2.4.2抛物线的简单几何性质第一课时

1、2.4.2抛物线的简单几何性质,（第一课时）,一、温故知新,(一) 抛物线的定义,平面内，到定点F的距离与到定直线l l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹,(二) 抛物线的标准方程,(1)开口向右,y2 = 2px (p0),(2)开口向左,y2 = -2px (p0),(3)开口向上,x2 = 2py (p0),(4)开口向下,x2 = -2py (p0),y2 = 2px （p0）,x2 = -2py （p0）,y2 = mx,左右开口型,x2 = ny,上下开口型,y2 = -2px （p0）,x2 = 2py （p0）,2、方程的四种形式及方程系数与曲线要素的对应关系,由抛物线y2

2、=2px（p0）,所以抛物线的范围为,二、探索新知,如何研究抛物线y2 =2px（p0）的几何性质?,即点(x,-y) 也在抛物线上,故 抛物线y2 = 2px(p0)关于x轴对称.,则 (-y)2 = 2px,若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px，,定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点。,y2 = 2px (p0)中， 令y=0,则x=0.,即：抛物线y2 = 2px (p0)的顶点（0，0）.,抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率。,由定义知， 抛物线y2 = 2px (p0)的离心率为e=1.,y2 = 2px （p0）,y2 = -2px

3、 （p0）,x2 = 2py （p0）,x2 = -2py （p0）,x0 yR,x0 yR,y0 xR,y 0 xR,(0,0),x轴,y轴,1,F,A,B,y2=2px,2p,过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径，,利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图.,|AB|=2p,2p越大，抛物线张口越大.,拓展,连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。,|PF|=x0+p/2,焦半径公式：,F,若是开口向上或向下 焦半径公式又如何?,通过焦点的直线，与抛物 线相交于两点，连接这两点的 线段叫做抛物线的焦点弦。,F,A,焦点弦公式：,B,归纳: (

4、1)、抛物线只位于半个坐标平面内,它可以无限延伸,但它没有渐近线; (2)、抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; (3)、抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线； (4)、抛物线的离心率e是确定的为, 、抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张口越大. (6)、抛物线的焦半径为 (7)、抛物线的焦点弦为,|PF|=x0+p/2,三、典例精析,例：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（，），求它的标准方程.,解:,因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（，），,所以设方程为：,因此所求抛物线标准方程为：,当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m 0) (x2=2my (m0),可避免讨论,例2、斜率为1的直线 经过抛物线 的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长。,继续,与直线的倾斜角无关! 很奇怪!,解完后回味一下,这是一个很好的解题习惯,利于提高!,法1：,法2：,返回,法3：,这一结论非常奇妙,变中有不变,动中有不动.,思考：通径是抛物线的 焦点弦中最短的弦吗？,1.