高中数学必修一-第二章-基本初等函数(Ⅰ)-复习资料

1、基本初等函数基本初等函数( () ) 指数函数指数函数 指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 如果x a,aR,xR,n 1，且nN，那么x叫做a的n次方根当n是奇数时，a的n次 方根用符号 na表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号na 表示；0 的n次方根是 0；负数a没有n次方根 式子 na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数当n为奇数时，a为任意实数；当n为 偶数时，a 0 n 根式的性质：(na) a； 当n为奇数时，nan a； 当n为偶数时， nan|a| n a (a 0) a (a 0) （2）分数指数幂的概念 正数

2、的正分数指数幂的意义是：a 正数的负分数指数幂的意义是：a m n nam(a 0,m,nN ,且n 1)0 的正分数指数幂等于 0 m n 1 m 1 ( )n n ( )m(a 0,m,nN ,且n 1)0 的负分数指 aa 数幂没有意义注意口诀：注意口诀：底数取倒数，指数取相反数 （3）分数指数幂的运算性质 a a a r rsrs(a 0,r,sR) (ar)s ars(a 0,r,sR) (ab) a b (a 0,b 0,rR) rr 指数函数及其性质指数函数及其性质 （4）指数函数 函数 名称 定义 x 指数函数 函数y a (a 0且a 1)叫做指数函数 a 10 a 1 y

3、y a ax x y y y y a ax x y y 图象 y y 1 1 (0,1)(0,1) y y 1 1 (0,1)(0,1) O O 定义 域 值域 过定 点 奇偶 性 单调 性 函数 值的 变化 情况 x x R O O x x (0,) 图象过定点(0,1)，即当x 0时，y 1 非奇非偶 在R上是增函数在R上是减函数 ax1 (x 0) ax1 (x 0) ax1 (x 0) ax1 (x 0) ax1 (x 0) ax1 (x 0) a 变 化对图 象的影响 在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低 对数函数对数函数 对数与对数运算对数与对数运算 （1）对

4、数的定义 若a N(a 0,且a 1)，则x叫做以a为底N的对数，记作x log a N，其中a叫做底数，N 叫做真数 负数和零没有对数 x 对数式与指数式的互化：x log a N a N(a 0,a 1,N 0) x （2）几个重要的对数恒等式 log a 1 0，log a a 1，log a ab b （3）常用对数与自然对数 常用对数：lgN，即log10N；自然对数：lnN，即logeN（其中e 2.71828） （4）对数的运算性质 如果a 0,a 1,M 0,N 0，那么 加法：log a M log a N log a (MN) 减法：logaM logaN loga M N

5、 n 数乘：nlog a M log a M (nR) a N n n log ab Mlog a M(b 0,nR) b 换底公式：log a N logaN log b N (b 0,且b 1) log b a 对数函数及其性质对数函数及其性质 （5）对数函数 函数 名称 定义 对数函数 函数y log a x(a 0且a 1)叫做对数函数 a 10 a 1 y y x x 1 1 y y loglog a a x x y y x x 1 1 y y loglog a a x x 图象 (1,0)(1,0) O O(1,0)(1,0)x xO Ox x 定义 域 值域 过定 点 奇偶 性

6、单调 性 函数 值的 变化 情况 在(0,)上是增函数 (0,) R 图象过定点(1,0)，即当x 1时，y 0 非奇非偶 在(0,)上是减函数 log a x 0 (x 1) log a x 0 (x 1) log a x 0 (0 x 1) log a x 0 (x 1) log a x 0 (x 1) log a x 0 (0 x 1) a 变 化 影响 (6)反函数的概念 设函数y f (x)的定义域为A，值域为C，从式子y f (x)中解出x，得式子x (y)如果对于 通过式子x (y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应， 那么式子x (y)表 y在C中的任何一个值， 示x是y的函数

7、， 函数x (y)叫做函数y f (x)的反函数， 记作x f （7）反函数的求法 确定反函数的定义域，即原函数的值域； 从原函数式y f (x)中反解出x f 1 11(y)， 习惯上改写成y f(x) 对 图 象 的 在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高 (y)； 将x f 1(y)改写成y f1(x)，并注明反函数的定义域 （8）反函数的性质 原函数y f (x)与反函数y f 1(x)的图象关于直线y x对称 1 函数y f (x)的定义域、值域分别是其反函数y f (x)的值域、定义域 1 若P(a,b)在原函数y f (x)的图象上，则P (b,a)在反函

