河北省新乐市第一中学高中数学 第三章 空间向量与立体几何例题解析 新人教版选修2-1（通用）

1、空间向量和立体几何图形一、选择题1.(2020南昌市模拟)在空间中已知=(2，4，0)，=(-1，3，0)，ABC的大小()A.45 B.90C.120d.135分析由=(-2，-4，0)，=(-1，3，0)得到Cos =-，又是0 ， 180，ABC=135。回答 d2.(2020山东省高考)三角棱柱ABCA1B1C1的侧边垂直于底部，体积大，底部边长的正三角形。如果p是底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC角度的大小()A.b .C.d .解析三角棱镜ABC-绘制A1B1C1，以创建PA和平面ABC的角度来求解三角形的球面。如图所示，如果P是正三角形A1B1C1的中心，将O设置为ABC

2、的中心，连接PO平面ABC，OA，PAO是PA与平面ABC的角度。在正三角形ABC中，ab=BC=AC=，S=() 2=，Vabc-a1b1c1=spo=，po=。另外，ao=1，tanpao=，pao=。回答 b3.在金字塔p-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧边PD-平面ABCD，ab=PD=a .点e是侧边PC的中点，df-PB与点F. PB与平面EFD相交A.30b.45C.60d.90分析将空间直角坐标系d-XYZ、d设置为坐标原点，如图所示。P(0，0，a)，B(a，a，0)，=(a，a，-a)，然后=0 -=0，所以Pbde。已知df Pb、df de=d、因此，PB平面EFD

3、与平面EFD的角度为90。回答 d4.立方体ABCD在A1B1C1D1上，如果点E是BB1的中点，则由平面A1ED和平面ABCD组成的锐角的馀弦为()A.b .C.d .分析以A为原点设置空间正交坐标系，如图所示。将边设定为1。A1(0，0，1)、e、D(0，1，0)、所以=(0，1，-1)，=、将平面A1ED的一个法向矢量设置为n1=(1，y，z)。所以所以n1=(1，2，2)。将平面ABCD的法线向量之一设置为N2=(0，0，1)。所以| cos |=。也就是说，由平面A1ED和平面ABCD组成的锐角的馀弦.因此，选择B。回答 b5.p是二面角alpha-AB-beta角度的点，如果分别为

4、alpha、beta平面中的光线PM、PN、BPM=BPN=45和MPN=60，则二面角alpha、（）A.60b.70C.80d.90您可以将分析 PM=A，PN=B，ME-AB设定在点E，将NF-AB设定在点F。因为EPM=fpn=45，所以PE=a，pf=b，因此=(-) (-)=-=abcos 60-abcos 45-abcos 45 ab=-=0。所以，因此二面角-ab-的大小为90。回答 d二、填空6.已知a=(2，-1，1)，b=(-1，4，-2)，c=(11，5，)。向量a、b、c共面分析您可以从向量A，B，C中获得C=XA YB (X，YR)。所以有答案回答 17.(2013

5、残馀模拟)已知空间共面4点o、a、b、c、=0和| |=| | |，=，OM和平面ABC之间的切线为_ _“解决方案”表明OA、OB、OC是垂直的，如下所示：如果设置空间正交坐标系，OA=OB=OC=1，则A(1，0，0)、B (0，1)将平面ABC的法线向量设定为n=(x，y，z)。那么，x=1，平面ABC的一个法向矢量是n=(1，1，1)。因此，COS=，因此OM和平面ABC角度的正弦值为，相切值为。回答8.图4-3-11，立方体ABCD-a1b1c1d 1，以下四个茄子命题：图4-3-11当1 P在直线BC1上移动时，金字塔A-D1PC的体积保持不变。当2 P在直线BC1上移动时，直线A

