连续型随机变量与概率密度函数.ppt

1、第二章 随机变量及其分布,连续型随机变量及其分布,有关要点回顾,1离散型随机变量 随机变量所取的可能值是有限多个或无限可列个，叫做离散型随机变量.,离散型随机变量的分布律为,1.,2.,（非负性）,（归一性）,其中,在这个意义上，我们说,对于离散型随机变量，如果知道了它的分布列， 也就知道了该随机变量取值的概率规律.,离散型随机变量由它的分布列唯一确定.,2. 连续型随机变量 随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间，叫做连续型随机变量.,连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间， 对连续型随机变量，不能象离散型随机变量那样， 以指定它取每个值概率的方式, 去给出其概率分布，而是通过给出所谓

2、“概率密度函数”的方式来描述其 概率分布.,下面，我们将向大家介绍另一种类型的随机变量, 连续型随机变量的描述方法.,第三讲 连续型随机变量及其概率密度,连续随机变量; 密度函数及其性质; 均匀、指数与正态分布,设离散型随机变量X在a, b内取n个值: x1=a, x2, x3, x4, , xn=b,X,即小矩形的面积为取对应点的概率,折线下面积之和！,X的概率 直方图：,(1) 定义的引出,若X为连续型随机变量，由于X在a, b内连续取无穷多个值，折线将变为一条光滑曲线,而且：,由此推出连续 型随机变量 的定义,简称为概率密度或密度.,对于随机变量 X 的分布函数 F(x), 若存在非负可

3、积函数 f (x)，,使得对任意实数 x，有,则称 X 为连续型随机变量，,由定义,称 f (x)为 X 的概率密度函数，,定义1(P40.定义),密度函数的基本特性：,(1) f (x) 0 ；,= 1 - 0,1 ；,(2),(3),(4),(5),= 0,判定一个函数 f (x) 为 某连续型随机变量的 概率密度的充要条件,独点 概率,非负性,规范性,可微性,概率公式,y = f (x),面积为1,若 f (x) 在点 x 处连续，,则,P( X = x0 ),= 0 .,P(aXb)= P(a X b)= P(aX b)= P(aXb ),几乎不可能事件,几乎必然事件,X 取值于(x

4、, x+x的概率=其密度在此区间上的积分,可积,连续型的分布函数必连续,一、 连续随机变量及其分布密度,P(x1 X x2) = F(x2) - F(x1),1 o,2 o,密度函数的几何意义,即 y=f(x)，y=a，y=b，x轴所围成的曲边梯形面积。,密 度 函 数 曲 线 位 于 x 轴 上 方,(1) P x1X x2 = P x1X x2 = P x1X x2 = P x1X x2 = F(x2) F(x1) =,(2),点概为零的重要启示,若 A 为不可能事件，则 P (A) = 0 ； 然而 P (A) = 0 时， A 却不尽为不可能事件 .,连续型随机变量取值落在某一区间的概

5、率与区间的开闭无关,事件(X=c)并非不可能事件，它是会发生的，也就是说零概率事件也是有可能发生的。如 X为被测灯泡的寿命。若灯泡寿命都在1000小时以上，而 P (X=1000)=0，但事件 (X = 1000) 是一定会 发生的，否则不会出现事件(X 1000)，所以 不可能事件的概率为零，但概率为零的事件不一定是不可能事件。 同样： 必然事件的概率为1，但概率为1的事件不一定是必然事件。,若X是连续型随机变量， X=a 是不可能事件，则有,若 X 为离散型随机变量,注意,连 续 型,离 散 型, 分布函数F (x) 的函数值表示随机变量 X 在右闭无穷区间 (, x 上的取值概率, 即,

6、 只要函数 F (x) 是随机变量 X 的分布函数, 那就必有,不过离散变量的分布函数仅是右连续的函数; 连续变量的分布函数却是实轴上处处连续的函数 .,要 点 重 申, “ 连续随机变量的点概为零” , 即连续型随机变量 X 在其任一可取点处的取值概率恒等于零; 但 “离散随机变量的点概不尽为零”, 因为后者在其任一可取之点处的取值概率肯定不为零.,并且概率密度 f ( x ) 也满足所谓的归一性, 也就是, 只有连续型随机变量 X 才存在概率密度 f (x), 它与分布函数 F (x) 的相互关系是,要 点 重 申, 连续变量的点概为零说明:不可能事件的概率为零; 但概率为零的事件不尽为不

