2015年杭州中考解决方案―相似三角形教师版

1、相似三角形中考一轮复习自检自查必考点一、与平行线有关的相似利用平行线构造的相似主要有两个基本的模型，即：“A”字型和“8”字型。当比例线段重叠于一线时，都可以从这两个方面入手解题。二、与角分线有关的相似角平分线类的相似模型如下：方法点拨：角平分线类得相似问题基本就这样的两种模型，辅助线的做法也如图中虚线所示，学生在学这部分知识时，不管是平时测验和期中、期末考试，只要涉及到角平分线和证明相似问题就可以试着做这样的辅助线，基本都可以解决三、与射影定理有关的相似射影定理常见及扩展模型：图1有： 图2有：四、内接矩形与相似三角形内接矩形类的模型及结论：其中，在平时训练中遇到内接矩形类的图形，就要充分利

2、用这一结论，有助于进行解题五、一线三等角模型与相似一线三等角模型是以等腰三角形（等腰梯形）或等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别于等腰三角形的两边相交，如下图所示：例题精讲板块一：比例的性质【例1】 若2a=3b=4c，且abc0，则的值是（）A2B2C3D3解答：解：设2a=3b=4c=12k（k0），则a=6k，b=4k，c=3k，所以，=2故选：B【例2】 若x：y=1：3，2y=3z，则的值是（）A5BCD5解答：解：x：y=1：3，设x=k，y=3k，2y=3z，z=2k，=5故选：A【例3】 已知，则k的值是2或1解答：解：a+b+c0

3、时，k=2a+b+c=0时，a+b=ck=1故答案为：2或1【例4】 已知，求的值解答：解：设=k，则x=3k，y=4k，z=6k，=板块二：平行分线段成比例【例5】 如图，AB是O的直径，l1，l2是O的两条切线，且l1ABl2，若P是PA、PB上一点，直线PA、PB交l2于点C、D，设O的面积为S1，PCD的面积为S2，则=（）ABCD解答：解：设圆的半径是a，则S1=a2，AB=2a，根据ABCD，则=，因而CD=2AB=4a，CD边上的高等于圆的直径，因而PCD的面积为S2=CD2a=4a2，因而=故选C【例6】 在ABC中，AD：BD=1：1，AE：CE=1：2，BE与CD交于点P，

4、则BP：PE=（）A2：1B1：2C2：3D3：2解答：解：过B作BMDC交AC的延长线于M，DCBM，=，AD：BD=1：1，AC=CM，AE：CE=1：2，=，DCBM，=，故选D【例7】 ABC中，D、E分别为BC、AC边上的动点，BD=mCD，AE=nEC，AD与BE相交于点O（1）如图1，当m=2，n=1时，=，=；（2）当m=1.5时，求证：；（3）如图2，若CO的延长线交AGB于点F，当m、n之间满足关系式n=2m时，AF=2BF（直接填写结果，不要求证明）解答：（1）解：过点E作EFBC，交AD于F，AE=EC，BD=2CD，=4，设SOEF=x，则SAEF=5x，SABC=2

5、0x，SAOE=6x，S四边形CDOE=14x，；（2）证明：如图，过点D作DFAC交BE于点F，=，=，BD=mCD，AE=nEC，FD=CE=CE，=，m=1.5，=，即=；（3）解：过点D作DHAB交FC于点H，与（2）同理可得，=，=，BD=mCD，DH=BF=BF，=（m+1），=，AE=nEC，=，当AF=2BF时，=2，解得n=2m故答案为：（1），；（3）n=2m板块二：相似三角形与面积【例8】 如图，已知P是线段AB的黄金分割点，且PAPB，若S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，则S1=S2（填“”“=”或“”）解答：解：P是线段AB的黄

