大一高数复习资料.ppt

1、,一、向量在另一向量上的投影，直线与平面关系。,高等数学A复习2011.6,两向量的数量积,沿与力夹角为,的直线移动,1. 定义,设向量,的夹角为 ,称,数量积,(点积) .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故,2. 性质,为两个非零向量,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面 :,L,L / ,夹角公式：,面与线间的关系,直线 L :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、二元函数极限计算,解: 原式,例.求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例 求极限,解,其中, 若当点,趋于不同值或有的极限不存在，,解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0)

2、 ,在点 (0, 0) 的极限.,则可以断定函数极限,则有,k 值不同极限不同 !,在 (0,0) 点极限不存在 .,以不同方式趋于,不存在 .,例5. 讨论函数,函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例. 求,解: 因,而,此函数定义域 不包括 x , y 轴,则,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、求方向导数，求偏导数， 隐函数求二阶偏导， 求曲面的切平面或法线方程， 二元函数最大最小值应用题,多元函数微分法,显示结构,隐式结构,1. 分析复合结构,(画变量关系图),自变量个数 = 变量总个数 方程总个数,自变量与因变量由所求对象判定,2. 正确使用求导法则,“分段用乘,分叉用

3、加,单路全导,叉路偏导”,注意正确使用求导符号,3. 利用一阶微分形式不变性,例2. 设,其中 f 与F分别具,解法1 方程两边对 x 求导, 得,有一阶导数或偏导数, 求,(99 考研),解法2,方程两边求微分, 得,化简,消去 即可得,例3.设,有二阶连续偏导数, 且,求,解:,设,求,例3.,设,求,例3.,解法2. 利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.,第六节 目录 上页 下页 返回 结束,由d y, d z 的系数即可得,设,求,例3.,为简便起见 , 引入记号,例4. 设,f 具有二阶连续偏导数,求,解: 令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习题,1. 设函数 f 二阶

4、连续可微, 求下列函数的二阶偏导数,解答提示:,第 1 题,1. 方向导数, 三元函数,在点,沿方向 l (方向角,的方向导数为, 二元函数,在点,的方向导数为,沿方向 l (方向角为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 梯度, 三元函数,在点,处的梯度为, 二元函数,在点,处的梯度为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,空间光滑曲面,曲面 在点,法线方程,1) 隐式情况 .,的法向量,切平面方程,3. 曲面的切平面与法线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,空间光滑曲面,切平面方程,法线方程,2) 显式情况.,法线的方向余弦,法向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例. 求球面,在

5、点(1 , 2 , 3) 处的切,平面及法线方程.,解:,所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有:,切平面方程,即,法线方程,法向量,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例. 确定正数 使曲面,在点,解: 二曲面在 M 点的法向量分别为,二曲面在点 M 相切, 故,又点 M 在球面上,于是有,相切.,与球面,机动 目录 上页 下页 返回 结束, 因此有,例4.在第一卦限作椭球面,的切平面,使其在三坐标轴上的截距的平方和最小, 并求切点.,解: 设,切点为,则切平面的法向量为,即,切平面方程,问题归结为求,在条件,下的条件极值问题 .,设拉格朗日函数,切平面在三坐标轴上的截距为,令,由实

6、际意义可知,为所求切点 .,唯一驻点,例5.,求旋转抛物面,与平面,之间的最短距离.,解：,设,为抛物面,上任一点，,则 P,的距离为,问题归结为,约束条件:,目标函数:,作拉氏函数,到平面,令,解此方程组得唯一驻点,由实际意义最小值存在 ,故,四、交换二次积分次序，二重积分计算 （直角坐标，极坐标）,解,积分区域如图,例. 交换下列积分顺序,解: 积分域由两部分组成:,(1) 二重积分化为累次积分的方法,直角坐标系情形 :,若积分区域为,则,若积分区域为,则,则,极坐标系情形: 若积分区域为,五、傅里叶级数系数计算， 数项级数敛散性判定， 利用幂级数和函数求数项级数和,(在收敛域内进行),基

7、本问题：判别敛散；,求收敛域；,求和函数；,级数展开.,为傅立叶级数.,为傅氏系数) 时,时为数项级数;,时为幂级数;,一、数项级数的审敛法,1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2. 正项级数审敛法,必要条件,发 散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛法,用它法判别,积分判别法,部分和极限,3. 任意项级数审敛法,为收敛级数,Leibniz判别法: 若,且,则交错级数,收敛 ,概念:,且余项,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1. 周期为 2 的函数的傅里叶级数及收敛定理,其中,注意: 若,为间断点,则级数收敛于,2. 周期为 2 的奇、偶函数的傅里叶级数,

8、奇函数,正弦级数,偶函数,余弦级数,3. 在 0 , 上函数的傅里叶展开法,作奇周期延拓 ,展开为正弦级数,作偶周期延拓 ,展开为余弦级数,例5,解,解,收敛区间(-1,1),六、曲线积分与路径无关条件， 格林公式计算曲线积分， 高斯公式计算曲面积分,1. 格林公式,2. 等价条件,在 D 内与路径无关.,在 D 内有,对 D 内任意闭曲线 L 有,在 D 内有,设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有,高斯公式及其应用,公式:,应用:,(1) 计算曲面积分,(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧),(2) 推出闭曲面积分为零的充要条件:,例2. 计算,其中L 是沿逆,时针方向以原点为中心,解法1 令,则,这说明积分与路径无关, 故,a 为半径的上半圆周.,解法2,它与L所围区域为D,(利用格林公式),则,添加辅助线段,计算,其中L为上半圆周,提示:,沿逆时针方向.,例：,练习:,其中 为半球面,的上侧.,且取下侧 ,提示: 以半球底面,原式 =,记半球域为 ,高斯公式有,计算,为辅助