7、可能事件., 连续随机变量 X 在任何区间上的取值概率与区间的开闭与否无关, 它恒等于概率密度在该区间上的积分，即,但离散随机变量 X 在区间上的取值概率与区间的开与闭有关:区间开时应去掉开点的点概;区间闭时应包括闭点的点概，例如,P x1X x2 ,P x1X x2 = F(x2) F(x1)P X = x1 ,P x1X x2 = F(x2) F(x1),要 点 重 申,例1 设,求常数K,解,由性质,解之得,得,例2 设连续型随机变量 X 具有概率密度,求 常数A ； 概率, 分布函数,解,例3 设连续随机变量 X 的概率密度,解,试求概率 (1) ; (2) .,解:,【练习】,得,【

8、练习】,设随机变量,具有概率密度,(2),求,的分布函数,(3),求,解,由,得,解得,设随机变量,具有概率密度,【练习】,解,由,得,解得,其它,.,设随机变量,具有概率密度,(2),求,的分布函数,【练习】,解,.,设随机变量,具有概率密度,(3),求,解,或,【练习】,例4 设随机变量 K 的概率密度为,试求方程 有实根的概率.,解,方程要有实根, 则根的判别式0, 即有,可见,或,于是, 所求的概率为, 密度函数,例5 连续随机变量X 的分布函数为,解 F (x)显然应是 x 的连续函数。于是，由函数在0和1处的连续性即得，A = B，B = 1A，可见 A = B = 1/2 ；,

9、概率 P X 1 / 3 =,Aex ， x 0 F (x) = B ， 0 x 1 1Ae(x1)， x 1,试求 A、B的值； X 的密度函数； P X1 / 3 。,1 P X 1 / 3 ,= 1 F (1 / 3),= 11 / 2 = 1 / 2.,ex / 2， x 0,0 ， 0 x 1,e(x1) / 2 ， x 1,【练习】,故有,解,(1) 因为 X 是连续型随机变量,=,例6 某药品的有效期 X 以天计算，其概率密度为,解 分布函数,20000 / ( x100 )3， x 0 f (x) = 0， 其它,试求 X的分布函数； 有效期至少为200天 的概率。,=,=,

10、有效期至少为200天 的概率 P X 200 =,1 P X 200 ,= 1 P X 200 ,= 1 F (200),= 1 / 9.,分布函数法,例6 某药品的有效期 X 以天计算，其概率密度为,20000 / ( x100 )3， x 0 f (x) = 0， 其它,试求 X的分布函数； 有效期至少为200天 的概率。, 有效期至少为200天 的概率,=,= 1 / 9.,密度函数法,P X 200 =,例6 某药品的有效期 X 以天计算，其概率密度为,20000 / ( x100 )3， x 0 f (x) = 0， 其它,试求 X的分布函数； 有效期至少为200天 的概率。,三、

11、三大连续分布密度, 指数分布 E (),在寿命、可靠性与排队理论中应用广泛且富“无记忆性”从而赢得 “ 永远年轻 ” 之美誉的分布., 均匀分布 R ( a, b ) 或 U ( a, b ),在区间 ( a , b ) 的任何子区间 ( c, d ) 内, 取值概率直接等于子区间与母区间的长度比的分布., 正态分布 N (，2 ),理论与实践中应用最广、且任何大容量的独立随机变量之和必然近似服从的理论分布.,三大连续分布的名称与符号,显然，不同的均匀分布是根据两分布参数 a 和 b 的不同取值加以区分的。,1. 均匀分布 R ( a , b ),若连续随机变量 X 的密度函数具有形式,三、

