离散时间系统的时域分析.ppt

1、第七章 离散时间系统的时域分析,7.4 常系数线性差分方程的求解,7.1 引言,7.3 离散时间系统的数学模型,7.5 离散时间系统的单位样值（冲激）响应,7.6 卷积（卷积和）,7.2 离散时间信号序列,离散时间系统的优点 精度高 可靠性好 功能灵活 时分复用 保密性好 便于大规模集成,离散时间系统：激励与响应都是离散时间信号的系统。,7.1 引言,连续时间系统与离散时间系统分析方法比较,频响特性,离散时间系统基础理论体系,7.2 离散时间信号序列,本节主要内容 离散时间信号 离散信号的表示方法 离散信号的运算 常用离散信号 重点：离散信号的表示方法 难点：正弦序列周期性,一、离散时间信号序

2、列,离散时间信号：在时间上是不连续的序列，是离散时间变量 的函数。 表示离散信号的时间函数，只在一系列分隔的时间点上才有定义，而在其它时间无定义 间隔可以是均匀的，也可以是非 均匀的，通常讨论假设为均匀的。,1. 图解表示,二、离散信号的表示方法,2. 有序序列表示,或：,二、离散信号的表示方法,表示n=0的位置,3. 解析式表示,二、离散信号的表示方法,序列的三种形式,2.双边序列：无始无终,3.有限长序列：有始有终,1.单边序列：有始无终， 或无始有终,三、序列的运算,1、序列相加（减）：两序列同序号的数值逐项对应相加（减）,2、序列相乘：两序列同序号的数值逐项对应相乘,三、序列的运算,3

3、、序列移位：原序列逐项依次移动m位,当 时：,左移（前移）m 位,右移1位,三、序列的运算,4、序列反褶（倒置）：,将 xn 以纵轴为中心作180翻转,如果y(n)=x(-n-m)，倒置后左移m个单位。,注意：有时需去除某些点或补足相应的零值。,三、序列的运算,5.尺度变换：波形压缩（抽取）或扩展（内插）,抽取(Decimation) M,以纵轴为基准在原序列中每隔M-1点抽取一点,xnxMn M为正整数,x0,x1,x2,x3,x4,x0,x2,x4,三、序列的运算,5. 尺度变换,内插(Interpolation) L,在序列2点之间插入L-1个点,x0,x1,x2,x0,x1,x2,xn

4、xILn L为正整数,三、序列的运算,5. 尺度变换,6、序列的差分运算：一个序列与一个移位序列之差,一阶前向差分：,一阶后向差分：,二阶前向差分：,二阶后向差分：,三、序列的运算,N阶后向差分,结果依然是一个序列,7. 求和,三、序列的运算,1.单位样值（/取样/脉冲/冲激）信号,四、典型离散信号（序列）,1单位样值信号,单位脉冲序列的作用,表示任意离散时间信号,加权表示,四、典型离散信号（序列）,任意序列可以分解为加权、延迟的单位脉冲序列之和,举例,2.单位阶跃序列,四、典型离散信号（序列）,dn与un的关系:,定义：,un可以看作是无数个单位样值之和。,- 求和关系,- 微分关系,- 积

5、分关系,- 差分关系,- 求和关系,3.矩形序列,四、典型离散信号（序列）,4. 斜变序列,四、典型离散信号（序列）,比较：,当 时序列是发散的， 时是收敛的 a0序列都取正值 a0序列在正、负间摆动,5. 单边指数序列,四、典型离散信号（序列）,6. 正弦序列,式中， 是正弦序列包络的频率。,四、典型离散信号（序列）,0表示相邻两个序列值间的弧度数为,0正弦序列频率，单位是弧度； 0连续正弦频率，单位是弧度/秒。,说明：,6正弦序列,四、典型离散信号（序列）,1）与连续系统正弦 关系：,6正弦序列,N为正整数, 正弦序列是周期的，T02/ 0,2）周期性条件,说明：,四、典型离散信号（序列）

6、,为分子分母不可再约的有理数,正弦序列仍是周期的，且周期为,6正弦序列,2）周期性条件,说明：,四、典型离散信号（序列）,例 已知,，求其周期。,解：,则有,即周期为11，,中有5.5个,为无理数,找不到满足x(n+N)=x(n)的N值，为非周期序列。,例:,是否为周期序列。,解：,，则2/0=5是无理数,为非周期的序列。,6正弦序列,2）周期性条件,说明：,四、典型离散信号（序列）,2）周期性条件,若 为整数,周期T 。,若 不是有理数，不具周期性。,6正弦序列,说明：,四、典型离散信号（序列）,7. 复指数序列,复数序列用极坐标表示：,四、典型离散信号（序列）,7.3 离散时间系统数学模型

