高中数学 第二章 平面向量 2.3.2 向量数量积的运算律学案 新人教B版必修

1、2.3.2向量数量积的运算律 学习目标1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明知识链接1向量数乘的运算律有哪些？答(1)(a)()a.(2)()aaa.(3)(ab)ab.特别地，有()a(a)(a)；(ab)ab.2向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数、1、2，恒有(1a2b)1a2b. 预习导引1向量的数量积(内积)|a|b|cosa，b叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作ab.即ab|a|b|cosa，b2向量数量积的性质设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量(1)aeea|

2、a|cosa，b；(2)abab0且ab0ab；(3)aa|a|2或|a|；(4)cosa，b；(5)|ab|a|b|.3向量数量积的运算律(1)abba(交换律)；(2)(a)b(ab)a(b)(结合律)；(3)(ab)cacbc(分配律).要点一向量数量积运算律的有关概念例1给出下列结论：若a0，ab0，则b0；若abbc，则ac；(ab)ca(bc)；ab(ac)c(ab)0.其中正确结论的序号是_答案解析因为两个非零向量a、b垂直时，ab0，故不正确；当a0，bc时，abbc0，但不能得出ac，故不正确；向量(ab)c与c共线，a(bc)与a共线，故不正确；ab(ac)c(ab)(ab

3、)(ac)(ac)(ab)0，故正确规律方法向量的数量积ab与实数a、b的乘积ab有联系，同时有许多不同之处例如，由ab0并不能得出a0或b0.特别是向量的数量积不满足结合律，即一般情况下(ab)ca(bc)跟踪演练1设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论：acbc(ab)c；(bc)a(ca)b不与c垂直；|a|b|ab|；(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2.其中正确的序号是_答案解析根据向量数量积的分配律知正确；(bc)a(ca)bc(bc)(ac)(ca)(bc)0，(bc)a(ca)b与c垂直，错误；a，b不共线，|a|、|b|、|ab|组成三角形三边，

4、|a|b|0且a与b不同向共线；ab夹角为钝角的等价条件是ab0，k0.但当k1时，e1ke2ke1e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去综上，k的取值范围为k|k0且k1.1下面给出的关系式中正确的个数是()0a0；abba；a2|a|2；|ab|ab；(ab)2a2b2.A1 B2 C3 D4答案C解析正确，错误，错误，(ab)2(|a|b|cos )2a2b2cos2 a2b2，选C.2设向量a，b满足|ab|，|ab|，则ab等于()A1 B2 C3 D5答案A解析|ab|2(ab)2a22abb210，|ab|2(ab)2a22abb26，将上面两式左右两边分别相减，得4ab4，ab

5、1.3若非零向量a，b满足|a|b|，(2ab)b0，则a与b的夹角为()A30 B60 C120 D150答案C解析由(2ab)b0，得2abb20，设a与b的夹角为，2|a|b|cos |b|20.cos ，120.4已知a，b，c为单位向量，且满足3ab7c0，a与b的夹角为，则实数_.答案8或5解析由3ab7c0，可得7c(3ab)，即49c29a22b26ab，而a，b，c为单位向量，则a2b2c21，则49926cos，即23400，解得8或5.1.向量的数量积对结合律一般不成立，因为(ab)c|a|b|cosa，bc是一个与c共线的向量，而a(bc)a(|b|c|cosb，c|b

6、|c|cosb，ca是一个与a共线的向量，两者一般不同2在实数中，若ab0则a0或b0，但是在数量积中，即使ab0，也不能推出a0或b0，因为其中cos 有可能为0.3在实数中，若abbc，b0则ac，在向量中abbc，b0/ac.一、基础达标1设为两个非零向量a，b的夹角，已知对任意实数t，|bta|的最小值为1.()A若确定，则|a|唯一确定B若确定，则|b|唯一确定C若|a|确定，则唯一确定D若|b|确定，则唯一确定答案B解析|bta|2b22abtt2a2|a|2t22|a|b|cos t|b|2.因为|bta|min1，所以|b|2(1cos2)1.所以|b|2sin21，所以|b|

7、sin 1，即|b|.即确定，|b|唯一确定2已知向量a，b，其中|a|，|b|2，且(ab)a，则向量a和b的夹角是()A. B. C. D答案A解析由题意知(ab)aa2ab2ab0，ab2，设a与b的夹角为，则cos ，.3已知向量a，b的夹角为120，|a|1，|b|5，则|3ab|等于()A7 B6 C5 D4答案A解析|3ab| 7.故选A.4在边长为1的等边ABC中，设a，b，c，则abbcca等于()A B0 C. D3答案A解析ab|cos 60.同理bc，ca，abbcca.5若非零向量a，b满足|a|3|b|a2b|，则a与b夹角的余弦值为_答案解析|a|3|b|a2b|

8、，|a|29|b|2(a2b)2|a|24|b|24ab，ab|b|2，cosab.6已知ab2i8j，ab8i16j，i，j为相互垂直的单位向量，那么ab_.答案637已知非零向量a，b，满足|a|1，(ab)(ab)，且ab.(1)求向量a，b的夹角；(2)求|ab|.解(1)(ab)(ab)，a2b2，即|a|2|b|2；又|a|1，|b|.ab，|a|b|cos ，cos ，向量a，b的夹角为45.(2)|ab|2(ab)2|a|22|a|b|cos |b|2，|ab|.二、能力提升8设a，b为非零向量，|b|2|a|，两组向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2个a和

9、2个b排列而成若x1y1x2y2x3y3x4y4所有可能取值中的最小值为4|a|2，则a与b的夹角为()A. B. C. D0答案B解析设a与b的夹角为，由于xi，yi(i1,2,3,4)均由2个a和2个b排列而成，记S(xiyi)，则S有以下三种情况：S2a22b2；S4ab；S|a|22ab|b|2.|b|2|a|，中S10|a|2，中S8|a|2cos ，中S5|a|24|a|2cos .易知最小，即8|a|2cos 4|a|2，cos ，可求，故选B.9在平行四边形ABCD中，AD1，BAD60，E为CD的中点若1，则AB的长为_答案解析因为E为CD的中点，所以.，因为1，所以()22

10、1，即12|cos 601，所以2|0，解得|.10已知向量与的夹角为120，且|3，|2，若，且，则实数的值为_答案解析向量与的夹角为120，且|3，|2，所以|cos 120323.由得，0，即()()0，所以22(1)0，即493(1)0，解得.11设n和m是两个单位向量，其夹角是，求向量a2mn与b2n3m的夹角解|n|m|1且m与n夹角是，mn|m|n|cos 11.|a|2mn| ，|b|2n3m| ，ab(2mn)(2n3m)mn6m22n26121.设a与b的夹角为，则cos .又0，故a与b的夹角为.12已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120.(1)求证：(ab)c；(2)若|kabc|1(kR)，求k的取值范围(1)证明因为|a|b|c|1，且a、b、c之间的夹角均为120，所以(ab)cacbc|a|c|cos 120|b|c|cos 1200，所以(ab)c.(2)解因为|kabc|1，所以(kabc)21，即k2a2b2c