材料力学 能量法.ppt

1、第十二章 能量法,12-1 功能原理 在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量，称为弹性变形能，简称应变能。 物体在外力作用下发生变形，物体的应变能在数值上等于外力在加载过程中在相应位移上所做的功，即 Ve=W,12-2 杆件应变能计算,一、轴向拉伸和压缩,二、扭转,三、弯曲,纯弯曲：,横力弯曲：,例：试求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原理求自由端B的挠度。,解：,例：试求图示梁的变形能，并利用功能原理求C截面的挠度。,解：,12-3 应变能的普遍表达式,组合变形杆件应变能,例：轴线为半圆形的平面曲杆，作用于A端的集中力P垂直于轴线所在的平面。试求A点的垂直位移。已知GIp、

2、EI为常量。,解：,例：试求图示四分之一圆曲杆的变形能，并利用功能原理求B截面的垂直位移。已知EI 为常量。,解：,12-4 互等定理,载荷作用点,位移发生点,功的互等定理:,位移互等定理:,例：求图示简支梁C截面的挠度。,例：求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移C。,例：长为 l 、直径为 d 的圆杆受一对横向压力 P 作用，求此杆长度的伸长量。已知E和m。,例：已知简支梁在均布载荷 q 作用下，梁的中点挠 度 。求梁在中点集中力P作用下(见 图)，梁的挠曲线与梁变形前的轴线所围成的面积A。,12-6 虚功原理,1.在虚位移中，杆件原有外力、内力保持不变，且始终是平衡的；,2.虚位移满足边界条件和

3、连续性条件； 3.符合小变形要求； 4.是实际发生的位移。,虚功原理：,在虚位移中，外力所做虚功等于内力在相应虚变形上所做虚功（外力虚功等于杆件虚变形能）,可用于线弹性材料，也可用于非线弹性材料。,12-7 单位载荷法 莫尔积分,用虚功原理可以导出计算结构一点位移的单位载荷法,莫尔定理（莫尔积分）,对组合变形,例：试用莫尔定理计算图(a)所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。,例：计算图（a）所示开口圆环在 P力作用下切口的张开量 AB 。EI=常数。,F,1,2,3,4,5,6,A,B,已知各杆抗拉压刚度均为EA，求B点的铅垂位移。,A,B,1,F,1,2,3,4,5,6,A,B,A,B,1,13

4、-8 计算莫尔积分的图形互乘法,在应用莫尔定理求位移时，需计算下列形式的积分：,对于等直杆，EI=const，故只需计算积分,顶点,顶点,二次抛物线,例：试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。,解：,例：试用图乘法求所示简支梁的最大挠度和最大转角。,解：,例：试用图乘法求所示简支梁的最大挠度和最大转角。,解：,例：试用图乘法求所示简支梁C截面的挠度和A、B截面的转角。,解：,例：试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。,解：,例：试用图乘法求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移。,解：,例：用图乘法求图示阶梯状梁A截面的转角及E截面的挠度。,解：,例：图示梁，抗弯刚度为EI，承受均布载荷q及集中力X作用。用图乘法求： (1)集中力作用端挠度为零时的X值； (2)集中力作用端转角为零时的X值。,解：(1),(2),例：图示刚架，EI=const。求A截面的水平位移 AH 和转角A 。,解：,例：图示梁的抗弯刚度为EI，试求D点的铅垂位移。,解：,例：图示开口刚架，EI=const。求A、B两截面的相对角位移 AB 和沿P力作用线方向的相对线位移 AB 。,解：,例：半圆形小曲率曲杆的A端固定，在自由端作用扭转力偶矩m，曲杆横截面为圆形，其直径为d。试求B端的扭转角。已知E、。,CL12TU13,解：,例：轴线为半圆形的平面曲杆,位于水平面内