简明固体物理 1结构

1、.,晶体结构：原子规则排列，主要体现是原子排列具有周期性，或者称长程有序。有此排列结构的材料为晶体。 晶体中原子、分子规则排列的结果使晶体具有规则的几何外形，X射线衍射已证实这一结论。 非晶体结构：不具有长程有序。有此排列结构的材料为非晶体。 了解固体结构的意义： 固体中原子排列形式是研究固体材料宏观性质和各种微观过程的基础。,晶体结构 固体的结构分为： 非晶体结构 多晶体结构,1.1 晶体结构,1.1.1 空间点阵 1.1.2 密勒指数 1.1.3 倒格子,.,晶体内部结构概括为是由一些相同点子在空间有规则作周期性无限分布，这些点子的总体称为点阵。 （该学说正确地反映了晶体内部结构长程有序特

2、征，后来被空间群理论充实发展为空间点阵学说，形成近代关于晶体几何结构的完备理论。）,1.1.1 空 间 点 阵,一、布喇菲的空间点阵学说,.,关于结点的说明： 当晶体是由完全相同的一种原子组成，结点可以是原子本身位置。 当晶体中含有数种原子，这数种原子构成基本结构单元（基元），结点可以代表基元重心，原因是所有基元的重心都是结构中相同位置，也可以代表基元中任意点子,结点示例图,1 . 点子,空间点阵学说中所称的点子，代表着结构中相同的位置，也为结点，也可以代表原子周围相应点的位置。,.,晶体由基元沿空间三个不同方向，各按一定的距离周期性地平移而构成，基元每一平移距离称为周期。 在一定方向有着一定

3、周期，不同方向上周期一 般不相同。 基元平移结果：点阵中每个结点周围情况都一样。,2 . 点阵学说概括了晶体结构的周期性,.,3 . 晶格的形成,通过点阵中的结点，可以作许多平行的直线族和平行的晶面族，点阵成为一些网格-晶格。,.,平行六面体,原胞概念的引出： 由于晶格周期性，可取一个以结点为顶点，边长等于该方向上的周期的平行六面体作为重复单元，来概括晶格的特征。 即每个方向不能是一个结点（或原子）本身，而是一个结点（或原子）加上周期长度为a的区域，其中a叫做基矢 。 这样的重复单元称为原胞。,.,原胞（重复单元）的选取规则 反映周期性特征：只需概括空间三个方向上的周期大小，原胞可以取最小重复

4、单元（物理学原胞），结点只在顶角上。 反映对称性特征： 晶体都具有自己特殊对称性。 结晶学上所取原胞体积不一定最小，结点不一定只在顶角上，可以在体心或面心上（晶体学原胞）； 原胞边长总是一个周期，并各沿三个晶轴方向； 原胞体积为物理学原胞体积的整数倍数。,.,引出物理学原胞的意义： 三维格子的周期性可用数学的形式表示如下： T(r)=T(r+l1a1+l2a2+l2a3) r为重复单元中任意处的矢量；T为晶格中任意物理量； l1、l2、l3是整数，a1、a2、a3是重复单元的边长矢量。 为进行固体物理学中的计算带来很大的方便。,.,不喇菲点阵的特点： 每点周围情况都一样。是由一个结点沿三维空间

5、周期性平移形成，为了直观，可以取一些特殊的重复单元（结晶学原胞）。 完全由相同的一种原子组成，则这种原子组成的网格为不喇菲格子，和结点所组成的网格相同。 晶体的基元中包含两种或两种以上原子，每个基元中，相应的同种原子各构成和结点相同网格-子晶格（或亚晶格）。 复式格子（或晶体格子）是由所有相同结构子晶格相互位移套构形成。,4 .结点的总体-不喇菲点阵或不喇菲格子,.,晶体格子（简称晶格）：晶体中原子排列的具体形式。 原子规则堆积的意义：把晶格设想成为原子规则堆积，有助于理解晶格组成，晶体结构及与其有关的性能等。,二 、 晶 格 的 实 例,1. 简单立方晶格 2. 体心立方晶格 3. 原子球最