6、金分割点，且PAPB，PA2=PBAB，又S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，S1=PA2，S2=PBAB，S1=S2故答案为=【例9】 如图，ABC顶角是36的等腰三角形（底与腰的比为的三角形是黄金三角形），若ABC、BDC、DEC都是黄金三角形，已知AB=4，则DE=62解答：解：根据题意可知，BC=AB，ABC顶角是36的等腰三角形，AB=AC，ABC=C=72，又BDC也是黄金三角形，CBD=36，BC=BD，ABD=ABCCBD=36=A，BD=AD，同理可证DE=DC，DE=DC=ACAD=ABBC=ABAB=62故答案为：62【例10】 已知

7、ABCABC且SABC：SABC=1：2，则AB：AB=1：解答：解：ABCABC，SABC：SABC=AB2：AB2=1：2，AB：AB=1：【例11】 如图是一个边长为1的正方形组成的网络，ABC与A1B1C1都是格点三角形（顶点在网格交点处），并且ABCA1B1C1，则ABC与A1B1C1的相似比是解答：解：由图可知AC=，A1C1=1，ABC与A1B1C1的相似比是：1【例12】 如图，点A1，A2，A3，A4在射线OA上，点B1，B2，B3在射线OB上，且A1B1A2B2A3B3，A2B1A3B2A4B3若A2B1B2，A3B2B3的面积分别为1，9，则图中三个阴影三角形面积之和为3

8、0解答：解：A2B1B2，A3B2B3的面积分别为1，9，又A2B2A3B3，A2B1A3B2，OB2A2=OB3A3，A2B1B2=A3B2B3，B1B2A2B2B3A3，=，=，A3B2B3的面积是9，A2B2A3的面积为=SA3B2B3=9=3（等高的三角形的面积的比等于底边的比）同理可得：A3B3A4=3SA3B2B3=39=27；A1B1A2的面积=SA2B1B2=1=故三个阴影面积之和=+3+27=30故答案为：30【例13】 如图，在等边ABC中，D、E、F分别是BC，AC，AB上的点，且DEAC，EFAB，FDBC，则DEF与ABC的面积之比等于（）A1：3B2：3C：2D：3

9、解答：解：DEAC，EFAB，FDBC，C+EDC=90，FDE+EDC=90，C=FDE，同理可得：B=DFE，A=DEF，DEFCAB，DEF与ABC的面积之比=（）2，又ABC为正三角形，B=C=A=60，EFD是等边三角形，EF=DE=DF，又DEAC，EFAB，FDBC，AEFCDEBFD，BF=AE=CD，AF=BD=EC，在RtDEC中，DE=DCsinC=DC，EC=cosCDC=DC，又DC+BD=BC=AC=DC，=，DEF与ABC的面积之比等于：（）2=1：3故选：A【例14】 如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃已知自由飞翔的

10、小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）ABCD解答：解：设正方形的ABCD的边长为a，则BF=BC=，AN=NM=MC=a，阴影部分的面积为（）2+（a）2=a2，小鸟在花圃上的概率为=故选C【例15】 如图，点M是ABC内一点，过点M分别作直线平行于ABC的各边，所形成的三个小三角形1、2、3（图中阴影部分）的面积分别是4、9和49，则ABC面积是（）A144B132C62D186解答：解：过M作BC的平行线交AB、AC于D、E，过M作AC的平行线交AB、BC于F、H，过M作AB的平行线交AC、BC于I、G，因为1、2、3的面积比为4：9：49，所以他们对应边边长的比为2：

11、3：7，又因为四边形BDMG与四边形CEMH为平行四边形，所以DM=BG，EM=CH，设DM为2x，则ME=3x，GH=7x，所以BC=BG+GH+CH=DM+GH+ME=2x+3x+7x=12x，所以BC：DM=12x：2x=6：1，由面积比等于相似比的平方故可得出：SABC：SFDM=36：1，所以SABC=36SFDM=364=144故选A【例16】 如图，RtABC中，B=Rt，点D在边AB上，过点D作DGAC交BC于点G，分别过点D，G作DEBC，FGAB，DE与FG交于点O当阴影面积等于梯形ADOF的面积时，则阴影面积与ABC的面积之比为解答：解：设ODG的面积为S，作FHAD于H