12、三大连续分布密度,那么就称该随机变量 X 服从均匀分布，也称 X为均匀分布变量（简称均匀量），并记为,特征： 区间（ a ， b ）上的均匀量 X 落在该区间上 任何长度为 l 的子区间内的概率皆为:,l,任取子区间,容易求出，均匀随机量 X 的分布函数为,均匀分布常见于下列情形：,如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某一位小数引入的误差，例如对小数点后第一位进行四舍五 入时，那么一般认为误差服从（-0.5, 0.5）上的均匀分布。,再者，假定班车每隔a分钟发出一辆，由于乘客不了解时间表，到达本站的时间是任意的（具有等可能性），故可以认为候车时间服从区间(0，a)上的均匀分布 ,例 某公共

13、汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量, 试求他候车时间少于5 分钟的概率.,解,依题意，,以7:00为起点0，以分为单位,为使候车时间X少于 5 分钟，乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站.,所求概率为：,即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3.,例 设随机变量XR1, 6 ，求一元二次方程 t 2+Xt +1= 0有实根的概率。,解 当=X2-40时，方程有实根。所求概率为,而X的密度函数为,从而,另解,

14、例 设随机变量 X 在 2, 5 上服从均匀分布，现对 X 进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值大于3 的概率.,X 的分布密度函数为,设 A 表示“对 X 的观测值大于 3 ”, Y 表示3次独立观测中观测值大于3的次数.,解,则,因而有,显然，不同的指数分布仅靠一个分布参数 的不同取值相互区分。,2. 指数分布 E（）,三、 三大连续分布密度,若连续随机变量 X 的密度函数具有形式,那么就称该随机变量 X 服从指数分布，也称 X为指数分布变量（简称指数量），并记为,O,x,指数分布 密度函数 的图象,指数分布 分布函数 y =F (x) 的图象,O,x,F(x),1,当产品的失效是偶然

15、失效时其寿命服从指数分布.,在排队论中它被 广泛地用于描绘等待时间,如电话通话时间、各种随机服务系统的服务时间、等待时间等.在更新和维修问题中描绘设备的寿命和维修时间.,指数分布是伽玛分布和威布尔分布的特殊情况.,有些系统的寿命分布也可用指数分布来近似,指数分布在可靠性理论中描绘设备工作的可靠时间.,如电子产品或动物寿命的分布,一般地, 当随机质点流在长 t 的时间内出现的质点数服从参数为t 的泊松分布时,其相继出现两个质点的事件间就服从参数为 的指数分布.,电子元件的寿命X(年)服从参数为3的指数分布， (1)求该电子元件寿命超过2年的概率； (2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使

16、用超过2年的概率为多少？,解,指数分布 Forever Young,另例,已知其参数,求 3 个这样的元件使用 1000 小时,至,少已有一个损坏的概率.,解,由题设知,的分布函数为,由此得到,各元件的寿命是否超过 1000 小时是独立的，,用,表示三个元件中使用 1000 小时损坏的元件数，,已知其参数,求 3 个这样的元件使用 1000 小时,至,少已有一个损坏的概率.,解,各元件的寿命是否超过1000小时是独立的,用,表示三个元件中使用 1000 小时损坏的元件数,所求概率为,则,另例,显然，不同的正态分布是根据两个分布参数 和2 的不同取值加以区别的。,3. 正态分布 N (，2 ),

17、三、 三大连续分布密度,那么就称该随机变量 X 服从正态分布，也称 X为正态分布变量（简称正态量），并记为,若连续随机变量 X 的密度函数具有形式,但每个因素所起的作用不大.,经济学中的股票价格、产品的销量等等，都服从或近似服从正态分布.,正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度；,射击目标的水平或垂直偏差，测量误差，,从直方图，我们可以初步看出, 年降雨量近似服从正态分布.,用上海99年降雨量的数据画出了频率直方图.,下面是我们用某大学男大学生的身高的数据画出的频率直方图.,可见, 男大学生的身高应服从正态分布.,除了上面提到的年降雨量和某地区成年男子的身高、体重外,农作物的产