7、,离散线性时不变系统 离散系统的数学模型 从常系数微分方程得到差分方程 已知网络结构建立离散系统数学模型,线性（均匀性和叠加性）,一、离散线性时不变系统的特点,时不变性,一、离散线性时不变系统的特点,差分特性,yn - yn-1,求和特性,xn -xn-1,一、离散线性时不变系统的特点,延时,加法器,离散时间系统用基本单元符号表示,二、离散系统数学模型,乘法器,离散时间系统用基本单元符号表示,二、离散系统数学模型,二、离散系统的数学模型,输入是离散序列及其时移函数 输出是离散序列及其时移函数 系统模型是输入输出的线性组合,离散LTI系统用N阶常系数线性差分方程描述,（ak 、 br为常数）,二

8、阶前向差分方程,二阶后向差分方程,差分方程的阶数：响应yn的最大移位与最小移位之差。,如何建立数学模型?,二、离散系统的数学模型,常系数一阶后向差分方程,围绕加法器建立差分方程：,后向差分方程 多用于因果系统,1.已知网络结构建立离散系统数学模型,常系数一阶前向差分方程,围绕加法器建立差分方程：,前向差分方程 多用于状态方程,1.已知网络结构建立离散系统数学模型,1.已知网络结构建立离散系统数学模型,2.从常系数微分方程得到差分方程,在连续和离散之间作某种近似,取近似：,常系数二阶差分方程,例7-4：电阻梯形网络,E,v0,v1,v2,vN,vN-1,v0=E,vN=0,试写出节点电压的差分方

9、程。,vN-2,例7-5 假定每对兔子每月可以生育一对小兔，新生的小兔子要隔一个月才具有生育能力，若第一个月只有一对新生小兔，求第n 个月兔子对的数目是多少？ 解：令y(n) 表示在第n 个月兔子对的数目。已知y(0)=0,y(1)=1,推得：y(2)=1,y(3)=2,y(4)=3,y(5)=5, 于是有： y(n)=2y(n-2)+y(n-1)-y(n-2) 整理得： y(n)-y(n-1)-y(n-2)=0 -二阶差分方程式 或 y(n)=y(n-1)+y(n-2) -费班纳西（Fibonacci) 数列 0，1，1，2，3，5，8，13，,7.4 常系数线性差分方程的求解,迭代法求系统

10、响应 时域经典法 离散卷积法： 零输入响应：利用齐次解得零输入解 零状态响应：利用卷积和求零状态解 变换域法（Z变换法，第8章） 状态变量分析法（第12章）,一、迭代法,例1 一阶线性常系数差分方程 yn-0.5yn-1=un, y-1 = 1，用迭代法求解差分方程。,解： 将差分方程写成,代入初始状态，可求得,依此类推,缺点：很难得到闭合形式的解。,当差分方程阶次较低时常用此法,二、经典时域分析方法,差分方程的全解即系统的完全响应, 由齐次解yhn和特解ypn组成:,齐次解yhn的形式由齐次方程的特征根确定,特解ypn的形式由方程右边激励信号的形式确定,差分方程,齐次方程,特征方程：,特征方

11、程有N个特征根,二、经典时域分析方法,(1) 特征根是不等实根 a1, a2, , aN,(2) 特征根是等实根 a=a1=a2=ak,(3) 特征根是成对共轭复根,齐次解的形式,求特解,二、经典时域分析方法,完全解=齐次解+特解,边界条件代入完全解求出齐次解中的待定系数 ，即得完全解的闭式,常用激励信号对应的特解形式,二、经典时域分析方法,例7-7：求差分方程 yn+6yn-1 +12yn-2+8yn-3=xn 的齐次解,解：,特征方程为：,解：,（1）求齐次方程y(n)+2y(n-1)=0的齐次解,特征方程：,特征根,齐次解,解：,（2）求非齐次方程y(n)+2y(n-1)=x(n)-x(

12、n-1)的特解,将激励代入方程右端，得,设方程的特解为,代入差分方程,特解,（3）求完全解=齐次解+特解,代入边界条件求待定系数 ，,得到完全解的闭式,解：,讨论,1) 若初始条件不变，输入信号 xn = sinn0 un，则系统的完全响应yn=？,2) 若输入信号不变，初始条件y-1=1, 则系统的完全响应yn=？,经典法不足之处,若差分方程右边激励项较复杂，则难以处理。 若激励信号发生变化，则须全部重新求解。 若初始条件发生变化，则须全部重新求解。 这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响 应的物理概念。,当激励xn=0时，由系统的起始状态y-1, y-2, y-N产生的响应。同齐次解形式