6、紧密排列的两种方式,.,特点： 层内为正方排列，是原子球规则排列的最简单形式； 原子层叠起来，各层球完全对应，形成简单立方晶格； 这种晶格在实际晶体中不存在，但是一些更复杂的晶格 可以在简单立方晶格基础上加以分析。,原子球的正方排列,简单立方晶格典型单元,1. 简单立方晶格,.,简单立方晶格的原子球心形成一个三维立方格子结构，整个晶格可以看作是这样一个典型单元沿着三个方向重复排列构成的结果。,简单立方晶格单元沿着三个方向重复排列构成的图形,.,2. 体心立方晶格,体心立方晶格的典型单元,排列规则：层与层堆积方式是上面一层原子球心对准下面一层球隙，下层球心的排列位置用A标记，上面一层球心的排列位

7、置用B标记，体心立方晶格中正方排列原子层之间的堆积方式可以表示为 ： AB AB AB AB,体心立方晶格的堆积方式,.,体心立方晶格的特点： 为了保证同一层中原子球间的距离等于A-A层之间的距离，正方排列的原子球并不是紧密靠在一起； 由几何关系证明，间隙=0.31r0，r0为原子球的半径。具有体心立方晶格结构的金属：Li、Na 、K、 Rb、 Cs、 Fe等，,.,密排面：原子球在该平面内以最紧密方式排列。 堆积方式：在堆积时把一层的球心对准另一层球隙，获得最紧密堆积，可以形成两种不同最紧密晶格排列。,AB AB AB排列（六角密排晶格）,ABC ABC ABC排列（立方密堆）,3.原子球最

8、紧密排列的两种方式,.,前一种为六角密排晶格，（如Be、Mg、Zn、Cd），后一种晶格为立方密排晶格，或面心立方晶格（如Cu、Ag、Au、Al）,面心立方晶格 （立方密排晶格）,面心（111） 以立方密堆方式排列,.,面心立方晶体（立方密排晶格）,.,六方密堆晶格的原胞,.,、不喇菲格子与复式格子 把基元只有一个原子的晶格，叫做不喇菲格子； 把基元包含两个或两个以上原子的，叫做复式格子。 注：如果晶体由一种原子构成，但在晶体中原子周围的情况并不相同（例如用X射线方法，鉴别出原子周围电子云的分布不一样），则这样的晶格虽由一种原子组成，但不是不喇菲格子，而是复式格子。原胞中包含两个原子。,.,1

9、. 氯化钠结构, 表示钠 表示氯,钠离子与氯离子分别构成面心立方格子，氯化钠结构是由这两种格子相互平移一定距离套购而成。,.,2 . 氯化铯结构,表示Cs 。 表示Cl,.,3 . 钙钛矿型 结构, 表示Ba 表示O 表示Ti,结晶学原胞 氧八面体,.,基元中任意点子或结点作周期性重复的晶体结构,复式原胞 重复的 晶体结构,.,.,五个子晶胞,.,注： 结点的概念以及结点所组成的不喇菲格子的概念，对于反映晶体中的周期性是很有用的。 基元中不同原子所构成的集体运动常可概括为复式格子中各个子晶格之间的相对运动。 固体物理在讨论晶体内部粒子的集体运动时，对于基元中包含两个或两个以上原子的晶体，复式格

10、子的概念显得重要，,.,四、结晶学原胞与固体物理学原胞间的相互转化,简立方 体立方 面心立方 立方晶系不喇菲原胞,原胞的基矢为： a1=ia, a2=ja, a3=ka,结晶学中，属于立方晶系的不喇菲原胞有简立方、体心立方和面心立方。,1. 简立方,.,2. 体心立方,.,固体物理学的原胞基矢与结晶学原胞基矢的关系： a1=(-i+j+k)a2 a2=(k+i-j)a2 a3=(i+j-k)a2,体积关系：结晶学原胞的体积是物理学原胞的2倍。原因是结晶学原胞中含有两个原子，而物理学原胞中含有一个原子。,.,R=l1a1+l2a2+l2a3 R=2a1+a2+a3 R物理=a2+a3 R结晶=(