12、，连结GE，如图，DGAC，FGAB，四边形ADGF为平行四边形，HF=OD，DG=AF，RtDOGRtFHA，SAHF=S，阴影面积等于梯形ADOF的面积，矩形HDOF的面积=OFE的面积，OFOD=OFOE，OE=2OD，RtOEFRtODG，=（）2=4，SOEF=4S，OE=2OD，SOGE=2SODG=2S，DEGC，四边形DGCE为平行四边形，SGEC=SGED=2S+S=3S，而SBDG=SODG=S，SABC=S四边形ADOF+S阴影部分+SBDG+SOGCE=5S+5S+S+5S=16S，阴影面积与ABC的面积之比=故答案为【例17】 如图，在直角三角形ABC中（C=90），

13、放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为（）A5B6C7D12解答：解：在RtABC中（C=90），放置边长分别3，4，x的三个正方形，CEFOMEPFN，OE：PN=OM：PF，EF=x，MO=3，PN=4，OE=x3，PF=x4，（x3）：4=3：（x4），（x3）（x4）=12，即x24x3x+12=12，x=0（不符合题意，舍去），x=7故选C【例18】 如图，ABC的面积是63，D是BC上的一点，且BD：CD=2：1，DEAC交AB于E，延长DE到F，使FE：ED=2：1，则CDF的面积是42解答：方法一：解：连接CE，因为BD：CD=2：1，所以BDE和CDE的面积之比为2

14、：1，又因为DEAC，=，SBDE：SABC=4：9，又因为ABC的面积是63，BDE的面积为：28，所以CDE的面积为14，因为FE：ED=2：1，所以FDC和CDE的面积之比为3：1故答案为：42方法二：解：作MWBC，ANBC，垂足分别为W，NBD：CD=2：1，DEAC，BE：AE=2：1，BD：BC=DE：AC=BE：AB=2：3，SBDE：SABC=4：9，SBDE=63=28，FE：ED=2：1=4：2，EF：AC=4：3，SMEF：SAMC=16：9，EM：AM=4：3，假设EM=4x，AM=3x，BE=AB=2AE=2（EM+AM）=14x，BM：AM=18x：3x=18：3

15、，MW：AN=BM：AB=18：21=6：7，SBMC：SABC=BCWM：BCAN=WM：AN=6：7，SABC=63，SBMC=54，SAMC=6354=9，SMEF：SAMC=16：9，SMEF=16，SBDE=63=28，S四边形MEDC=63928=26，CDF的面积是：26+16=42故答案为：42板块四：相似三角形的性质和判定【例19】 如图，ABC中，点D在线段BC上，且ABCDBA，则下列结论一定正确的是（）AAB2=BCBDBAB2=ACBDCABAD=BDBCDABAD=ADCD解答：解：ABCDBA，；AB2=BCBD，ABAD=BDAC；故选A【例20】 如图，梯形A

16、BCD中，ADBC，B=ACD=90，AB=2，DC=3，则ABC与DCA的面积比为（）A2：3B2：5C4：9D：解答：解：ADBC，ACB=DAC又B=ACD=90，CBAACD=，AB=2，DC=3，=，=，=ABC与DCA的面积比为4：9故选：C【例21】 已知ABC中，C=90，tanA=，D是AC上一点，CBD=A，则sinABD=（）ABCD解答：解：作DEAB于点ECBD=A，tanA=tanCBD=，设CD=1，则BC=2，AC=4，AD=ACCD=3，在直角ABC中，AB=2，在直角ADE中，设DE=x，则AE=2x，AE2+DE2=AD2，x2+（2x）2=9，解得：x=

17、，则DE=，AE=BE=ABAE=2=，tanDBA=，sinDBA=故选：A【例22】 如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，DF=3CF，下面得出六个结论中：ABEAEF；ABEECF；ADFABE；AEFECF；AEFADF；ECFADF，其中正确的个数是（）A2个B3个C4个D5个解答：解：四边形ABCD是正方形，AB=BC=CD=DA，A=B=C=D=90E是BC的中点，DF=3CF，ABEECF，ADF和ABE不相似，ECF和ADF不相似故正确，错误，错误ABEECF，CEF=BAE，CEF+AEB=BAE+AEB=90，ABEAEFCEF，AEF和ADF不相似故正确，错误故选B

