圆锥曲线综合测试题(含详细答案)

1、圆锥曲线测试卷圆锥曲线测试卷 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1抛物线 y x2的准线方程为() 1 4 AxBx1 1 16 Cy1 Dy2 解析：抛物线的标准方程为 x24y， 准线方程为 y1. 答案：C 2以1 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为() x2 4 y2 12 A.1B.1 x2 16 y2 12 x2 12 y2 16 C.1 D.1 x2 16 y2 4 x2 4 y2 16 解析：双曲线1 的焦点坐标为(0，4)，顶点坐标为(0，2)， x2 4 y2 123 故所求椭圆的焦点在

2、y 轴上，a4，c2， 3 b24，所求方程为1，故选 D. x2 4 y2 16 答案：D 3设 P 是椭圆1 上一点，F1、F2是椭圆的焦点，若|PF1|等于 4，则|PF2|等 x2 169 y2 144 于() A22 B21 C20 D13 解析：由椭圆的定义知，|PF1|PF2|26， 又|PF1|4，|PF2|26422. 答案：A 4双曲线方程为 x22y21，则它的右焦点坐标为() A. B. ( 2 2 ，0) ( 5 2 ，0) C. D(，0) ( 6 2 ，0) 3 解析：将双曲线方程化为标准方程为 x21， y2 1 2 a21，b2 ，c2a2b2 ， 1 2 3

3、 2 c， 6 2 故右焦点坐标为. ( 6 2 ，0) 答案：C 5若抛物线 x22py 的焦点与椭圆1 的下焦点重合，则 p 的值为() x2 3 y2 4 A4 B2 C4 D2 解析：椭圆1 的下焦点为(0，1)， x2 3 y2 4 1，即 p2. p 2 答案：D 6若 kR，则 k3 是方程1 表示双曲线的() x2 k3 y2 k3 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 解析：方程1 表示双曲线的条件是(k3)(k3)0， x2 k3 y2 k3 即 k3 或 k3 是方程1 x2 k3 y2 k3 表示双曲线的充分不必要条件故选 A. 答案：

4、A 7已知 F1、F2是椭圆的两个焦点，满足0 的点 M 总在椭圆内部，则椭圆 MF1 MF2 离心率的取值范围是() A(0,1) B.( 0，1 2 C. D. (0， 2 2) 2 2 ，1) 解析：由0 可知点 M 在以线段 F1F2为直径的圆上，要使点 M 总在椭圆 MF1 MF2 内部，只需 cb， 即 c2b2，c2a2c2,2c2a2， 故离心率 e . c a 2 2 因为 0e1，所以 0e1) Bx21(x0) Dx21(x1) y2 8 y2 10 解析：设圆与直线 PM、PN 分别相切于 E、F， 则|PE|PF|，|ME|MB|，|NB|NF|. |PM|PN|PE

5、|ME|(|PF|NF|) |MB|NB|4221) y2 8 答案：A 11.（2009 全国卷理）已知椭圆 2 2 :1 2 x Cy的右焦点为F,右准线为l，点Al，线 段AF交C于点B，若3FAFB ,则|AF = (A). 2 (B). 2 (C).3 (D). 3 解:过点 B 作BMl于 M,并设右准线l与 X 轴的交点为 N，易知 FN=1.由题意3FAFB , 故 2 | 3 BM .又由椭圆的第二定义,得 2 22 | 233 BF |2AF.故选 A 12.(2009 山东卷理)设双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的一条渐近线与抛物线 y=x 2 +1 只有一个公

6、共点， 则双曲线的离心率为( ). A. 4 5 B. 5 C. 2 5 D.5 【解析】:双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的一条渐近线为x a b y ,由方程组 2 1 b yx a yx ,消去 y,得 2 10 b xx a 有唯一解,所以= 2 ( )40 b a , 所以2 b a , 22 2 1 ( )5 cabb e aaa ,故选 D. 答案:D. 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把正确答案填在题中横线上) 11若双曲线的渐近线方程为 y x，它的一个焦点是(，0)，则双曲线的标准方 1 310 程是_ 解析：由双曲线的渐近线方程为

7、y x，知 ， 1 3 b a 1 3 它的一个焦点是(，0)，知 a2b210， 10 因此 a3，b1，故双曲线的方程是y21. x2 9 答案：y21 x2 9 12若过椭圆1 内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是 x2 16 y2 4 _ 解析：设直线方程为 y1k(x2)， 与双曲线方程联立得(14k2)x2(16k28k)x16k216k120， 设交点 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1x24，解得 k ， 16k28k 14k2 1 2 所以直线方程为 x2y40. 答案：x2y40 13.如图，F1，F2分别为椭圆1 的左、右焦点，点 P x2