11、1/2)a+ (1/2) a+a = (1/2)(a+a+2a),3. 面心立方,a1,a2,a3,.,4. 六角密堆,固体物理学的原胞基矢与结晶学原胞基矢的关系： a1=(j+k)a2 a2=(k+i)a2 a3=(i+j)a2,体积关系：结晶学原胞的体积是物理学原胞的4倍。原因是结晶学原胞中含有4个原子，而物理学原胞中含有一个原子。,.,1.1.2 密 勒 指 数,一、晶列 1. 晶列 通过任意两个格点连一直线，则这一直线包含无限个相同格点，这样的直线称为晶列，也是晶体外表上所见的晶棱。其上的格点分布具有一定的周期-任意两相邻格点的间距。,.,1. 晶列的特点 （1）一族平行晶列把所有点

12、包括无遗。 （2）在一平面中，同族的相邻晶列之间的距离相等。 （3）通过一格点可以有无限 多个晶列，其中每一晶列都有一族平行的晶列与之对应。 （4 ）有无限多族平行晶列。,.,- 。 。 。 。 。 。 。 。 。,晶面的特点： （1）通过任一格点，可以作全同的晶面与一晶面平行，构成一族平行晶面. （2）所有的格点都在一族平行的晶面上而无遗漏； （3）一族晶面平行且等距，各晶面上格点分布情况相同； （4）晶格中有无限多族的平行晶面。,二、晶面,.,三、晶向 一族晶列的特点是晶列的取向，该取向为晶向； 同样一族晶面的特点也由取向决定，因此无论对于晶列或晶面，只需标志其取向。 注：为明确起见，下面

13、仍只讨论物理学的不喇菲格子。,.,任一格点 A的位矢Rl为 Rl =l1a1+l2a2+l3a3 式中l1、l2、l3是整数。若互质，直接用他们来表征晶列OA的方向（晶向），这三个互质整数为晶列的指数，记以 l1，l2，l3,同样，在结晶学上，原胞不是最小的重复单元，而原胞的体积是最小重复简单整数倍，以任一格点o为原点，a、b、c为基矢，任何其他格点A的位矢为 k ma+knb+kpc 其中m、n、p为三个互质整数，于是用m、n、p来表示晶列OA的方向，记以nmp。,1 . 晶列指数 （晶列方向的表示方法）,.,表示晶面的方法，即方位： 在一个坐标系中用该平面的法线方向的余弦；或表示出这平面在

14、座标轴上的截距。,设这一族晶面的面间距为d，它的法线方向的单位矢量为n， 则这族晶面中，离开原点的距离等于d的晶面的方程式为： R n=d 为整数；R是晶面上的任意点的位矢。,2. 密勒指数（ 晶面方向的表示方法）,.,设此晶面与三个座标轴的交点的位矢分别为ra1 、sa2、ta3,代入上式，则有 ra1cos(a1,n)=d sa2cos(a2,n)=d ta3cos(a3,n)=d,a1 、 a2、a3取单位长度，则得 cos(a1,n)： cos(a2,n) ：cos(a3,n)=1r：1s：1t,结论：晶面的法线方向n与三个坐标轴（基矢）的夹角的余弦之比等于晶面在三个轴上的截距的倒数之

15、比。,.,已知一族晶面必包含所有的格点 ，因此在三个基矢末端的格点必分别落在该族的不同的晶面上。 设a1 、 a2、a3的末端上的格点分别在离原点的距离为h1d、h2d、h3d的晶面上，其中h1、h2、h3都是整数，三个晶面分别有 a1n=h1d , a2n=h2d , a3n=h3d n是这一族晶面公共法线的单位矢量，于是 a1cos(a1,n)=h1d a2cos(a2,n)=h2d a3cos(a3,n)=h3d,证明截距的倒数之比为整数之比,.,cos(a1,n)： cos(a2,n) ：cos(a3,n)=h1：h2：h3 结论： 晶面族的法线与三个基矢的夹角的余弦之比等于三个整数之