18、【例23】 如图，已知在RtOAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y=（k0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD若OCDACO，则直线OA的解析式为y=2x解答：解：设OC=a，点D在y=上，CD=，OCDACO，=，AC=，点A（a，），点B是OA的中点，点B的坐标为（，），点B在反比例函数图象上，=，解得，a2=2k，点B的坐标为（，a），设直线OA的解析式为y=mx，则m=a，解得m=2，所以，直线OA的解析式为y=2x故答案为：y=2x【例24】 如图所示，在矩形ABCD中，AB=12厘米，BC=6厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米

19、/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D向点A以1厘米/秒的速度移动如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动时间（0t6）那么：（1）当t为何值时，QAP为等腰直角三角形？（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与ABC相似？解答：解：（1）AB=12厘米，BC=6厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D向点A以1厘米/秒的速度移动，DQ=t，AP=2t，QA=6t，当QAP为等腰直角三角形即6t=2t，解得t=2；（2）两种情况：当=时，即=，解得t=1.2（秒）；当=时，即=，解得t=3（秒）故当经过1.2秒或3秒时，QAP与ABC相似【例25】 如图，

20、RtABC是由RtABC绕点A顺时针旋转得到的，连接CC交斜边于点E，CC的延长线交BB于点F（1）证明：ACEFBE；（2）设ABC=，CAC=，试探索、满足什么关系时，ACE与FBE是全等三角形，并说明理由解答：（1）证明：RtABC是由RtABC绕点A顺时针旋转得到的，AC=AC，AB=AB，CAB=CAB，CAB+BAC=CAB+BAC，即CAC=BAB，ABB=ABB=ACC=ACC，ACC=ABB，又AEC=FEB，ACEFBE（2）解：当=2时，ACEFBE在ACC中，AC=AC，ACC=90，在RtABC中，ACC+BCE=90，即90+BCE=90，BCE=，ABC=，ABC

21、=BCE，CE=BE，由（1）知：ACEFBE，BEF=CEA，FBE=ACE，又CE=BE，ACEFBE【例26】 如图，在ABC中，AB=AC=13，BC=10，AHBC，H是垂足，D是BC上的点，DEAB，E是垂足，DFAB，交AC于点F（1）求证：DBEABH；（2）设BD=x，DEF的面积为y，写出y关于x的函数关系式；（3）当DEF的面积y为最大时，求tanEFD的值解答：（1）证明：DEAB，AHBCBED=AHB=90B=BDBEABH（2）解：BC=10，BH=5，AH=12，BD=x，CD=10x，ED=xDFABDF：AB=CD：CBDF=1.3（10x）y=0.5x1.

22、3（10x）=0.6x（10x）（3）解：y=0.6x（10x）=0.6（x5）2+15，当DEF的面积y为最大时，x=5，ED=，DF=6.5tanEFD=ED：DF=【例27】 如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依此类推若各种开本的矩形都相似，那么等于（）A0.618BCD2解答：解：矩形ABCD矩形BFEA，AB：BF=AD：AB，ADBF=ABAB，又BF=AD，AD2=AB2，=故选B【例28】 将三角形纸片ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B，折痕为EF已知AB=AC=6，BC=8，若以点B，F，

23、C为顶点的三角形与ABC相似，那么BF的长度是（）AB4C或2D4或解答：解：ABC沿EF折叠B和B重合，BF=BF，设BF=x，则CF=8x，当BFCABC，=，AB=6，BC=8，=，解得：x=，即：BF=，当FBCABC，解得：x=4，当ABCCBF时，同法可求BF=4，故BF=4或，故选：D【例29】 如图，ABC与DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为（）A：1B：1C5：3D不确定解答：解：连接OA、OD，ABC与DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，AOBC，DOEF，EDO=30，BAO=30，OD：OE=OA：OB=：1，DOE+EOA=BOA+

