正交多项式.ppt

1、在第六章中，函数的最佳逼近是计算数学中最基本的概念和方法之一，它用一个简单的函数p(x)来近似代替函数f (x)。近似代换也称为近似，函数f (x)称为近似函数，p (x)称为近似函数，它们之间的差称为近似的误差或余数。如何在给定精度下找到计算量最小的近似公式，是函数逼近要解决的问题。函数逼近问题的一般公式是：对于给定的函数类A中的函数f (x)，要求在另一个简单易计算的函数类B(A)中找到函数p (x)，这样p (x)和f (x)之间的差在某种度量意义上可以最小化。最常用的度量标准是：(1)一致逼近，把函数f (x)和p (x)的最大误差作为误差f (x) p (x)的“大小”的度量标准，这

2、种意义上的函数逼近称为一致逼近对于任何给定的小正数0，如果有一个函数p (x)，作出不等式(2)平方逼近：函数逼近作为衡量误差“大小”的标准称为平方逼近或均方逼近。为了解决这个问题，(1)最佳近似多项式是否存在于各种度量中？它是独一无二的吗？(本章讨论：最佳平方逼近，最佳一致逼近)，(2)如何在最佳逼近的意义上找到或构造多项式。6.1正交多项式，1。正交函数系统的概念，考虑函数系统，1，cosx，sinx，cos2x，sin2x，connx，sinnx，这个函数系统中任意两个不同函数的乘积在区间-上的积分，等于0！我们称这个函数中的任意两个函数为正交函数，称这个函数系统为正交函数系统。如果上述

3、函数系统中的每一个函数都乘以一个适当的数成为：那么这个函数系统不仅保持了-上的正交性质，而且是标准化的(标准化的)，1内积，定义6.2让f (x)，g (x) C a，B，(x)是A和B上的权函数，那么它被称为内积的性质是：(1) (f，f )0，和(f，f)=0 f=0；(2) (f，g)=(g，f)；(3) (f1 f2，g )=(f1，g) (f2，g)；(4)对于任何实数k，(kf，g)=k (f，g)。3正交性，如果定义了f (x)、g (x)、c、a和b，那么f (x)和g (x)与a和b上的权重(x)正交。如果满足条件，那么函数系统k (x)是一个正交函数系统，a和b上的权重(x

4、)是，特别是当Ak为1时，它被称为标准正交函数系统。，定义6.3，只要给定区间和权函数，正交多项式序列可以由一族线性独立的幂函数通过正交化过程逐个构造：证明：用递归构造方法证明正交性，(3)让它构造并满足：它是一个一阶系数为1的一次多项式；性质，设(1)是一个一次多项式，第一系数为1；证明：将(2)代入(1)，解释：(3)、(4)(正交多项式的三个递归公式)是第一系数为1的一次多项式，然后满足递归公式：1。勒让德多项式和罗德里格斯给出了一个简单的表达式，6。最高项系数为1的勒让德多项式为，因此得到第一项的系数。勒让德多项式的重要性质：性质1，证明，阶，是区间上连续可微的高阶函数，这是由部分积分

5、和正交性所知道的。然后，将在以下两种情况下讨论。(1)如果它是一个小于次的多项式，那么，因此，那么，(2)如果因为它是一个偶次多项式，它在偶次求导之后仍然是一个偶次多项式，并且它在奇次求导之后是一个奇次多项式，所以当它是偶时它是一个偶函数，当它是奇时它是一个奇次函数，所以它的性质是6.2，这可以通过使用上述递归公式来推导，并且性质是6.3、图6-1，图6-1给出了这个图。通过序列正交化得到的正交多项式是切比雪夫多项式，它可以表示为，如果让，那么，性质是6.4。切比雪夫多项式有许多重要的性质，只要它是三角恒等式、中等式、小等式，都可以得到。递归关系，可以从递归关系中推导出来。参见图6-2。属性为6.7，间隔中有一个零点，属性为6.6。这个性质可以通过递归关系直接得到。第二类切比雪夫多项式被定义为第二类切比雪夫多项式。un(x)是一个正交多项式序列，其权函数在-1，1区间。相邻的三项具有递归关系：(2)拉盖尔多项式，定义为多项式和拉盖尔多项式。Ln(x)是一个正交多项式序列，权重(x)=区间0中