16、比。 可以证明 ：h1、h2、h3三个数互质，称它们为该晶面族的面指数，记以（ h1h2h3）。 即把晶面在座标轴上的截距的倒数的比简约为互质的整数比，所得的互质整数就是面指数。,几何意义：在基矢的两端各有一个晶面通过，且这两个晶面为同族晶面，在二者之间存在hn个晶面，所以最靠近原点的晶面（=1）在坐标轴上的截距为a1/h1、a2/h2、a3/h3,同族的其他晶面的截距为这组截距的整数倍。,.,实际工作中，常以结晶学原胞的基矢a、b、c为坐标轴来表示面指数。在这样的坐标系中，标征晶面取向的互质整数称为晶面族的密勒指数，用(hkl)表示。,例如： 有一ABC面，截距为4a、b、c, 截距的倒数为

17、1/4、1、1，它的密勒指数为（1，4，4）。 另有一晶面，截距为2a、4b、c, 截距的倒数为1/2、1/4、0，它的密勒指数为（2、1、0）。,.,简单晶面指数的特点： 晶轴本身的晶列指数特别简单，为100、010、001； 晶体中重要的带轴的指数都是简单的； 晶面指数简单的晶面如（110）、（111）是重要的晶面； 晶面指数越简单的晶面，面间距d就越大，格点的面密度大，易于解理； 格点的面密度大，表面能小，在晶体生长过程中易于显露在外表；对X射线的散射强，在X射线衍射中，往往为照片中的浓黑斑点所对应。,.,1.1.3 倒 格 子,条件： X射线源、观测点与晶体的距离都比晶体的线度大的多，

18、入射线和衍射线可看成平行光线； 散射前后的波长不变,且为单色。,一、从X射线衍射方程 反射公式引出倒 格矢概念,.,.,.,.,.,CO= -Rl S0 OD= Rl S 衍射加强条件： Rl （ SS0 ）= 有：ko=(2/ ) S0 k=(2/ ) S 得：Rl （ kk0 ）= 2 设： kk0 =n Kh,kk0 =n Kh的物理意义：当入射波矢和衍射波矢相差一个或几个Kh（倒格矢）时，满足衍射加强条件， n为衍射级数。,1. 衍射方程,C,Rl,D,衍射线单位基矢S,O,A,入射线单位基矢S0,晶面,.,2. 反射公式,|kk0 |= 2 |S/ - S0 / | =( 4/ )

19、sin |kk0 | = | n Kh |= 2n/dh1h2h3 | Kh |= 2/dh1h2h3,P,A,T,A,P,Q,Q,S,d,入射线与反射线之间的光程差： =SA+A T=2d sin 满足衍射方程：2dh1h2h3 sin =n ,kk0,k,k0,.,设一晶格的基矢为 a1 、 a2、a3，有如下的关系： b1= 2(a2a3) 说明b1垂直于a2和a3所确定的面； b2= 2(a3a1) 说明b2垂直于a3和a1所确定的面 b3= 2(a1a2 说明b3垂直于a1和a2所确定的面 式中： = a1 ( a2a3)为晶格原胞的体积。,二、倒格子的概念,1. 倒格子的数学定义,

20、.,倒格子：以b1、b2、b3为基矢的格子是以a1、a2、a3为基矢的格子的倒格子。,（1） 正格子基矢和倒格子基矢的关系,2. 正格子与倒格子的几何关系,.,（2）除（2）3因子外，正格子原胞体积和倒格子原胞体积*互为倒数。 *=b1 ( b2b3) = (2）3/ ,表示正格点 表示倒格点,ABC为一族晶面（h1h2h3）中的最靠近原点的晶面，与 k h垂直,a1,a2,a3,k h,a1/h1,a3/h3,a2/h2,（3）正格子中一族晶面（h1h2h3）和倒格矢 k h=h1b1+h2b2+h3b3 正交， 即晶面的弥勒指数是垂直于该晶面的最短倒格矢坐标.,.,由（3）、（4）可知，一