24、EOA 即DOA=EOB，DOAEOB，OD：OE=OA：OB=AD：BE=：1故选A【例30】 如图，直角三角形ABC中，ACB=90，AB=10，BC=6，在线段AB上取一点D，作DFAB交AC于点F，现将ADF沿DF折叠，使点A落在线段DB上，对应点记为A1；AD的中点E的对应点记为E1，若E1FA1E1BF，则AD=解答：解：ACB=90，AB=10，BC=6，AC=8，设AD=2x，点E为AD的中点，将ADF沿DF折叠，点A对应点记为A1，点E的对应点为E1，AE=DE=DE1=A1E1=x，DFAB，ACB=90，A=A，ABCAFD，=，即=，解得DF=x，在RtDE1F中，E1

25、F=，又BE1=ABAE1=103x，E1FA1E1BF，=，E1F2=A1E1BE1，即（）2=x（103x），解得x=，AD的长为2=故答案为：【例31】 如图RtABC中，BAC=90，AB=3，AC=4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为解答：解：BAC=90，AB=3，AC=4，BC=5，四边形APCQ是平行四边形，PO=QO，CO=AO，PQ最短也就是PO最短，过O作BC的垂线OP，ACB=PCO，CPO=CAB=90，CABCPO，OP=，则PQ的最小值为2OP=，故答案为：板块五：相似与几何综合【例32】 如图，圆

26、内接四边形ABCD，BA、CD的延长线交于P点，AC交BD于E，则图中共有（）对相似三角形A5B4C3D2解答：解：由已知得图中的相似三角形有：PADPCB，PBDPCA，BAECDE，ADECBE，所以共有四对相似三角形，故选B【例33】 如图，已知ABCD中，DBC=45，DEBC于E，BFCD于F，DE、BF相交于H，BF、AD的延长线相交于G，下面结论：DB=BE；A=BHE；AB=BH；BHDBDG其中正确的结论是（）ABCD解答：解：BDE=45，DEBCDB=BE，BE=DEDEBC，BFCDBEH=DEC=90BHE=DHFEBH=CDEBEHDECBHE=C，BH=CDABC

27、D中C=A，AB=CDA=BHE，AB=BH正确的有故选B【例34】 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点G，E为AD的中点，连接BE交AC于F，连接FD，若BFA=90，则下列四对三角形：BEA与ACD；FED与DEB；CFD与ABG；ADF与CFB其中相似的为（）ABCD解答：解：根据题意得：BAE=ADC=AFE=90AEF+EAF=90，DAC+ACD=90AEF=ACD中两三角形相似；容易判断AFEBAE，得=，又AE=ED，=而BED=BED，FEDDEB故正确；ABCD，BAC=GCD，ABE=DAF，EBD=EDF，且ABG=ABE+EBD，ABG=DAF+EDF=

28、DFC；ABG=DFC，BAG=DCF，CFDABG，故正确；所以相似的有故选D【例35】 如图，在ABC中A=60，BMAC于点M，CNAB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：PM=PN；PMN为等边三角形；当ABC=45时，BN=PC其中正确的个数是（）A1个B2个C3个D4个解答：解：BMAC于点M，CNAB于点N，P为BC边的中点，PM=BC，PN=BC，PM=PN，正确；在ABM与ACN中，A=A，AMB=ANC=90，ABMACN，正确；A=60，BMAC于点M，CNAB于点N，ABM=ACN=30，在ABC中，BCN+CBM18060302=60，点P是BC的中

