高中数学必修系列：3.7函数的极值(第一课时)

1、3.7函数的极值课时安排2课时从容说课从函数图象出发讲述函数的极大值、极小值、极值、极值点的意义.在教法上，让学生从解题过程中概括出利用一阶导数求函数的极大值和极小值的方法.函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，并且函数要在这一点处连续.教学时，可以安排这样的例题来加以说明，加深理解.在求可导函数的极值时，应要求学生注意如下几点：（1）可导函数的极值点一定是它的驻点（即f（x0）=0），注意这句话中的“可导”两字是必不可少的.例如函数y=|x|在点x=0处有极小值f（0）=0，可是f（x）在x=0处不可导.（2）可导函数的驻点可能是极值点

2、，也可能不是极值点，例如函数y=x3的导数是f（x）=3x2,在点x=0处有f（0）=0，即点x=0是f（x）=x3的驻点，但不是极值点.（3）求一个可导函数的极值时，常常把驻点附近的函数值的讨论情况列成表格，这样可使函数在各单调区间的增减情况一目了然.但是值得注意的是不能忘记定义域的作用.在教学时要采用主动学习模式，让学生积极参加，主动建构，不能被动接受.教师的作用就是调节、策划.增加一些新的教学内容，可以让学生自主编拟题目，或者分组编题、解题.培养学生良好的数学素养和个性品质.第十三课时课题3.7.1函数的极值（一）教学目标一,教学知识点1.极大值的定义和判别方法.2.极小值的定义和判别方

3、法.3.极值的概念.4.求可导函数f（x）的极值的步骤.二,能力训练要求1.理解极大值、极小值的概念.2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值.3.掌握求可导函数的极值的步骤.三,德育渗透目标1.加深学生对局部与整体之间的理解.2.培养学生数形结合的数学思想.3.培养学生自己归纳、总结的能力.教学重点极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.教学难点对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明,并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的.观察图象得出判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号.教学方法建构主义观点下的高中数学教学实践，让

4、学生通过观察图象，得到极大、极小值的定义，并让他们比较其与最大、最小值的区别.让学生自己观察图象得到判别极大、极小值的方法，并通过例1，自己归纳、总结解题的步骤.教具准备幻灯片三张第一张：极大、极小值的定义（记作3.7.1A）1.极大值.一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0）,x0是极大值点.2.极小值.一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0）,x0是极小值点.

5、3.极大值与极小值统称为极值.第二张：判别f（x0）是极大、极小值的方法（记作3.7.1 B）当函数f（x）在点x0处连续时，判别f（x0）是极大（小）值的方法是：（1）如果在x0附近的左侧f（x）0,右侧f（x）0,那么f（x0）是极大值.（2）如果在x0附近的左侧f（x）0,右侧f（x）0,那么f（x0）是极小值.第三张：求可导函数f（x）的极值的步骤（记作3.7.1 C）求可导函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f（x）.（2）求方程f（x）=0的根.（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f（x）在方程根左右的值的符号，如

6、果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f（x）在这个根处无极值.教学过程.课题导入师我们上节课利用学过的导数这个有力工具研究了函数的一种性质单调性，怎么来判断函数的单调性呢？生先对函数进行求导.如果f（x）0,那么函数f（x）为增函数；如果f（x）0,那么函数f（x）为减函数.师比较一下，以前判断函数单调性的方法和现在的判断方法，哪个比较简单？生齐答现在的.师那么，我们再利用导数这种先进有效的工具，再来研究一下函数的另一种性质函数的极值.讲授新课图3-17图3-18师我们观察一下两张图象中，点a和点b处的函数值与它

7、们附近点的函数值有什么关系？生从图3-17可以看出，点a处的函数值f（a）比点a附近的点的函数值大；而从图3-18可以看出，点b处的函数值f（b）比点b附近的点的函数值小.师我们把如图3-17情况的点a的函数值f（a）称极大值，把如图3-18情况的点b的函数值f（b）称极小值，那么能给极大值,极小值下个定义吗？生如果对点x0附近的所有的点，都有f（x）f（x0）,那么f（x0）是函数f（x）的一个极大值.如果对点x0附近的所有的点，都有f（x）f（x0），那么f（x0）是函数f（x）的一个极小值.师下定义时，要更准确一点，有f（x0）存在，且与附近点的函数值比较.那么首先f（x）在点x0附近有

