微积分基础知识ppt课件.ppt

1、绪论,1,课程名称,微积分上,计划学时,80,考核形式,考试（学分）,课堂纪律,作业问题,课前预习、重点听讲、简记笔记、 整理咀嚼、后作练习,2,参 考 书 目,微积分学习指导,高等数学,同济大学数学系 编（高等教育出版社）,3,1. 基础: 函数 , 极限, 连续,2. 微积分学: 一元微积分,(上册),(下册),3. 向量代数与空间解析几何,4. 无穷级数,5. 常微分方程,主要内容,多元微积分,高等数学研究的主要对象是函数，主要研究函数的分析性质（连续、可导、可积等）和分析运算（极限运算、微分法、积分法等）。那么高等数学用什么方法研究函数呢？这个方法就是极限方法，也称为无穷小分析法。从方

2、法论的观点来看，这是高等数学区别于初等数学的一个显著标志。,由于高等数学的研究对象和研究方法与初等数学 有很大的不同，因此高等数学呈现出以下显著特点：,概念更复杂,理论性更强,表达形式更加抽象,推理更加严谨,4,因此在学习高等数学时，应当认真阅读和深入钻研教材的内容，一方面要透过抽象的表达形式，深刻理解基本概念和理论的内涵与实质，以及它们之间的内在联系，正确领会一些重要的数学思想方法，另一方面也要培养抽象思维和逻辑推理的能力。,学习数学，必须做一定数量的习题，做习题不仅 是为了掌握数学的基本运算方法，而且也可以帮助我 们更好地理解概念、理论和思想方法。但我们不应该 仅仅满足于做题，更不能认为，

3、只要做了题，就算学 好了数学。,5,6,极限方法 1） 计算圆的周长,7,2）切线的斜率,8,3)计算曲边梯形面积,曲边梯形面积为,9,4)无穷级数,10,一、基本概念,1.集合:,具有某种特定性质的对象的全体.,组成集合的事物称为该集合的元素.,P（x）表示元素具有性质,第0章 基本知识,11,2.邻域:,1.定义 设x和y是两个变量，D是一个给定的数集， 若对于x D，变量y按照确定的法则总有 确定的数值和它对应，则称y是x的函数,记作,自变量,因变量,二、函数,12,函数的两要素:,定义域与对应法则.,自变量,对应法则f,因变量,约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.,

4、13,14,(1) 符号函数,几个特殊的函数举例,15,(2) 取整函数 y=x x表示不超过 的最大整数,阶梯曲线,16,(3) 狄利克雷函数,17,(4) 取最值函数,在自变量的不同变化范围中,对应法则,用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.,18,三. 函数的几种特性,设函数,(1) 有界性,使,称,A为上界，B为下界。,(2) 单调性,为有界函数.,当,时,称,为 I 上的,单调增函数 ;,称,为 I 上的,单调减函数 .,19,(3) 奇偶性,且有,若,则称 f (x) 为偶函数;,若,则称 f (x) 为奇函数.,说明: 若,在 x = 0 有定义 ,为奇函数时,则当,必有,例如

5、,偶函数,双曲余弦,记,20,例1 判断函数 的奇偶性.,解：, f(x)是奇函数.,例2 设f(x)在R上定义，证明f(x)可分解为一个奇函数与一个偶函数的和。,证明：设,显然 g(x)是偶函数，h(x)是奇函数,而,故命题的证.,21,(4) 周期性,且,则称,为周期函数 ,若,称 l 为周期,( 一般指最小正周期 ).,周期为 ,周期为,注: 周期函数不一定存在最小正周期 .,例如, 常量函数,狄里克雷函数,x 为有理数,x 为无理数,四. 反函数,若函数,为单射,则存在逆映射,称此映射,为 f 的反函数 .,22,22,习惯上,的反函数记成,图形关于直线,对称 .,单调性一致,23,2

6、4,例如 ,对数函数,互为反函数 ,它们都单调递增,指数函数,25,例1 证明若函数 y = f (x)是奇函数且存在反函数 x = f 1(y), 则反函数也是奇函数。,证明：,反函数是奇函数。,例2,解: 当x0时,y1,当x0时,y1,x=y-1,初等（显）函数 y=f(x) 隐函数 F(x, y)=0 参量函数 分段函数 单值函数 多值函数,五. 初等函数,26,基本初等函数,1.幂函数,27,2.指数函数,28,3.对数函数,29,4.三角函数,正弦函数,余弦函数,30,正切函数,余切函数,31,正割函数,余割函数,32,5.反三角函数,33,5.反三角函数,34,35,36,复合函

7、数,y=f(u)称为外函数，u=(x)称为内函数,定义,37,注:,2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,1.复合函数,代入法,不能构成复合函数 .,3.并不是任意两个函数都可以进行复合运算,38,初等函数,(1) 基本初等函数,幂函数、,指数函数、,对数函数、,三角函数、,反三角函数,(2) 初等函数,例如 ,可表为,故为初等函数.,由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限 次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函 数,称为初等函数. 否则称为非初等函数 .,39,例：,不是初等函数,为初等函数,不是初等函数,为初等函数,40,双曲函数,奇函数.,偶函数.,双曲函数,41,

8、奇函数,有界函数,42,六 数列的极限(P6):,43,几何解释:,44,45,如:唯一性,有界性,局部保号性,夹挤规则（两边夹）,46,证: 用反证法.,及,且,取,因,故存在 N1 ,从而,同理, 因,故存在 N2 ,使当 n N2 时, 有,收敛数列的极限唯一.,使当 n N1 时,假设,从而,矛盾.,因此收敛数列的极限必唯一.,则当 n N 时,故假设不真 !,满足的不等式,47,两边夹准则,证:,由条件 (2) ,当,时,当,时,令,则当,时, 有,由条件 (1),即,故,48,49,例. 证明数列,是发散的.,证: 用反证法.,假设数列,收敛 ,则有唯一极限 a 存在 .,取,则存在 N ,但因,交替取值 1 与1 ,内,而此二数不可能同时落在,长度为 1 的开区间,使当 n N 时 , 有,因此该数列发散 .,50,例(P10) 证明 若X2k-1a,X2ka(k), 则数列Xn收敛于a。 证：对任0,K1,当kK1 时X2k 落在a-,a+即满足|2k-a|(1) K2当kK2时X2k-1 落在a-,