ch8应力应变ok-2012.ppt

1、材料力学（）,第 8 章 应力、应变状态分析,本章主要研究：, 应力状态分析基本理论 应变状态分析基本理论 应力应变一般关系 应变能分析计算,第 8 章 应力、应变状态分析,1 引言 2 平面应力状态应力分析 3 应力圆 4 平面应力状态的极值应力与主应力 5 复杂应力状态的最大应力 6 平面应变状态 应变分析 7 各向同性材料的应力应变关系 8 复杂应力状态下的应变能,1 引言, 实例 应力与应变状态 平面与空间应力状态, 问题提出：实例,微体A,单向受力状态,强度条件,纯剪切应力状态,问题,其它受力状态的强度条件如何建立？,微体A,复杂受力情况 强度条件,最大应力 所在截面与大小,应力、应

2、变状态分析, 应力与应变状态,通过构件内一点，所作各微截面的应力状况，称为该点处的应力状态,应力状态,应变状态,构件内一点在各个不同方位的的应变状况，称为该点处的应变状态,研究方法,环绕研究点切取微体，因微体边长趋于零，微体趋于所研究的点，故通常通过微体，研究一点处的应力与应变状态,研究目的,研究一点处的应力、应变及其关系，目的是为构件的应力、变形与强度分析，提供更广泛的理论基础, 平面与空间应力状态,仅在微体四侧面作用应力，且应力作用线均平行于微体的不受力表面平面应力状态,平面应力状态的一般形式,微体各侧面均作用有应力空间应力状态,空间应力状态一般形式,2 平面应力状态应力分析, 斜截面应力

3、分析 例题, 斜截面应力分析,问题：试建立 sa, ta 与 sx, tx, sy, ty 间的关系,问题,符号规定：正应力，拉为正, 方位用 a 以 x 轴为始边、 者为正, 切应力 t 以企图使微体沿 旋转者为正,方位用 a 表示；应力为 sa, ta,斜截面：/ z 轴；,斜截面应力公式,由于tx 与 ty 数值相等,并利用三角函数的变换关系,得,上述关系式是建立在静力学基础上，因而所得结论既适用于各向同性与线弹性情况，也适用于各向异性、非线弹性与非弹性问题,例 2-1 试计算截面 m-m 上的应力,解：,3 应力圆, 应力圆 应力圆的绘制与应用 例题, 应力圆,应力圆, 应力圆的绘制与

4、应用,绘制应力圆, 圆心横坐标, 应力圆的绘制与应用,绘制应力圆 步骤, 圆心横坐标,x面应力 y面应力,D、E两点,应力圆直径DE,应力圆,图解法求斜截面应力,sH,F,同理：,点面对应：应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向上的正应力和切应力。,转向对应：半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；,二倍角对应：半径转过的角度是方向面旋转角度的两倍。,点、面对应关系, 转向相同，转角加倍 互垂截面，对应同一直径两端, 例题,例 3-1 利用应力圆求截面 m-m 上的应力,解：,应力圆,画出下图应力状态的应力圆：,(-70,0),已知A，A ，B，B，如何作应力圆?,联AB，并作其中垂线，交轴于

5、C，C为圆心,已知， ，如何作应力圆?,几种特殊受力状态的应力圆,4 平面应力状态的极值应力与主应力, 平面应力状态的极值应力 主平面与主应力 纯剪切应力与扭转破坏 例题, 平面应力状态的极值应力, 主平面与主应力,主平面切应力为零的截面,主应力主平面上的正应力,主应力符号与规定,相邻主平面相互垂直，构成一正六面形微体主平面微体,（按代数值排列）,s i = ?,对于平面应力状态，平行于xy坐标面的平面，其上既没有正应力，也没有剪应力作用的平面也是主平面。 这一主平面上的主应力等于零。,三个主应力是后面强度理论里需用的特征量。,主平面位置（方向角）的确定：,A,D,B,E,20,应力状态分类,

6、 单向应力状态：仅一个主应力不为零的应力状态, 二向应力状态：两个主应力不为零的应力状态, 三向应力状态：三个主应力均不为零的应力状态,二向与三向应力状态，统称复杂应力状态, 纯剪切应力与扭转破坏,纯剪切状态的最大应力,圆轴扭转破坏分析,滑移与剪断发生在tmax的作用面,断裂发生在smax的作用面,解：1. 解析法,例 4-1 用解析法与图解法，确定主应力的大小与方位,2. 图解法,主应力迹线的概念 m-m截面上的主应力,单元体：,a,s1,s3,s3,s1,s3,d,s1,s1,s3,e,a0,45,a0,s,t,A1,A2,D2,D1,C,O,s,A2,D2,D1,C,A1,O,t,2a0

