法？,用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？,N=2610=36,引例2,编一个号码可以分成两类,引例3 两个袋子里分别装有40个不同的红球，60个不同的白球，从中任取一个球，有多少种取法？,取一个球可以分成两类， 一类是从装红球的袋子里取出一个红球，有40种取法 另一类是从装白球的袋子里取出一个白球，有60种取法,因此取法种数共有40+60=100种,分类加法

2、计数原理,完成一件事有两类不同方案，在第一类方案中有m种不同的方法，在第二类方案中有n种不同的方法。那么完成这件事共有 Nm+n种不同的方法。,例：在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下： A大学 B大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学 如果这名同学只能选一个专业，那么他有多少中选择？,完成的是哪一件事？,完成这件事分几类？每一类分别有几种不同的方法？,N=5+4=9,选择一个专业,例：在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下： A大学 B大

3、学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学 如果这名同学只能选一个专业，那么他有多少中选择？,在这个例题中，如果数学也是A大学的强项专业，则A大学共有6个专业可以选择，B大学有4个专业可以选择，那么用分类计数原理，得到这名同学可能的专业选择种数为6+4=10，对吗？,完成这件事的两类办法中的各种方法是互不相同的,无论哪类办法中的哪种方法都可以单独完成这件事,N=6+4-1=9,1.如图所示的是一个电路图,从左到右可通电的线路共有(). A.4条B.5条 C.6条D.9条,完成的是哪一件事？,完成这件事分几类？每一类分别有几种不同的方法？,N=3+2=5,2.现有一年

4、级的学生3名，二年级的学生5名，三年级的学生4名.从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？,N=3+5+4=12,完成的是哪一件事？,完成这件事分几类？每一类分别有几种不同的方法？,完成一件事，有n类办法. 在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类方法中有m2种不同的方法，在第n类方法中有mn种不同的方法，则完成这件事共有 种不同的方法,N= m1+m2+ +mn,2）要适当根据具体的问题确定一个分类标准，在分类标准下进行分类，并对每类方法计数.,1）各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事，要计算方法种数,只需将各类方法数相加,因此称分类加法计数原理。,说明,例：在所有的两位

5、数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个?,完成的是哪一件事？,完成这件事分几类？每一类分别有几种不同的方法？,组成个位数字大于十位数字的两位数,分析个位数字,可分以下几类: 个位数字是9,则十位数字可以是1,2,3,8中的一个,故有8个; 个位数字是8,则十位数字可以是1,2,3,7中的一个,故有7个; 同理,个位数字是7的有6个;个位数字是6的有5个;个位数字是2的只有1个. 由分类加法计数原理知,满足条件的两位数有1+2+3+4+5+6+7+8=36(个),不易回答,将个位数字比十位数字大的两位数一一写出: 12,13,14,15,16,17,18,19, 23,24,25,26,2

6、7,28,29, 34,35,36,37,38,39, 45,46,47,48,49, 56,57,58,59, 67,68,69, 78,79, 89.,按十位数上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类,在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个,由分类加法计数原理知,符合题意的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个),注：当分类不易说明时，多数是需要进行分类讨论,例：A与B是I=1,2,3,4的子集,若AB=1,2,则称(A,B)为 一个理想配集,若将(A,B)与(B,A)看成不同的“理想配集”,则符合 此条件的“理想配

7、集”的个数是(). A.4B.8C.9D.16,对子集A进行分类讨论. 当A是二元集1,2时,B可以1,2,3,4,1,2,4,1,2,3,1,2,共4种情况; 当A是三元集1,2,3时,B可以为1,2,4,1,2,共2种情况; 当A是三元集1,2,4时,B可以为1,2,3,1,2,共2种情况; 当A是四元集1,2,3,4时,此时B为1,2,共1种情况.,根据分类加法计数原理,共有4+2+2+1=9种情况,故符合此条件的“理想配集”有9个.,例:将A,B,C,D四名同学按一定顺序排成一排,要求自左向右排列, 且A不排在第一,B不排在第二,C不排在第三,D不排在第四,试写出 他们四个人所有不同的

8、排法.,由此可知,四个人共有9种不同的排法.,【方法指导】按照排列的要求,排在第一的只能是排除A以外的三个,因此可分为三类. 【解析】因为A不排在第一,所以第一只能排B,C,D中的一个,据此可分为三类:,例：射击8枪,其中4枪命中,恰有3枪连中的情况有多少种?,分析：3枪连中有以下几种情况 若第1,2,3枪连中,则命中的另一枪应处于第5,6,7,8枪的位置, 有4种情况,如下表:,若第2,3,4枪连中,则命中的另一枪应处于第6,7,8枪的位置,有3种情况,若第3,4,5枪连中,则命中的另一枪应处于第1,7,8枪的位置,有3种情况; 若第4,5,6枪连中,则命中的另一枪应处于第1,2,8枪的位置

9、,有3种情况; 若第5,6,7枪连中,则命中的另一枪应处于第1,2,3枪的位置,有3种情况; 若第6,7,8枪连中,则命中的另一枪应处于第1,2,3,4枪的位置,有4种情况.,故共有4+3+3+3+3+4=20种情况.,当堂检测： 1、甲、乙、丙三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过4次传球后，球仍回到甲手中的不同传球的方法共有多少种？ 2、同室4个人各写一张贺卡，放在一起，再取一张不是自己写的贺卡，共有多少种不同的方法？,分析： （1）根据题意画出树状图，由树状图即可求得经过4次传球后， 球仍回到甲手中的不同传球的方法,分析（2）进行分类讨论：甲取得乙卡时，人、卡分配方案如下表， 有3种分配方案，. .,注：在次数不是很多的情况下，操作类问题通常可以用画出树状图或框图，对于有限制条件的抽取，选取问题的计数，当数目不大时，也可用枚举法。,2.应用分类加法计数原理解题时要注意以下三点: (1)明确题目中所指的“完成一件事”指的是什么事,怎样才算是完成这件事. (2)完成这件事的n类办法中的各种方法是互不相同的,无论哪类办法中的哪种方法都可以单独完成这件事. (3)确立恰当的分