13、，即它是自由响应的一部分。,当起始状态y-1=y-2= =y-N =0时，由系统的激励xn产生的响应。它是自由响应的另外部分加上强迫响应。,三 零输入响应与零状态响应,例7-10: 已知描述系统的一阶差分方程为 （1）边界条件 ，求 （2）边界条件 ，求,解:（1）,齐次解为,由y-1=0可求出,所以，,设特解为D,例7-10: 已知描述系统的一阶差分方程为 （1）边界条件 ，求 （2）边界条件 ，求,解:（2）,由y-1=1可求出,所以，,零状态响应不变，即为（1）的结果,注意,比较,解差分方程的方法有：,单位样值响应hn定义 hn的求解 迭代法 等效初始条件法 阶跃响应gn的求解 系统的因

14、果性和稳定性,7.5 离散系统单位样值响应,一、单位样值（脉冲）响应hn定义,单位脉冲序列 n作用于离散时间LTI系统所产生的零状态响应称为单位脉冲响应, 用符号hn表示。,二、 hn的求解,求解方法:,2) 等效初始条件法,1) 迭代法,3) 利用与阶跃响应的关系求,二、 hn的求解,1) 迭代法,例7-12：已知yn-1/3yn-1= xn, 试求其单位样值响应 hn。,hn - 1/3hn-1 =n,对于因果系统，x-1=-1=0, h-1=0 ,- 齐次解的形式,解：hn满足方程,二、 hn的求解,2) 等效初始条件法,将d n ,d n-j对系统的瞬时作用转化为系统的等效初始条件,则

15、原方程转为齐次方程求解,等效初始条件由差分方程和h-1 = h-2 = = h-k = 0 递推求出。,二、 hn的求解,2) 等效初始条件法,例7-13,解：hn满足方程,1) 求差分方程的齐次解,特征方程为：,三重根,特征根为：,齐次解的表达式为,确定初始 条件,2) 求等效初始条件,2) 等效初始条件法,解：hn满足方程,等效初始 条件,2) 求等效初始条件,迭代出,代入齐次解求系数,注意：选择初始条件的基本原则是必须将dn的作用体现在初始条件中,选3个边界条件,利用线性时不变特性，,解：,这样，,利用LTI,求齐次解，写出特征方程,（1）先求,解：,齐次解为,求等效初始条件，由 迭代出

16、,将 作为边界条件，可求出,（2）求系统的单位样值响应,解：,解法二：直接求 hn,将 作为边界条件，可求出,求等效初始条件,gn求解方法:,单位阶跃序列un作用在离散时间LTI系统上产生的零状态响应称为单位阶跃响应，用符号gn表示。,1) 迭代法,2) 经典法,3) 利用单位阶跃响应与单位脉冲响应的关系:,hn=gn-gn-1,二、 hn的求解,3) 利用与阶跃响应的关系求,三、系统的因果性和稳定性,因果性：输出变化不领先于输入变化 充要条件： 稳定性：输入有界则输出必定有界 充要条件：,例：已知某系统的 问：它是否是因果系统？是否是稳定系统？,是因果系统,有界稳定,发散 不稳定,解：,卷积

17、法求解系统零状态响应yzs n的思路,1) 将任意信号分解为单位脉冲序列的线性组合; 2) 求出单位脉冲序列作用在系统上的响应 单位样值响应; 3) 利用线性时不变系统的特性，即可求出任意序列xn激励下系统的零状态响应yzsn 。,7.6 卷积和已知单位样值响 应求系统零状态响应,卷积法求解系统零状态响应yzs n推导,由时不变特性,由均匀特性,由叠加特性,1、交换律、结合律和分配律,1）交换律,一、离散线性卷积的性质,2）结合律,3）分配律,2、移位性质,3、其它性质,一、离散线性卷积的性质,二、系统单位样值响应,级联系统的冲激响应等于两个子系统冲激响应的卷积。,二、系统单位样值响应,并联系统的冲激响应等于两个子系统冲激响应之和。,三、离散线性卷积的计算,1、图解法,2、对位相乘求和法,3、解析式法,4、利用性质求解,1、图解法计算卷积和,卷积和的定义为,计算步骤：,1) 将xn、hn中的自变量由n改为m； 2) 把其中一个信号翻转，如将hm翻转得 h-m ； 3) 把h-m平移n，n是参变量。n0图形右移，n0图形左移。 4) 将xm与 hn-m 相乘；