6、P和平面ACD1的角度大小保持不变。P在直线BC1上运动时二面角P-AD1-C的大小M在平面A1B1C1D1上与点D和C1距离相同的点，M点的轨迹是通过D1点的直线。其中，真命题的编号为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _(写所有真命题的编号)。由于分析BC1-ACD1的原因，BC1-平面ACD1、BC1上任意点到平面AC D1的距离是值，因此VA-D1PC=VP-ACD1的值，1是正确的。p到面ACD1的距离不变，但AP的长度会变化，因此AP和面ACD1角度的大小变量是变量，因此错误。面PAD1是面ABC1D1，因此由面ABC1D1和面ACD1组成的二面角的大小，准确。m点的轨迹为A1D1

7、，精确。【答案】第三，解决问题9.(2020姜文模拟)图4-3-12，正交梯形AB-CD，AB-CD，AB-BC，AB=1，BC=2，CD=1，图4-3-12(1)认证：平面DCE平面ABCE；(2)找出直线FG和平面DCE之间角度的正弦值。解释 (1)证明：DE-AE，ce-AE，DE-ce=e，DE，ce平面CDE，AE平面CDE，AE平面ABCE、平面DCE平面ABCE。(2)以e为原点，具有EA，EC的线分别在x，y轴上设定空间直角座标系统de AE、ce AE、dec是二面角d-AE-c的平面角度。也就是说，dec=135。ab=1，BC=2，折叠前CD=1，折叠前ce=1，de=不

8、变， a (2，0，0)、B(2，1，0)、C(0，1，0)、E(0，0，0)、d (0，F，g分别是CE，AD的重点。f，g=、=(-2，0，0)、(1)被称为平面DCE的法向矢量。将直线FG和平面DCE的角度设定为。sin=、因此，线性FG和平面DCE之间角度的正弦值为：10.(2020四川省高考)图4-3-13，三角棱镜ABC-A1B1C1中侧棱镜AA1底面ABC，AB=AC=2AA1，BAC=120图4-3-13(1)在平面ABC内，点P试验与平面A1BC平行的线L，说明原因，线L平面ADD1A1证明。(2)设定(1)中的线L在点M与AB相交，AC与点N相交，求出二面角A-A1M-N的

9、馀弦。由直线和平面A1BC的判定定理可知，因为解释 (1)图(1)所示，在平面ABC内，点P为直线L-BC，L在平面A1BC外，而BC在平面A1BC内。l平面A1BC。因为Ab=AC，d是BC的中点，所以BCad，直线lad。AA1l，因为平面ABC另外，AD，AA1位于平面ADD1A1内，AD与AA1相交。所以线性l平面广告ADD1A1 .(1)(2)设定A1a=1，ab=AC=2。点a1平行于C1B1，点A1作为坐标原点，空间正交坐标系o-xy在x、y和z轴的正向上，如图所示(2)p是AD的重点。所以M，N分别是AB，AC的重点。所以m，n，因此=，=(0，0，1)，=(，0，0)。将平面

10、AA1M的某个法向矢量设定为n1=(x1，y1，Z1)时也就是说所以有因此如果X1=1，则y1=-，因此n1=(1，-，0)。将平面A1MN的一个法向矢量设定为N2=(x2，y2，z2)时也就是说所以有因此如果Y2=2，则z2=-1，因此N2=(0，2，-1)。将二面角A-A1M-N的平面角度设置为theta，theta为锐角。Cos =。因此，二面角a-a1m-n的馀弦为：11.(2020济南市模拟)已知四边形ABCD为菱形，Bad=60，四边形BDEF为矩形，平面BDEF平面ABCD，G，H分别是CE，CF的中点。图4-3-14(1)认证：平面AEF平面BDGH。(2)如果平面BDGH与平面ABCD的角度为60，则取得直线CF与平面BDGH角度的正弦值。解释 (1)G，H分别是CE，CF的中点。所以ef-GH。连接AC和BD，并交叉O。四边形ABCD是菱形的，因此O是AC的中点。连接OG，OG是三角形ACE的中间比特行，OG-AE。如果ef-AE=e，GH-og=g，则平面AEF平面BDGH。(2)BF-BD，平面BDEF平面ABCD，所以BF平面ABCD。EF的中点N，连接ON，BF，ON；平面ABCD，将空间正交坐标系设置为ab=2，BF=t (t 0)，如下所示：B(1，0