8、数y f (x)的图象上 一般地，函数y f (x)要有反函数则它必须为单调函数 幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，函数y x叫做幂函数，其中x为自变量，是常数 （2）幂函数的图象 （3）幂函数的性质 图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布 在第一、二象限(图象关于y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限 (图象关于原点对称)；是非奇 非偶函数时，图象只分布在第一象限 过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1) 单调性：如果 0，则幂函数的图象过原点，并且在0,)上为增函数如果 0，则幂函数 的图象在(0,)上为减函

9、数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴 奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数当 q （其中p,q p 互质，p和qZ） ，若p为奇数q为奇数时，则y x是奇函数，若p为奇数q为偶数时，则y x是 偶函数，若p为偶数q为奇数时，则y x是非奇非偶函数 图象特征： 幂函数y x ,x(0,)， 当1时， 若0 x 1， 其图象在直线y x下方， 若x 1， 其图象在直线y x上方， 当1时， 若0 x 1， 其图象在直线y x上方， 若x 1， 其图象在直线y x 下方 q p q p q p 补充知识补充知识-二次函数二次函数 （1）二次函数解析式的三种形式 一般式：

10、f (x) ax bxc(a 0)顶点式：f (x) a(xh) k(a 0) 两根式：f (x) a(x x 1)(x x2 )(a 0) （2）求二次函数解析式的方法 已知三个点坐标时，宜用一般式 已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式 若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求f (x)更方便 （3）二次函数图象的性质 二次函数f (x) ax bxc(a 0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x 2 22 b ,顶点坐标是 2a b4acb2 (,) 2a4a 当a 0时，抛物线开口向上，函数在(, bbb 时， 上递减，在,)上递增，当

11、x 2a2a2a 4acb2bb f min (x) ；当a 0时，抛物线开口向下，函数在(, 上递增，在,)上递减， 4a2a2a 4acb2b 当x 时，fmax(x) 4a2a 2 二次函数f (x) ax bxc(a 0)当 b 4ac 0时，图象与x轴有两个交点 2 M 1(x1,0), M2 (x 2 ,0),| M 1M2 | x 1 x 2 | 2 |a| （4）二次函数f (x) ax bxc(a 0)在闭区间p,q上的最值 设f (x)在区间p,q上的最大值为M，最小值为m，令x0 （）当（）当a 0时（开口向上）时（开口向上） 1 (pq) 2 最小值最小值 若若 bbb

12、 p，则 ，则m f (p)若p q，则，则m f () 2a f (q) Ox f f (p) b 2a ) 若 b 2a q，则m f (q) f (p) O f f ( b (q) 2a ) 若若 b 2a x 0 ，则，则M f (q) f x(q) g 0 Ox f f (p) b 2a ) ( () )当当a 0时时( (开口向下开口向下) ) 2a2a f (p) f (q) O x f ( b 2a ) 最大值最大值 b 2a x 0 ，则，则M f (p) f (p) x g0 Ox f f ( b (q) 2a ) x 最大值最大值 若若 若若 f ( bbb p，则 ，则

13、M f (p)若若p q，则，则M f () 2a2a2a b ) 2a f ( f ( f (p) O f (p) x O b ) 2a x f (q) (q) f b q，则 ，则M f (q) 2a f b ) 2a (q) O x f (p) 最小值最小值 若若 f ( bb x 0 ，则，则m f (q) x 0 ，则，则m f (p) 2a2a b ) 2a f ( f (p) O b f 2a ) (q) x 0 g x x 0g O x f (q) f (p) 指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算 学习目标：理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握根式与分数

14、指数幂的互化， 掌握有理数指数幂的运算. 知识要点： 1. 若xn a，则 x 叫做 a 的 n 次方根，记为 na ，其中 n1，且nN.n 次方根具有如下性质： （1）在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数；正数的偶次方根是两个绝对 值相等、符号相反的数，负数的偶次方根没有意义；零的任何次方根都是零. （2）n 次方根（n 1, 且nN*）有如下恒等式： np a, n为奇数 n (na)n a；nan；ampam， （a0）. |a|, n为偶数 2. 规定正数的分数指数幂：aa（a 0, m,nN ,且n 1） ；a 例题精讲： 【例 1】求下列各式的值： n