29、点，BMAC，CNAB，PM=PN=PB=PC，BPN=2BCN，CPM=2CBM，BPN+CPM=2（BCN+CBM）=260=120，MPN=60，PMN是等边三角形，正确；当ABC=45时，CNAB于点N，BNC=90，BCN=45，BN=CN，P为BC边的中点，PNBC，BPN为等腰直角三角形BN=PB=PC，正确故选D【例36】 如图，等腰直角ABC中，AC=BC，ACB=90，AF为ABC的角平分线，分别过点C、B作AF的垂线，垂足分别为E、D以下结论：CE=DE=BD；AF=2BD；CE+EF=AE；=其中结论正确的序号是（）ABCD解答：解：延长线段BD与AC的延长线交于点MA

30、D为CAB的平分线，ADMB，AM=AB，ACB=90，CAB=45，AF为ABC的角平分线，AFC=90CAD=9022.5=67.5，M=AFC=67.5，又ACF=BCM=90，AC=BC，ACFBCM，AF=BM=2BD，故正确；又AD为CAB的平分线，CAD=BAD，且AEC=ADB=90，ACEABD，=，CE=DE=BD，故正确；又CEFBDF，=，设AE=x，则AD=x，x+1+=x，解得x=，故正确故选B【例37】 如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的两点，且EAF=45，AE、AF分别交BD于M、N下列结论：AB2=BNDM；AF平分DFE；AMAE=A

31、NAF；其中正确的结论是（）ABCD解答：解：BAN=BAM+MAN=BAM+45，AMD=ABM+BAM=45+BAM，BAN=AMD又ABN=ADM=45，ABNADM，AB：BN=DM：ADAD=AB，AB2=BNDM故正确；把ABE绕点A逆时针旋转90，得到ADHBAD=90，EAF=45，BAE+DAF=45EAF=HAFAE=AH，AF=AF，AEFAHF，AFH=AFE，即AF平分DFE故正确；ABCD，DFA=BANAFE=AFD，BAN=AMD，AFE=AMN又MAN=FAE，AMNAFEAM：AF=AN：AE，即AMAE=ANAF故正确；由得BE+DF=DH+DF=FH=F

32、E过A作AOBD，作AGEF则AFE与AMN的相似比就是AG：AO易证ADFAGF（AAS），则可知AG=AD=根2AO，从而得证故正确故选D【例38】 如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC则以下四个结论中正确结论为（） BF=2OH；CHF=45；BC=4GH；DH2=HEHBABCD解答：解：四边形ABCD是正方形，BC=DC，BCE=DCF=90，在BCE和DCF中，BCEDCF，CDF=CBE，CDF+F=90，CBE+F=90，BHF=90，BHDF，BE平分DBC，D

33、H=HF，OB=OD，OH是DBF的中位线，OHBFOH= BF，即BF=2OH；故正确；CE=CF，ECF=90，EFC=45，HFE=22.5，HFC=HFE+EFC=67.5，DH=FH，DCF=90，CH=FH=DF，HCF=HFC=67.5，CHF=180HCFHFC=45；故正确；OH是BFD的中位线，OG，GH分别是DBC与DCF的中位线，DG=CG=BC，GH=CF，CE=CF，GH=CF=CE，CECG=BC，GHBC，即BC4GH，故错误；DBF=45，BE是DBF的平分线，DBH=22.5，DE=EF，CDF=CEF=22.5，DBH=CDF，BHD=BHD，DHEBHD

34、，DH：BH=HE：DH，DH2=HEHB，故正确；所以正确故选B【例39】 如图，菱形ABCD中，AB=AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AG于点O则下列结论ABFCAE，AHC=120，AH+CH=DH，AD2=ODDH中，正确的是解答：解：四边形ABCD是菱形，AB=BC，AB=AC，AB=BC=AC，即ABC是等边三角形，同理：ADC是等边三角形B=EAC=60，在ABF和CAE中，ABFCAE（SAS）；故正确；BAF=ACE，AEH=B+BCE，AHC=BAF+AEH=BAF+B+BCE=B+ACE+BCE=B+ACB=60+6