21、个倒格矢代表正格子中的一族平行晶面 。 晶面族（h1h2h3）中离原点的距离为 d h1h2h3的晶面的方程式可写成： R l kh/|kh|= d h1h2h3 (=0,1,2,) 得出正格矢和倒格矢的关系： R l kh= 2 结论：如果两矢量的关系：R l kh= 2，则其中一个为正格子，另一个必为倒格子；即正格矢和倒格矢恒满足正格矢和倒格矢的关系。,（4）倒格矢的长度正比于晶面族（h1h2h3）的面间距的倒数。dh1h2h3=a1/h1kh/|kh|=a1(h1b1+h2b2+h3b3)/h1|kh|=2/|kh|,.,结论： 倒格矢Kh垂直某一晶面（ h1h2h3 ），也即该晶面的法

22、线方向与此倒格矢方向一致。 倒格矢Kh的大小与和其垂直的晶面间距成正比。 一个倒格矢对应一族晶面，但一族晶面可以对应无数个倒格矢，这些倒格矢的方向一致，大小为最小倒格矢的整数倍。 满足X射线衍射的一族晶面产生一个斑点，该斑点代表一个倒格点，即该倒格点对应一族晶面指数。,.,kk0 =n Kh的物理意义： 当入射波矢和衍射波矢相差一个或几个倒格矢Kh时，则该族晶面（h1h2h3） 满足衍射加强条件， n为衍射级数。 从2dh1h2h3 sin =n 中可知： 对于某一个确定的晶面族，要满足衍射加强条件，可以改变入射波矢的方向，即改变，或改变入射波矢的大小，即改变。,.,a2,a1,b1,b2,K

23、l,|Kl|=(3b1)2+4b2)21/2 =(32/ a1)2+4 2/a2)21/2 面间距：d= 2/ |Kl|=(6/ a1)2+ (8/a2)21/2,Rl,O,A,B,Rl=l1a1+l2a2+l3a3 Kl=l1b1+l2b2+l3b3,Rl=5a1+2a2 Kl=3b1+4b2,证明：3b1+4b2 (3 4) 有：AB=OA-OB=a1/3 - a2/4 AB (3b1+4b2 )=(a1/3 - a2/4) (3b1+4b2 )= a1 b1 - a2 b2 a1 b1 =0,例如,.,利用倒易点阵（倒格子）与正格子间的关系导出晶面间距和晶面夹角。 晶面间距dh1h2h3

24、 ：dh1h2h3=2/ |kh1h2h3| 两边开平方， 将kh1h2h3 =h1b1+h2b2+h3b3及正倒格子的基矢关系代入，经过数学运算，得到面间距公式。 晶面夹角 ： k1 k2 = k1 k2 COS ,.,100,200,300,001,002,003,101,201,301,103,202,203,(100),(001),(102),O,倒格子与正格子间的相互转化,102,.,0,b1,b2,一维格子,倒格子原胞： 作由原点出发的诸倒格矢的垂直平分面，这些平面完全封闭形成的最小的多面体（体积最小）-第一布里渊区。,二维格子,3 . 倒格子原胞和布里渊区,a,b,.,构成第一布

25、里渊区（简约布里渊区）的垂直平分线的方程式如下： x=/a 及 y=/a 第二布里渊区的各个部分分别平移一个倒格矢，可以同第一区重合。第三布里渊区的各个部分分别平移适当的倒格矢也能同第一区重合。,.,4 . X射线衍射与倒格子、布里渊区的关系,（1） X射线衍射与倒格子的关系,根据公式： kk0 =n Kh , 建立反射球或衍射球,入射线的波矢k0,反射线的波矢k,倒格矢Kh,O,C,A,晶面,反射球,（h1h2h3）,（h1 h2 h3 ）,.,建立反射球的意义 通过所建立的反射球，把晶格的衍射条件和衍射照片上的斑点直接联系起来。 利用反射球求出某一晶面族发生衍射的方向 （若反射球上的A点是一个倒格点，则CA就是以OA为倒格矢的一族晶面h1h2h3的衍