15、（3） （1） n （n 1, 且nN*） ；（2）(x y)2. n（3） 3； 解解： （1）当 n 为奇数时， n n（3） |3|3. 当 n 为偶数时， n m n nm m n 1 a m n 1 nam . （2）(x y)2| x y|. 当x y时，(x y)2 x y；当x y时，(x y)2 y x. a3n a3n 【例 2】已知a2 1，求 n 的值. a an a3n a3n(an an)(a2n1 a2n)1 2n2n 解解： n a1 a2 11 2 2 1. a anan an2 1 2n 【例 3】化简： （1）(2a b )(6a b ) (3a b )；

16、 （2） 2 3 1 2 1 2 1 3 1 6 5 6 a3b2 3ab2 b (a b ) 3 a 1 4 1 2 4 （a0，b0） ；（3）81 9. 4 2 3 解解： （1）原式=2(6)(3)a （2）原式= 211 326b 1 3 115 23 6 4ab0 4a. 4 3a b(ab ) ab2(b/a) 4 4 3 2 11 2 32 1 3 = a ba b a b 4 4 3 2 1 6 2 3 7 3 = a b a b 4 10 6 2 3 7 3 = a . b 2 33 3 (3 3 ) (3 ) (3 ) 33 363.（3）原式=3 (3 ) 3 3 点评

17、点评：根式化分数指数幂时，切记不能混淆，注意将根指数化为分母，幂指数化为分子，根号的嵌套，化为 幂的幂. 正确转化和运用幂的运算性质，是复杂根式化简的关键. 【例 4】化简与求值： （1）6 4 2 6 4 2； （2） 21 2 32 21 2 32 44 21 34 1 4 4 21 34 1 6 1 13 1 3 5 1 5 7 1 2n12n1 . 解解： （1）原式=22 222 ( 2)222222 ( 2)2 =(22)2(2 2)2=22 22=4. 3 15 37 52n 12n 1 31537 5(2n 1)(2n 1) 11 =( 3 15 3 7 5 2n12n1)=(

18、 2n11). 22 点评点评：形如AB的双重根式，当A2 B是一个平方数时，则能通过配方法去掉双重根号，这也是双重根 号能否开方的判别技巧. 而分母有理化中， 常常用到的是平方差公式， 第 2 小题也体现了一种消去法的思想. 第 （1） 小题还可用平方法，即先算得原式的平方，再开方而得. （2）原式= 指数函数及其性质（一） 学习目标：理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像，探索并理解指 数函数的单调性与特殊点，掌握指数函数的性质. 知识要点： 1. 定义：一般地，函数y ax(a 0,且a 1)叫做指数函数（exponential function） ，其中

19、x 是自变量，函数的 定义域为 R. 2. 以函数y 2x与y ( )x的图象为例，观察这一对函数的图象，可总结出如下 性质： 定义域为 R， 值域为(0,)； 当x 0时，y 1， 即图象过定点(0,1)； 当0 a 1 1 2 时，在 R 上是减函数，当a 1时，在 R 上是增函数. 例题精讲： 【例 1】求下列函数的定义域： （1）y 2 1 3x 1 ；（2）y ( ) 3 1 3x 5x 10 x100 ；（3）y x . 10 100 解解： （1）要使y 2 （2）要使y ( ) 有意义，其中自变量 x 需满足3 x 0，即x 3. 其定义域为x| x 3. 1 5x有意义，其中

20、自变量 x 需满足5 x 0，即x 5. 其定义域为x| x 5. 3 10 x100 （3）要使y x 有意义，其中自变量 x 需满足10 x100 0，即x 2. 其定义域为x| x 2. 10 100 【例 2】求下列函数的值域： 1 3x 2 1（1）y ( )；（2）y 4x 2x1 3 1 3x 2 1 12 解解： （1）观察易知 ( )01. 原函数的值域为y | y 0,且y 1. 0， 则有y ( ) 333x 1 13 （2）y 4x 2x1 (2x)2 2x1.令t 2x，易知t 0. 则y t2t 1 (t )2. 24 13 结合二次函数的图象，由其对称轴观察得到y