8、定义，把极大值、极小值统称为极值.（打出幻灯片3.7.1 A）师我们看一下极大值、极小值的概念和学过的最大值、最小值的概念有什么区别？生极大、极小值是对于点x0附近的点而言的，而最大、最小值是对于整个定义区间上的点而言的.师最大、最小值可以有几个？极大、极小值呢？生最大、最小值只有1个，极大、极小值可以有多个.（板书）（一）函数的极值1.函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，并且函数要在这点处连续.师我们继续观察图3-17和图3-18，点a、b处的切线与点a、b附近的点处的切线有什么特点？生点a、b处的切线都与x轴平行，所以点a、b处的切

9、线的斜率为0，即f（a）=0,f（b）=0.在点a的左侧的点处的切线的斜率为正，右侧为负；而在点b的左侧的点处的切线的斜率为负，右侧为正.（一开始画图,f（a）=0,f（b）=0,f（x）0,f（x）0，可不必标上去，等学生回答后再在图上标出）师那么如果函数f（x）在点x0处连续，是否可以总结一下判别f（x0）是极大或极小值的方法.生如果在点x0附近的左侧f（x）0,右侧f（x）0,那么f（x0）是极大值.如果在点x0附近的左侧f（x）0,右侧f（x）0,那么f（x0）是极小值.（打开幻灯片3.7.1 B）师我们知道，可导函数如果x0是极值点，那么f（x0）=0，所以可导函数极值点的导数为0，

10、那么反过来，导数为0的点一定是极值点吗？生不是.师举个例子.（学生举例，老师板书）（板书）y=x3,在x=0处.y=（x3）=3x2,yx=0=0,当x0时，y0,当x0时，y0,由极大、极小值的定义知,x=0不是极值点.师再来看一个例子.（板书）y=x,在x=0处.y=x在x=0处不可导.当x0时y0,当x0时y0,x=0是y=x的极小值点.2.对于可导函数，一点是极值点的必要条件是这点的导数为0，而一点是极值点的充分条件是这点两侧的导数异号，即可导函数极值点的导数一定为0，但导数为0的点不一定都是极值点，且对于一般的函数，函数的不可导点也可能是极值点.（二）课本例题例1求y=x3-4x+4

11、的极值.解：y=（x3-4x+4）=x2-4=（x+2）（x-2）,令y=0,解得x1=-2,x2=2.当x变化时，y、y的变化情况如下表：x（-,-2）-2（-2,2）2（2,+）y+0-0+y极大值极小值-当x=-2时，y有极大值且y极大值=；当x=2时，y有极小值且y极小值=-.例2求y=（x2-1）3+1的极值.解：y=6x（x2-1）2=6x（x+1）2（x-1）2，令y=0,解得x1=-1,x2=0,x3=1.当x变化时，y、y的变化情况如下表：x（-,-1）-1（-1,0）0（0,1）1（1,+）y-0-0+0+y无极值极小值0无极值当x=0时，y有极小值且y极小值=0.师这就是

12、我们解极值问题的一般解法，对于可导函数，能否总结一下，求极值的具体步骤呢？生第一，求导数f（x）.第二，令f（x）=0求方程的根.第三，列表,检查f（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右都是正，或者左右都是负，那么f（x）在这个根处无极值.师这位同学回答得很好，他把无极值的情况也总结了一下.而书本上的总结只是针对例1的情况，我们可以根据例1、例2，把所有的情况都总结一下.但这个解法的前提是对可导函数而言的.如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点.（打出幻灯片3.7.1 C）（三

13、）精选例题例1已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10,求f（2）的值.解:f（x）=3x2+2ax+b,又在x=1处有极值为10,两式相减得a2-a-12=0,a=4,a=-3.当a=4时,b=-11;当a=-3时,b=3.当f（x）=x3+4x2-11x+16时,f（2）=8+44-112+16=18;当f（x）=x3-3x2+3x+9时,f（2）=8-34+32+9=11.例2已知函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值,求实数a的取值范围.解:f（x）=3x2+2ax+a+6,令f（x）=0,3x2+2ax+a+6=0有两个不同的解.0.4a

14、2-12（a+6）0.a2-3a-180.a6或a-3,即所求a的取值范围是（-,-3）（6,+）.课堂练习求下列函数的极值.（1）y=x2-7x+6;（2）y=x3-27x.解：（1）y=（x2-7x+6）=2x-7,令y=0，解得x=.当x变化时，y,y的变化情况如下表:x（-,）（,+）y-0+y极小值-当x=时，y有极小值，且y极小值=-.（2）y=（x3-27x）=3x2-27=3（x+3）（x-3）,令y=0,解得x1=-3,x2=3.当x变化时，y,y的变化情况如下表:x（-,-3）-3（-3,3）3（3,+）y+0-0+y极大值54极小值-54当x=-3时，y有极大值，且y极大