18、量，小麦的穗长、株高；,在自然现象和社会现象中大量的随机变量都服从或者近似服从正态分布.,生物学中同一群体的形态指标，,电子元器件的信号噪声、电压、电流；,拟合的正态 密度曲线,有很多分布还可以用正态分布近似.,而正态分布自身还有很多良好的性质.,若影响某一数量指标的随机因素很多，,每一因素独立，,服从正态分布,正态分布密度的性质,(1) 在 x = 处取到最大值,故 f (x)以为对称轴，,令 x=+c, x=-c (c0), 分别代入f (x), 可得,且 f (+c)=f (-c),f (+c) f (), f (-c)f (),x =为 f (x) 的两个拐点的横坐标.,(2) 正态分

19、布的密度曲线位于 x 轴的上方,且关于 x = 对称，,对密度函数求导：,= 0 ，,(3) 密度曲线 y = f (x) 有拐点,即曲线 y = f (x) 向左右伸展时,越来越贴近 x 轴.,当 x 时，f (x) 0+, 决定了图形中峰的陡峭程度,若固定 ，改变 的值，,反之亦然，,则密度曲线左右整体平移.,(4) f (x) 以 x 轴为水平渐近线;,正态分布 N( , 2 )的密度函数图形的特点:,两头低,中间高,左右对称的 “峰” 状,若固定 ，改变 的值，, 决定了图形的中心位置, 决定图形的中心位置;,正态概率密度函数的几何特征,O,x,密度函数 的图象,分布函数 y =F (

20、x) 的图象,O,x,F(x),1/2,1,正态分布的分布函数,标准正态量的分布函数通常被记成,若 X N（0，1），则称 X 为标准正态量。 标准正态量的密度函数通常被记为,不难证明(令 t = u),，易见,显然,O,x,标准正态分布 密度函数 的图象,标准正态分布 分布函数 y = (x) 的图象,O,x,(x),0.5,1,标 准 正 态 分 布 表,证明,证明,的性质 :,标准正态分布的重要性在于，任何一个 一般的正态分布都可以通过线性变换转化 为标准正态分布.,可以证明，若 则,证明,的分布函数为,所以,证毕.,从而有, N（0，1 ）,即前者的分布函数值可借后者的分布函数值表出,

21、可以证明，若 X N（，2），则,前者在 处的函数值 与 后者在 处的函数值 相等,标准化,已知XN(1, 4)，求P(5X7.2)，P(0X1.6),解：,标准正态分布表,由XN(1, 4)可推得：,已知XN(1, 4)，求P(5X7.2), P(0X1.6),P179,*取值的含义,3.013.99的详尽取值可参阅陆元洪编数理统计方法P242附表,该表摘录见下张幻灯片(表格补充说明),标准正态分布 (函数的取值) 表,表格补充说明,*取值的含义,标准正态分布 (函数的取值) 表,标准正态量取值概率的查表计算实例, (0) = 0 .5 , (1) = 0.8413 , (2) = 0.97

22、72 , (3) = 0.9987,() = 0 ,(3.9) 1.0000 ,只要 x 3.9 , 就有 ( x ) = 1,(3.8) = 0.9999 ,由标准正态分布的查表计算可以求得，,这说明，X 的取值几乎全部集中在-3,3区间 内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.,当XN(0,1)时，,P(|X| 1)=2 (1)-1=0.6826,P(|X| 2)=2 (2)-1=0.9544,P(|X| 3)=2 (3)-1=0.9974,3准则,有价值的重要结论,将上述结论推广到一般的正态分布,这在统计学上称作“3 准则” .,N(0,1),时，,试求3次,设测量误差的绝对值不超过30米的次数为Y , 则,解,例1 设测量误差(单位:米),测量中至少有一次的误差绝对值不超过30米的概率.,其中,故所求事件的概率为,超过1%. 设男子的身高,例2 设计公汽车门高 H 的要求是不使男乘客撞头的概率,解,问 H 应如何设计?,依设计要求, H 应满足条件,即 H 的设计值至少应为183.98 (厘米)或184 (厘米).,例3,设某项竞赛成绩,若按参赛人,数的 10% 发奖，,问获奖分数线