35、0=120；故正确；在HD上截取HK=AH，连接AK，AHC+ADC=120+60=180，点A，H，C，D四点共圆，AHD=ACD=60，ACH=ADH，AHK是等边三角形，AK=AH，AKH=60，AKD=AHC=120，在AKD和AHC中，AKDAHC（AAS），CH=DK，DH=HK+DK=AH+CH；故正确；OAD=AHD=60，ODA=ADH，OADAHD，AD：DH=OD：AD，AD2=ODDH故正确故答案为：板块六：相似三角形的经典模型【例40】 阅读材料如图，ABC与DEF都是等腰直角三角形，ACB=EDF=90，且点D在AB边上，AB、EF的中点均为O，连结BF、CD、CO

36、，显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明BOFCOD，则BF=CD解决问题（1）将图中的RtDEF绕点O旋转得到图，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论；（2）如图，若ABC与DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O，上述（1）中的结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；（3）如图，若ABC与DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为0，且顶角ACB=EDF=，请直接写出的值（用含的式子表示出来）解答：解：（1）猜想：BF=CD理由如下：如答图所示，连接OC、ODABC为等腰直角三角形，点O为斜边AB的中点，OB=OC，BOC=90DE

37、F为等腰直角三角形，点O为斜边EF的中点，OF=OD，DOF=90BOF=BOC+COF=90+COF，COD=DOF+COF=90+COF，BOF=COD在BOF与COD中，BOFCOD（SAS），BF=CD（2）答：（1）中的结论不成立如答图所示，连接OC、ODABC为等边三角形，点O为边AB的中点，=tan30=，BOC=90DEF为等边三角形，点O为边EF的中点，=tan30=，DOF=90=BOF=BOC+COF=90+COF，COD=DOF+COF=90+COF，BOF=COD在BOF与COD中，=，BOF=COD，BOFCOD，=（3）如答图所示，连接OC、ODABC为等腰三角形

38、，点O为底边AB的中点，=tan，BOC=90DEF为等腰三角形，点O为底边EF的中点，=tan，DOF=90=tanBOF=BOC+COF=90+COF，COD=DOF+COF=90+COF，BOF=COD在BOF与COD中，=tan，BOF=COD，BOFCOD，=tan【例41】 如图，边长为4的正方形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，点E是OA边上的动点（不与点O，A重合），EPCE，且EP交正方形外角的平分线AP于点P（1）如图1，当点E是边的中点OA时，证明CE=EP；（2）如图1，当点E是OA边的中点时，在y轴上是否存在点M，使得四边形BMEP是平

39、行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图2，当点E是OA边上的任意一点时（点E不与点O，A重合），设点E坐标为E（t，0）（0t4），探究CE=EP是否成立，若成立，请给出证明，若不成立，说明理由解答：解：（1）证明：过点P作PHx轴，垂足为H，则PHE=EOC=90，AP为BAH的平分线，PAH=45，APH为等腰直角三角形，AH=HP，EPCE，CEP=90，CEO+HEP=90，又OCE+CEO=90，OCE=HEP，COEEHP，=，由题意知：OE=EA=2，EH=EA+AH=2+HP，=，HP=2，EH=4，在RtCOE和RtEHP中，CE=2，EP=2，则C

40、E=HP；（2）y轴上存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形，过点B作BMEP交y轴于点M，EPCE，BMCE，OCE+CMB=90，CBM+CMB=90，OCE=CBM，在BCM和COE中，OCE=CBM，BC=CO，BCM=COE=90，BCMCOE，BM=CE，又CE=EP，BM=EP，又BMEP，四边形BMEP是平行四边形，BCMCOE，CM=OE=2，OM=2，点M的坐标为M（0，2）；（3）CE=EP，理由为：证明：过点P作PHx轴，垂足为H，则PHE=EOC=90，AH=HP，AP为BAH的平分线，PAH=45，APH为等腰直角三角形，AH=HP，EPCE，CEP=90，CEO