15、值=54;当x=3时，y有极小值，且y极小值=-54.课时小结学生总结这节课我们主要学习了函数的极大、极小值的定义以及判别方法，求可导函数f（x）的极值的三个步骤，还有要弄清函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在整个定义区间可能有多个极值，且要在这点处连续.可导函数极值点的导数为0，但导数为零的点不一定是极值点，要看这点两侧的导数是否异号.函数的不可导点可能是极值点.课后作业（一）课本P130习题3.71.（二）复习并总结这节的内容.板书设计3.7.1函数的极值（一）画图举例:y=x3,在x=0处.y=x,在x=0处.课本例题例1.求y=x3-4x+4的极值.例2.求y=（x2-1）

16、3+1的极值.1.函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在函数的整个定义区间内可能有多个极大（极小）值，且函数要在这点处连续.2.对于可导函数，一点是极值点的必要条件是这点导数为0，充分条件是这点两侧的导数异号.精选例题例1.例2.课堂练习求下列函数的极值:（1）y=x2-7x+6;（2）y=x3-27x.课时小结课后作业备课资料关于9sinx+16cscx值域的研究王思俭第五届“希望杯”高二第二试二4:函数y=9sinx+16cscx,x（0, ,则函数的最小值为_.1.挖掘多种解法，揭示解题思想思路1:本题不能直接使用均值不等式求最小值,因为虽然有9sinx+16cscx2=24,

17、但等号成立的充要条件是9sinx=16cscx,即sinx=（0,1,但可借助函数y=9t+,t（0,1的单调性来求解.解：令sinx=t（0,1,则y=9t+,易证函数y在（0,1上是单调递减的，所以当t=1，即x=时,ymin=25.思路2：虽然不能直接使用均值不等式求最小值，但只要对进行分析就可以利用了.解：y=9（sinx+）+92+=18+18+=25，两处不等式中等号成立的充要条件都是sinx=1.故ymin=25.思路3：令sinx=t（0,1,于是问题转化为关于t的一元二次方程9t2-yt+16=0在（0,1中至少有一个根时，求参数y的取值范围，利用二次函数图象就可求得.解：令

18、sinx=t,原式化为9t2-yt+16=0, t（0,1，（*）此方程在（0,1内至少有一个解.首先应有0,即y24.由于二次函数f（t）=9t2-yt+16的对称轴t=1,所以有解得y25.思路4：可从原式中解出sinx，再利用正弦sinx（0,1求解.解：原式化为9（sinx）2-ysinx+16=0,当0,即y24时，sinx=.而y24,0sinx1,所以01.解得y25,故ymin=25.2.挖掘试题内涵，培养揭示能力引申1：函数y=ax+的性质（ab0）.（如下表） 条件图象与性质项目图象奇偶性奇函数奇函数奇函数奇函数极值y极大=-2ab,y极小=2ab无极值y极大=-2ab,y

19、极小=2ab无极值图象极值点极大值点：（-,-2）极小值点：（,2）无极大值点：（,-2）极小值点：（-,2）无渐近线方程x=0及y=axx=0及y=axx=0及y=axx=0及y=ax递增区间（-,-和,+）无-,0）和（0,（-,0）和（0,+）递减区间（-,0）和（0，）（-,0）和（0,+）（-,-）和（,+）无引申2：函数y=（a0,b0,m、nN,0x）.（1）若abnm，当且仅当sinx=1时，有最小值ymin=+b.（2）若abnm,当且仅当sinx=时，有最小值ymin=（m+n）.证明：（1）y=+（ab+1），因为abn-m0,而1,所以ymin=（ab+1）=+b.取等

20、号的充要条件为sinx=1.（2）y=+（m+n）=（m+n）.3.挖掘应用功能，提高解题能力赛题及引申给出了这类问题的一般图象和性质.引导学生应用这些性质解题，尤其是高考和竞赛题，可以培养灵活解题的能力.例1（1988年全国高考,文6）解不等式lg（x-）0.解：原不等式为0x-1,由函数y=x-的图象（如图3-19），知不等式解集为（-1,x1）（1,x2）（x1,x2为方程x-=1的两个根,即）.图3-19例2（1986年上海市高中数学竞赛）设a1,a、均为实数，求当变化时，函数的最小值.解：令1+sin=t（0,2，则y=t+2+a,a1,a-10.故u=t+（a1,0t2）的图象是位于第一象限的曲线段（如图3-20）.图3-20根据函数的性质，极小值点为（,）.于是当02,即1a时，ymin=+a+2.当2,即a时，函数y在（0,2上是