21、 (t )2在t 0上为增函数， 24 1313 所以y (t )2 (0)21. 原函数的值域为y | y 1. 2424 【例 3】 （05 年福建卷.理 5 文 6） 函数f (x) axb的图象如图， 其中 a、 b 为常数， 则下列结论正确的是 （） . Aa 1,b 0Ba 1,b 0 C0 a 1,b 0D0 a 1,b 0 解解： 从曲线的变化趋势， 可以得到函数f (x)为减函数， 从而 0a0，即 b0. 所以选 D. 点评点评：观察图象变化趋势，得到函数的单调性，结合指数函数的单调性，得到参数a 的范围. 根据所给函数式 的平移变换规律，得到参数 b 的范围. 也可以取

22、x=1 时的特殊点，得到ab1 a0，从而 b 0, a1） 知识要点： 1. 当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量 , 而把这个函数的自变量新 的函数的因变量. 我们称这两个函数为反函数（inverse function）. 互为反函数的两个函数的图象关于直线y x对 称. 2. 函数y ax(a 0,a 1)与对数函数y log a x (a 0,a 1)互为反函数. 3. 复合函数y f (x)的单调性研究，口诀是“同增异减” ，即两个函数同增或同减，复合后结果为增函数； 若两个函数一增一减，则复合后结果为减函数. 研究复合函数单调性的具体步骤是： （i

23、）求定义域； （ii）拆分函数； （iii）分别求y f (u), u (x)的单调性； （iv）按“同增异减”得出复合函数的单调性. 例题精讲： 【例 1】讨论函数y log 0.3 (3 2x)的单调性. 33 . 设t 32x,x(, )，易知为减函数. 22 3 又 函数y log 0.3 t是减函数，故函数y log 0.3 (3 2x)在(, )上单调递增. 2 解解：先求定义域，由32x 0, 解得x 【例 2】 （05 年山东卷.文 2）下列大小关系正确的是（）. A.0.43 30.4 log 4 0.3B.0.43 log 4 0.3 30.4 C.log 4 0.3 0.

24、43 30.4D.log 4 0.3 30.4 0.43 解解：在同一坐标系中分别画出y 0.4x, y 3x, y log 4 x的图象，分别作出当自变量x 取 3，0.4，0.3 时的函数 值. 观察图象容易得到：log 4 0.3 0.43 30.4. 故选 C. 【例 3】指数函数y ax(a 0,a 1)的图象与对数函数y log a x (a 0,a 1)的图象有何关系？ 解解：在指数函数y ax的图象上任取一点M(x 0 , y 0 )，则y 0 ax0. 由指对互化关系，有log a y 0 x 0 . 所以，点M (y 0 ,x 0 )在对数函数y log a x的图象上.

25、因为点M(x 0 , y 0 )与点M (y 0 ,x 0 )关于直线y x对称， 所以指数函数y ax(a 0,a 1)的图象与对数函数y log a x (a 0,a 1)的图象关于直线y x对称. 点评点评：两个函数的对称性，由任意点的对称而推证出来. 这种对称性实质是反函数的图象特征，即函数y ax 与y log a x (a 0,a 1)互为反函数，而互为反函数的两个函数图象关于直线y x对称. 【例 4】2005 年 10 月 12 日，我国成功发射了“神州”六号载人飞船，这标志着中国人民又迈出了具有历史 意义的一步.已知火箭的起飞重量 M 是箭体（包括搭载的飞行器）的重量 m 和

26、燃料重量 x 之和.在不考虑空气阻力 的条件下，假设火箭的最大速度 y 关于 x 的函数关系式为：y kln(m x) ln( 2m) 4ln 2 (其中k 0). 当燃料 重量为( e 1)m吨（e 为自然对数的底数，e 2.72）时，该火箭的最大速度为 4（km/s）. （1）求火箭的最大速度y(km/s)与燃料重量 x 吨之间的函数关系式y f (x)； （2）已知该火箭的起飞重量是 544 吨，是应装载多少吨燃料，才能使该火箭的最大飞行速度达到 8km/s，顺 利地把飞船发送到预定的轨道？ 解解： （1）依题意把x ( e 1)m, y 4代入函数关系式y kln(m x) ln( 2

27、m) 4ln 2，解得k 8. 所以所求的函数关系式为y 8ln(m x) ln( 2m) 4ln 2,整理得y ln( （2）设应装载 x 吨燃料方能满足题意，此时，m 544 x, y 8 代入函数关系式y ln( m x 8) . m m x 8 544 ) , 得ln1, 解得x 344 (吨). m544 x 所以，应装载 344 吨燃料方能顺利地把飞船发送到预定的轨道. 点评点评：直接给定参数待定的函数模型时，由待定系数法的思想，代入已知的数据得到相关的方程而求得待定 系数. 一般求出函数模型后，还利用模型来研究一些其它问题. 代入法、方程思想、对数运算，是解答此类问题的 方法精髓