7、,s,t,D2,D1,C,D1,O,2a0= 90,s,D2,A1,O,t,2a0,C,D1,A2,s,t,A2,D2,D1,C,A1,O,主应力迹线（Stress Trajectories)： 主应力方向线的包络线曲线上每一点的切线都指示 着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。,主应力迹线（Stress Trajectories)： 主应力方向线的包络线曲线上每一点的切线都指示 着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。,实线表示拉主应力迹线； 虚线表示压主应力迹线。,x,y,主应力迹线的画法：,1,1 截面,2,2 截面,3,3 截面,4,4 截面,i,i 截面,n,n 截面,梁的主应力迹

8、线,在钢筋混凝土梁中，主要承力钢筋应大致沿主拉应力迹线配置，使钢筋承担拉应力，从而提高梁的承载能力。,5 复杂应力状态的最大应力, 三向应力圆 最大应力 例题,一、三向应力圆,一点处的应力状态有不同的表示方法，而用主应力表示最为重要。,由s2 、 s3可作出应力圆 I,平行于s1 的方向面其上之应力与s1无关,由s1 、 s3可作出应力圆II,I,平行于s2的方向面其上之应力与s2无关.,II,I,由s1 、 s2可作出应力圆 III,平行于s3 的方向面其上之应力与s3 无关,II,I,s3,III,s2,s1,与任一截面相对应的点，或位于应力圆上，或位于由应力圆所构成的阴影区域内,二、最大

9、应力,在三组特殊方向面中都有各自的面内最大切应力,即：,最大切应力位于与 s1 及 s3 均成45的截面,平面应力状态作为三向应力状态的特例,tmax,例,求：平面应力状态的主应力1、2 、 3和最大剪应力tmax。,例,求：平面应力状态的主应力1、2 、 3和 最大切应力tmax。,例 5-1 已知 sx = 80 MPa，tx = 35 MPa，sy = 20 MPa，sz = -40 MPa， 求主应力、最大正应力与最大切应力,解：,画三向应力圆,6 平面应变状态应变分析, 任意方位的应变 应变圆 最大应变与主应变 例题, 任意方位的应变,平面应变状态特点,微体内各点的位移均平行于某一平

10、面,平面应变状态任意方位应变,问题：已知应变 ex , ey与 gxy，求 a 方位的应变 ea 与 ga, 使左下直角增大之 g 为正,规定：, 方位角 a 以 x 轴为始边，为正,分析方法要点：叠加法，切线代圆弧,分析,综合,上述分析建立在几何关系基础上，所得结论适用于任何小变形问题，而与材料的力学特性无关,结论, 任一方位应变：, 垂直方位切应变：,互垂方位的切应变数值相等，符号相反, 应变圆, 最大应变与主应变,切应变为零方位的正应变主应变,主应变位于互垂方位,主应变表示：e1 e2 e3,例 6-1 图示应变花，由实验测得0, 45与 90方位的应变分别为e0 , e45 与e90

11、，求 ex , ey 与 gxy,解：,7 各向同性材料的应力应变关系, 广义胡克定律 主应力与主应变的关系 例题,横向变形与泊松比,-泊松比, 广义胡克定律,广义胡克定律（平面应力状态）,适用范围：各向同性材料，线弹性范围内,广义胡克定律（三向应力状态）,适用范围：各向同性材料，线弹性范围内,广义胡克定律（三向应力状态）(主应力),适用范围：各向同性材料，线弹性范围内, 主应力与主应变的关系, 主应变与主应力的方位重合, 最大、最小主应变分别发生在最大、最小主应力方位, 最大拉应变发生在最大拉应力方位,如果 s1 0，且因 m 1/2，则,证：, 根据几何关系求e45。, 根据广义胡克定律求

12、 e45。, 比较,例 7-2 边长为a =10 mm的正方形钢块，放置在槽形刚体内，F = 8 kN，m = 0.3，求钢块的主应力,解：,例 已知一圆轴承受轴向拉伸及扭转的联合作用。为了 测定拉力F和力矩M，可沿轴向及与轴向成45方向测出 线应变。现测得轴向应变 ， 45方向的应变 为 。若轴的直径D=100mm,弹性模量E=200 GPa,泊松比=0.3。试求F和M的值。,u,u,解：,（1）K点处的应力状态分析,在K点取出单元体：,K,其横截面上的应力分量为：,（2）计算外力F,由广义胡克定律：,解得：,（3）计算外力偶M,已知,式中,由,解得：,因此,8 复杂应力状态下的应变能, 应变能密度一般表达式 体应变 畸变能密度, 应变能密度一般表达式,单位体积内的应变能应变能密度, 体应变,微体的体积变化率体应变,其中