2.2.2反证法 (2)

1、路 边 苦 李,王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.伙伴问他为什么不去摘？,小故事:,王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下,果然是苦李.,王戎是怎么知 道李子是苦的呢? 他运用了怎样的 推理方法?,实例2：南方某风水先生到北方看风水，恰逢天降大雪。乃作一歪诗：“天公下雪不下雨，雪到地上变成雨；早知雪要变成雨，何不当初就下雨。”他的歪诗又恰被一牧童听到，亦作一打油诗讽刺风水先生,实际上，小牧童正是巧妙运用了反证法，驳斥了风水先生否定事物普遍运动的规律，只强调结果，不要变化过程的形而上学的错误观点：假

2、设风水先生说的是真理，只强调变化最后的结果，不要变化过程也可，那么，根据他的逻辑，即可得出先生当初就应吃屎的茺唐结论。风水先生当然不会承认这个事实了。那么，显然，他说的就是谬论了。 这就是反证法的威力，一个原本非常复杂难证的哲学问题被牧童运用了“以其人之道，还其人之身”的反证法迎刃而解了。,：“先生吃饭不吃屎，饭到肚里变成屎；早知饭要变成屎，何不当初就吃屎。”,三国时期，蜀国丞相诸葛亮屯兵阳平时，派大将魏延领兵去攻打魏国，只留下少数老弱军士守城，不料魏国大都督司马懿率大队兵马杀来，靠几个老弱军士出城应战，无异以卵击石，怎么办？诸葛亮冷静思考之后，决定打开城门，让老弱军士在城门口洒扫道路，自己则

3、登上城楼，摆好香案，端坐弹琴，态度从容，琴声幽雅，司马懿见此情景，心中疑虑：“诸葛亮一生精明过人，谨慎有余，从不冒险，今天如此这般，城内恐怕必有伏兵，故意诱我入城，绝不能中计也。”,数学中常见实例分析：,先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾，说明假设不成立，从而得到原结论正确,这种证明方法叫做,反证法,间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法.,反证法是一种常用的间接证明方法.,肯定条件p 否定结论 q,导致逻辑矛盾,“q”为假,“q”为真,正确的推理,归缪矛盾： （1）与已知条件矛盾； （2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾。,

4、反证法:先假设命题不成立, 从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义,公理,定理等矛盾,从而得出假设命题不成立，是错误的,即所求证的命题正确.这样的证明方法叫做反证法,常用的互为否定的表述方式：,至少有一个 至少有三个 至少有n个 最多有一个,一个也没有,至多有两个,至多有(n-1)个,至少有两个,1,1,3,3,n,n,1,1,准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式.,不是,不都是,不大于,大于或等于,一个也没有,至少有两个,至多有（n-1)个,至少有（n+1)个,存在某x， 不成立,存在某x, 成立,不等于,某个,写出下列结论的反面情况：,

5、（1）ab；,（3）x是负数；,（4）ab；,（5）A是锐角；,（2）AB=CD；,（6）三角形的外角中，至少 有两个钝角.,写出下列结论的反面情况：,（7）三角形中最多有一个角 是直角.,试一试,求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60.,证明：假设结论不成立，即： A_ 60, B _ 60, C _ 60, 则A+B+C180 .这与 _相矛盾. 所以_不成立，所求证的 结论成立.,三角形内角和等于180,假设,试一试:,证明：假设所求的结论不成立，即 A_ 60 , B_60 , C _60 则A+ B+ C180 这与_相矛盾 所以_不成立， 所求证的结论成立,“三角形的三

6、个内角之和等于180 ”,假设,用反证法证明(填空):在三角形的内角中, 至少有一个角大于或等于60 ,已知:A ,B ,C是ABC的内角（如图） 求证:A , B , C中至少有一个角 大于或等于60 ,试一试,1=2 (两直线平行,同位角相等),这与已知的12矛盾,假设不成立,证明：假设结论不成立，则ab,证明:,因为,所以,反证法的一般步骤,先假设命题不成立,从假设出发，经过推理,得出矛盾,假设不成立,所求证命题正确,分清条件和结论,三归纳步骤,例:,求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交.,已知:,直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1l2,l

7、3与l1相交于点P.,求证:,l3与l2相交.,证明:,假设_,那么_.,因为已知_,这与“_ _”矛盾.,所以假设不成立,即求证的命题正确.,l3与l2 不相交.,l3l2,l1l2,经过直线外一点,有且只有一条直线平行于已知直线,所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行,1、试说出下列命题的反面： （1）a是实数。（2)a大于2。 （3）a小于2。 （4）至少有2个 （5）最多有一个 （6）两条直线平行。 2、用反证法证明“若a2 b2,则a b”的第一步是。 3、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步 。,a不是实数,a小于或等于,a大于

8、或等于,没有两个,一个也没有,两直线相交,假设a=b,假设这个三角形是等腰三角形,大家议一议！,通过本节内容的学习，你们觉得哪些题型宜用反证法 ？,我来告诉你（经验之谈） （1）以否定性判断作为结论的命题； （2）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的命题； （3）关于“唯一性”结论的命题； （4）一些不等量命题的证明； （5）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段等等.(如平行线的传递性的证明）,注意:用反证法证题时,应注意的事项 : （1）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏； （2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性； （3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的。,-德国数学家希尔伯特说， 禁止数学家使用反