8、a2 y2 b2 在椭圆上，POF2是面积为的正三角形，则 b2的值是 3 _ 解析：POF2是面积为的正三角形， 3 c2sin 60， 1 23 c24， P(1，)， 3 Error!解之得 b22. 3 答案：2 3 14已知抛物线 y24x，过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 则 y y 的最小值是_ 2 12 2 解析：显然 x1，x20，又 y y 4(x1x2)8， 2 12 2x1x2 当且仅当 x1x24 时取等号，所以最小值为 32. 答案：32 三、解答题(本大题共 4 小题，共 50 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程

9、或 演算步骤) 17 （10 分）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在 x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)； (2)焦点在 y 轴上，与 y 轴的一个交点为 P(0，10)，P 到它较近的一个焦点的距离等 于 2. 解析：(1)因为椭圆的焦点在 x 轴上， 所以可设它的标准方程为1(ab0)， x2 a2 y2 b2 椭圆经过点(2,0)和(0,1) Error!，Error!， 故所求椭圆的标准方程为y21. x2 4 (2)椭圆的焦点在 y 轴上，所以可设它的标准方程为 1(ab0)， y2 a2 x2 b2 P(0，10)在椭圆上，a10. 又P 到它较近的一个焦点的距

10、离等于 2， c(10)2，故 c8，b2a2c236. 所求椭圆的标准方程是1. y2 100 x2 36 18(12 分)已知双曲线与椭圆1 共焦点，它们的离心率之和为，求双曲线方 x2 9 y2 25 14 5 程 解析：由椭圆方程可得椭圆的焦点为 F(0，4)， 离心率 e ， 4 5 所以双曲线的焦点为 F(0，4)，离心率为 2， 从而 c4，a2，b2. 3 所以双曲线方程为1. y2 4 x2 12 19(12 分)设椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率 e.已知点 P 到这 3 2 (0， 3 2) 个椭圆上的点的最远距离为，求这个椭圆的方程 7 解析：设椭圆方程为1(

11、ab0)，M(x，y)为椭圆上的点，由 得 a2b. x2 a2 y2 b2 c a 3 2 |PM|2x2 2324b23(byb)， (y 3 2) (y 1 2) 若 b ，故舍去 7 3 2 1 2 若 b 时，则当 y 时，|PM|2最大，即 4b237， 1 2 1 2 解得 b21. 所求方程为y21. x2 4 20(12 分)已知椭圆的长轴长为 2a，焦点是 F1(，0)、F2(，0)，点 F1到直线 33 x的距离为，过点 F2且倾斜角为锐角的直线 l 与椭圆交于 A、B 两点，使得 a2 3 3 3 |F2B|3|F2A|. (1)求椭圆的方程； (2)求直线 l 的方程

12、 解析：(1)F1到直线 x的距离为， a2 3 3 3 . 3 a2 3 3 3 a24. 而 c， 3 b2a2c21. 椭圆的焦点在 x 轴上， 所求椭圆的方程为y21. x2 4 (2)设 A(x1，y1)、B(x2，y2) |F2B|3|F2A|， Error!Error! A、B 在椭圆y21 上， x2 4 Error! Error! l 的斜率为. 2 3 30 10 3 3 32 l 的方程为 y(x)， 23 即xy0. 26 21(12 分)已知直线 l 经过抛物线 y24x 的焦点 F，且与抛物线相交于 A、B 两点 (1)若|AF|4，求点 A 的坐标； (2)求线段

13、 AB 的长的最小值 解析：由 y24x，得 p2， 其准线方程为 x1，焦点 F(1,0) 设 A(x1，y1)，B(x2，y2) (1)由抛物线的定义可知 |AF|x1 ，从而 x1413. p 2 代入 y24x，解得 y12. 3 点 A 的坐标为(3,2)或(3，2) 33 (2)当直线 l 的斜率存在时， 设直线 l 的方程为 yk(x1) 与抛物线方程联立，得Error!， 消去 y，整理得 k2x2(2k24)xk20， 因为直线与抛物线相交于 A、B 两点， 则 k0，并设其两根为 x1，x2， 则 x1x22. 4 k2 由抛物线的定义可知， |AB|x1x2p44， 4

14、k2 当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x1，与抛物线交于 A(1,2)，B(1，2)， 此时|AB|4. 所以|AB|4，即线段 AB 的长的最小值为 4. 22(12 分)如图，椭圆 C1：1(ab0)的离心率为，x 轴被曲线 x2 a2 y2 b2 3 2 C2：yx2b 截得的线段长等于 C1的长半轴长 (1)求 C1，C2的方程 (2)设 C2与 y 轴的交点为 M，过坐标原点 O 的直线 l 与 C2相 交于点 A，B，直线 MA，MB 分别与 C1相交于点 D，E. 证明：MDME. 解析：由题意知 e ，从而 a2b. c a 3 2 又 2a，所以 a2，b1. b 故 C1，C2的方程分别为y21，