§2.4隐函数与参数方程的导数

1、1,2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率,隐函数的导数,由参数方程所确定的函数的导数,相关变化率,小结 思考题 作业,2,定义,1. 隐函数的定义,所确定的函数,一、隐函数的导数,称为,隐函数(implicit function).,的形式称为,显函数.,隐函数的,可确定显函数,例,开普勒方程,的隐函数客观存在,但无法将,表达成,的显式,表达式.,显化.,3,2. 隐函数求导法,隐函数求导法则,用复合函数求导法则,并注意到其中,将方程两边对x求导.,变量y是x的函数.,隐函数不易显化或不能显化,？,如何求导,4,例1,解,则得恒等式,代入方程,将此恒等式两边同时对x求导,得

2、,因为y是x的函数,是x的复合函数,所以,求导时要用复合函数求导法,5,虽然隐函数没解出来,但它的导数求出来了,当然结果中仍含有变量y.,允许在 的表达式中含有变量y.,一般来说,隐函数,求导,求隐函数的导数时,只要记住x是自变量,将方程两边同时对x求导,就得到一个含有导数,从中解出即可.,于是y的函数便是x的复合函数,的方程.,y是x的函数,6,例2,解,法一,利用隐函数求导法.,将方程两边对x求导,得,解出,得,法二,从原方程中解出,得,7,先求x对y的导数,得,再利用反函数求导法则,得,8,例3,解,9,10,例4,解,将上面方程两边再对,11,或解,解得,12,证,13,切线方程为,故

3、在两坐标轴上的截距之和为,14,14,解,例,把椭圆方程的两边分别对x求导 得,所求的切线方程为,练习,15,练习,解,确定,16,3. 对数求导法,作为隐函数求导法的一个简单应用, 介绍,(1) 许多因子相乘除、乘方、开方的函数.,对数求导法,它可以利用对数性质使某些函数的,求导变得更为简单.,适用于,方 法,先在方程两边取对数,-对数求导法,然后利用隐函数的,求导法求出导数.,17,例6,解,等式两边取对数得,隐函数,对这类型的题用取对数求导法很方便哦！,18,两边对x求导得,等式两边取对数得,19,对数求导法常用来求一些 复杂的乘除式、根式、幂指函数 等的导数.,20,例7,解,等式两边

4、取对数得,21,例8,解,两边取对数得,两边对 x 求导得,22,复合函数,改写成,如上例,则,只要将,幂指函数也可以利用对数性质化为:,再求导,23,有些显函数用对数求导法很方便.,例如,两边取对数,两边对x求导,24,练习,25,解答,等式两边取对数,26,解答,27,二、由参数方程所确定的函数的导数,如,?,称此为由参数方程所确定的函数.,消参数困难或无法消参数,如何求导.,消去参数,28,所以,单调连续的反函数,由复合函数及反函数的求导法则得,29,星形线是一种圆内摆线,例9,30,解,31,例10,解,所求切线方程为,32,容易漏掉,33,34,如:,求二阶导数不必死套公式,只要理解

5、其含义,这样对求更高阶的导数也容易处理.,35,例11,解,36,例12.,证,37,38,四、小结,隐函数求导法则,工具:复合函数链导法则;,对数求导法,对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导.,参数方程求导,注意:变量y是x的函数.,将方程两边对x求导.,工具:复合函数链导法则、反函数的求导法则.,39,思考与练习,求其反函数的导数 .,1. 设,由方程,确定 ,求,2. 设,3.,4.,已知 ，求,40,思考与练习,求其反函数的导数 .,解:,方法1,方法2,等式两边同时对 求导,1. 设,41,由方程,确定 ,解:,方程两边对 x 求导,得,再求导, 得,当,时,故由 得,再代入 得,求,2.设,42,运用取对数求导法,两边关于 x 求导：,解,3.,43,整理得,44,4. 已知 ，求,解：,45,46,6、,6,47,练习 设,求,提示: 分别用对数微分法求,答案:,49,作业,习题2-4 (110页),1.(2)(3) 2. 3.(1)(3) 4.(1) (3) 5.(2) 6. 7.(2) 8. (3) (4) 9.（2）,50,