人教A数学选修21同课异构教学课件311空间向量及其加减运算精讲优练课型

1、第三章空间向量与立体几何 3.1空间向量及其运算 3.1.1空间向量及其加减运算,【自主预习】 1.空间向量 (1)定义：在空间中，具有_和_的量叫做空间向量. (2)长度或模：向量的_.,大小,方向,大小,(3)表示方法： 几何表示法：空间向量用_表示; 字母表示法：用字母a，b，c，表示；若向量a的 起点是A，终点是B，也可记作：_，其模记为_或 _.,有向线段,|a|,2.几类常见的空间向量,任意,0,0,1,相反,-a,相等,3.空间向量的加减法和运算律 (1)加法： =_=a+b. (2)减法： =_=a-b. (3)加法运算律： 交换律:a+b=_； 结合律:(a+b)+c=_.,

2、b+a,a+(b+c),【即时小测】 1.给出下列命题:零向量没有方向;若两个空间向量,它们的起点相同,终点也相同,则这两个向量相等;若空间向量a,b满足a=-b，则|a|=|b|;若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p;空间中任意两个单位向量必相等.其中正确命题的个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1,【解析】选B.零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故错； 当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，故正确； 根据相反向量的定义知正确； 命题显然正确；,对于命题，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故错.,2.空间两个向量a，

3、b互为相反向量，已知|b|=3.则下列结论中不正确的是() A.a=-b B.a+b=0 C.a与b方向相反 D.|a|=3 【解析】选B.因为a与b互为相反向量，且|b|=3，故A，C，D都正确.由空间向量加法法则知a+b=0，而非a+b=0，故B不正确.,3.已知ABCD为空间四边形，则 _. 【解析】根据空间向量加法的三角形法则知 答案：,【知识探究】 探究点1 空间向量有关概念 1.空间向量与平面向量有什么区别？ 提示：空间向量可在空间中平行移动，而平面向量只能在平面中平行移动.,2.如何理解零向量的长度、方向？ 提示：零向量的长度为0，方向任意.,【归纳总结】 理解空间向量概念时的两

4、个关注点 (1)两向量的关系：空间向量是具有大小与方向的量，两个向量之间只有等与不等之分而无大小之分. (2)有向线段与向量：向量可用有向线段来表示，但是有向线段不是向量,它只是向量的一种表示方法.,(1)向量的相等：同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量. (2)向量的平移：空间中任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为同一个平面内的两个向量.,探究点2空间向量的加减法 1.空间向量的加、减法法则与平面向量加、减法法则相同吗？ 提示：相同.即平行四边形法则和三角形法则. 2.对于两个共线向量，如何进行加减运算？ 提示：共线向量只能利用加减法的三角形法则，而不能用加法的平行四边形法则.,【

5、归纳总结】 1.空间向量加法运算的三角形法则,2.空间向量加法运算的平行四边形法则,3.空间向量减法运算的三角形法则,【拓展延伸】特殊位置关系的加减法 (1)共线向量：共线向量相加时不能利用平行四边形法则，可利用三角形法则. (2)共终点向量：共终点的向量相加减，可通过平移两向量使两向量共起点再选择合适的运算法则进行加减运算.,(3)常用关系与常用数据： 在ABC中, 以a,b为邻边的平行四边形中，ab表示平行四边形的对角线; 0+a=a. 易错警示：向量的加减运算的结果仍是一个向量.,类型一 空间向量的概念及其简单应用 【典例】1.给出下列四个命题：零向量的方向是任 意的；在正方体ABCD-

6、A1B1C1D1中， 若向 量a与向量b的模相等，则a,b的方向相同或相反；在 四边形ABCD中，必有 其中正确命题的序 号为_.,2.如图所示的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，给定的下列各对向量： 其中是相反向量的有_对.,3.如图所示，在以长、宽、高分别为AB=3，AD=2，AA1=1的长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中， (1)单位向量共有多少个？ (2)试写出模为 的所有向量.,【解题探究】1.典例1中，零向量的方向是怎样定义 的？两个空间向量相等，必须满足什么条件？向量 反映 什么关系？,提示：根据空间向量的有关概念知，零向量的方向是 任意

7、的；两个向量相等，当且仅当它们长度相等且方 向相同；若 则 是以 为邻边 的平行四边形的一条对角线，此时ABCD必须是平行四 边形.,2.典例2中，相反向量有什么特点？ 提示：模相等、方向相反.,3.典例3中，什么样的向量是单位向量？长方体ABCD-A1B1C1D1中以它的八个顶点中的两个为端点的线段包括哪几类？ 提示：长度为单位1的向量都是单位向量；以长方体ABCD-A1B1C1D1八个顶点中的两个顶点为端点的线段包括棱、面对角线和体对角线三类.,【解析】1.根据空间向量的有关概念，零向量的长度 为0，方向是任意的，故正确；在正方体ABCD- A1B1C1D1中，向量 长度相等，方向相同，故

8、 正确；|a|=|b|，不能确定它们的方向， 故错误；只有ABCD是平行四边形时，才有 在一般四边形中， 故错误. 答案：,2.根据相反向量的定义知两对是相反向量. 答案：2,3.(1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的 这8个向量都是单位向 量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个 (2)由于这个长方体的左、右两侧的对角线长均为 故模为 的向量有 共8个,【方法技巧】解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点 (1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向. (2)注意点：注意一些特殊向量的特性. 零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的.,单位向量方向虽然不一定相同，但它

9、们的长度都是1. 两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同.若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量.,【变式训练】给出下列命题：两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；若空间向量a，b满足|a|=|b|，则a=b；空间中任意两个单位向量必相等.其中正确的个数为() A.3 B.2 C.1 D.0,【解析】选D.由于向量可以平移，虽然两个空间向量相等，但是起点和终点不一定相同，故不正确；空间两个向量a，b只有|a|=|b|，其方向不一定相同，故不能推出a=b，故不正确；空间中的任意两个单位向量，长度一定相等，但方向不确定，它们不一定是相等

10、向量，故不正确.,类型二 空间向量的加法、减法运算 【典例】1.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下 列各式中运算结果为向量 的有( ),A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，写出下列各式运算的 结果： (1) _. (2) _. 3.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，用 表示 向量,【解题探究】1.典例1中的四个式子，如何得到 ？ 提示：将每个式子根据向量运算的三角形法则或平行 四边形法则向 转化. 2.典例2中如何运算？ 提示：结合向量加法、减法的几何意义. 3.典例3中，如何用向量 表示向量 ？ 提示：结合向量加法、减法法

11、则.,【解析】1.选D.根据空间向量加法法则及正方体的性质有 所以所给四个式子的运算结果都是,2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中， (1) (2) 答案：(1) (2) 3.因为四边形AA1D1D是平行四边形， 所以 所以,【延伸探究】 1.典例3中条件不变，用 表示 【解析】,2.典例3中条件不变，用 表示 【解析】,【方法技巧】空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接.,(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.,特别提醒：(1)向量减法是加法的逆运算，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量. (2)首尾相连的若干向量构成封闭图形时，它们的和向量为零向量.,【补偿训练】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中， 下列各式中运算结果为向量 的是( ) A.(1)(2) B.(2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4),【解题指南】应用空间向量的加、减法则对四个式子 进行运算. 【解析】选A.(1) (2),(3) (4) 因此，(1)(2)两式运算结果是向量 而(3)(4)两式