28、. 幂函数 学习目标：通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y=x, y=x2, y=x3, y=1/x, y=x1/2的图像，了解它们的变化 情况. 知识要点： 是常数. 要求掌握y x，y x2，y x3，y x1/ 2，y x11. 幂函数的基本形式是y x， 其中x是自变量， 这五个常用幂函数的图象. 2. 观察出幂函数的共性， 总结如下：（1） 当0时， 图象过定点(0,0),(1,1)； 在(0,)上是增函数（. 2） 当0 时，图象过定点(1,1)；在(0,)上是减函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近. 3. 幂函数y x的图象， 在第一象限内， 直线直线x 1的右

29、侧，的右侧， 图象由下至上，图象由下至上， 指数指数由小到大由小到大. .y轴和直线x 1 之间，图象由上至下，指数由小到大. 例题精讲： 【例 1】已知幂函数y f (x)的图象过点(27,3)，试讨论其单调性. 解解：设y x，代入点(27,3)，得3 27，解得 所以y x，在 R 上单调递增. 【例 2】已知幂函数y xm6(mZ)与y x2m(mZ)的图象都与x、y轴都没有公共点，且 1 3 1 ， 3 y xm2(mZ)的图象关于 y 轴对称，求m的值 解解： 幂函数图象与x、y轴都没有公共点， 6 0 m 2m 0 ，解得2 m6. 又 y xm2(mZ)的图象关于 y 轴对称，

30、m2为偶数， 即得m 4. 【例 3】幂函数y xm与y xn在第一象限内的图象如图所示，则（）. A1 n 0 m 1Bn 1,0 m 1 C1 n 0,m 1Dn 1,m 1 解解：由幂函数图象在第一象限内的分布规律，观察第一象限内直线x 1的右 侧，图象由下至上，依次是y xn，y x1，y x0，y xm，y x1，所以有n 1 0 m 1. 选 B. 点评点评：观察第一象限内直线x 1的右侧，结合所记忆的分布规律. 注意比较两个隐含的图象y x1与y x0. 【例 4】本市某区大力开展民心工程，近几年来对全区a m2的老房子进行平改坡（ “平改坡”是指在建筑结构 许可条件下，将多层住

31、宅平屋面改建成坡屋顶，并对外墙面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物外观视觉 效果的房屋修缮行为） ，且每年平改坡面积的百分比相等. 若改造到面积的一半时，所用时间需 10 年. 已知到今年 为止，平改坡剩余面积为原来的 2 . 2 （1）求每年平改坡的百分比； （2）问到今年为止，该平改坡工程已进行了多少年？ （3）若通过技术创新，至少保留 a 2m 的老房子开辟新的改造途径. 今后最多还需平改坡多少年？ 4 解解： （1）设每年平改坡的百分比为x (0 x 1)，则 10 11 1 10 1 10 1 a (1 x)a，即1 x ( )，解得x 1( ) 0.0670 6.70. 222

32、 n 21 10 1 1 n （2）设到今年为止，该工程已经进行了 n 年，则a (1 x) a，即( ) ( )2，解得 n=5. 222 所以，到今年为止，该工程已经进行了 5 年. （3）设今后最多还需平改坡 m 年，则a (1 x) 所以，今后最多还需平改坡 15 年. m5 5 1 m 11 10 ( )2，解得 m=15.a，即( ) 224 点评点评：以房屋改造为背景，从中抽象出函数模型，结合两组改造数据及要求，通过三个等式求得具有实际意 义的底数或指数. 体现了代入法、方程思想等数学方法的运用. 基本初等函数（） 复习 学习目标： 理解掌握指数函数、 对数函数和幂函数的性质、图象及运算性质. 突出联系与转化、 分类与讨论、 数与形结合等重要的数学思想、能力. 通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，加深对函数概念的理解. 例题精讲： 【例 1】若f (x) ax(a 0,且a 1)，则f ( x 1 x 2 f (x 1) f (x2 ) .) 22 x1x2 f (x 1) f (x2 )x 1 x 2 ax1 ax2 2 ax1ax2( ax1ax2)2ax1 ax2 2证明证明： 0. f () a 22222 x x 2 f (x 1) f (x2