41、+HEP=90，又OCE+CEO=90，OCE=HEP，COEEHP，=，由题意知：OE=t，EH=EA+AH=4t+HP，=，4HP=t（4t+HP），（4t）HP=（4t）t，点E不与点O，A重合，4t0，HP=t，EH=4t+HP=4，在RtCOE和RtEHP中，CE=，EP=，则CE=EP【例42】 如图，在ABC中，AB=20cm，AC=10 cm，C=45，在线段BA上，动点E以每秒2cm的速度从点B出发向点A做匀速运动，在线段CA上，动点F从点C出发向点A做匀速运动，速度为每秒a cm，当点E、F其中一点停止运动时，另一点也停止运动，分别过点E、F作BC的垂线，垂足为Q、P，连接

42、EF若点E、F同时运动，运动时间为t秒，在运动过程中四边形EFPQ总为矩形（点E、F重合除外）（1）求a的值：（2）当t为多少时，矩形EFPQ为正方形？（3）当t为多少时，矩形EFPQ的面积S最大？并求出最大值（以上结果保留根号）解答：解：作AHBC于H，在直角AHC中，由AC=10cm，C=45，得AH=HC=10cm，在直角ABH中，AB=20cm，AH=10cm由勾股定理得：BH=10cmB=30，（1）过t秒后，EQ=EB=tcm，FP=CF=atcm，四边形PEFQ总为矩形，EQ=PF，即t=at，解得：a=cm/s；（2）过t秒后，矩形EFPQ为正方形，由（1）得：BQ=t，PC=

43、t，PQ=BCBQCP=10+10tt，四边形PEFQ为正方形，则EQ=PQ，得10+10tt=t，解得t=10（1）秒； （3）过t秒后，S=t（10+10tt）=（1+）t（10t）=（1+）（t210t）当t=5秒时，S最大值=25（1+）cm2【例43】 如图1，有一组平行线l1l2l3l4，正方形ABCD的四个顶点分别在l1，l2，l3，l4上，EG过点D且垂直l1于点E，分别交l2，l4于点F，G，EF=DG=1，DF=2（1）AE=1，正方形ABCD的边长=；（2）如图2，将AEG绕点A顺时针旋转得到AED，旋转角为（090），点D在直线l3上，以AD为边在ED左侧作菱形ABCD

44、，使B，C分别在直线l2，l4上写出BAD与的数量关系并给出证明；若=30，求菱形ABCD的边长解答：解：（1）由题意可得：1+3=90，1+2=90，2=3，在AED和DGC中，AEDDGC（AAS），AE=GD=1，又DE=1+2=3，正方形ABCD的边长=，故答案为：1，；（2）BAD=90；理由：过点B作BM垂直于l1于点M，在RtAED和RtBMA中，RtAEDRtBMA（HL），DAE+BAM=90，BAD+=90，BAD=90；过点E作ON垂直于l1分别交l1，l3于点O，N，若=30，则EDN=60，AE=1，故EO=，EN=，ED=，由勾股定理可知菱形的边长为：=【例44】

45、如图，在RtABC中，ACB=90，AC=8，BC=6，CDAB于点D点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止设运动时间为t秒（1）求线段CD的长；（2）设CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得SCPQ：SABC=9：100？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由（3）当t为何值时，CPQ为等腰三角形？解答：解：（1）如图1，ACB=90，AC=8，BC=6，AB=10CDAB，SABC=BCAC=ABCDCD=4.8线段CD的长为4.8（2）

46、过点P作PHAC，垂足为H，如图2所示由题可知DP=t，CQ=t则CP=4.8tACB=CDB=90，HCP=90DCB=BPHAC，CHP=90CHP=ACBCHPBCAPH=tSCPQ=CQPH=t（t）=t2+t存在某一时刻t，使得SCPQ：SABC=9：100SABC=68=24，且SCPQ：SABC=9：100，（t2+t）：24=9：100整理得：5t224t+27=0即（5t9）（t3）=0解得：t=或t=30t4.8，当t=秒或t=3秒时，SCPQ：SABC=9：100（3）若CQ=CP，如图1，则t=4.8t解得：t=2.4若PQ=PC，如图2所示PQ=PC，PHQC，QH=CH=QC=CHPBCA解得：t=若Q