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第十三章 傅立叶光学 主讲：精仪学院 周 革 几个问题： 1、光传播的空间频率 2、如何用傅立叶变换分析空间频率 3、光学系统对光波空间频率的作用 1 13-1 平面波的复振幅分布和空间频率 1. 平面波的复振幅 x 2p v v k r = (xcosa + ycosb + zcos g) k l a g E~( x, y,z ) = E~ exp{ ik rr } 0 z b y 因而 2p ~ ~ E(x, y, z) = E0 exp[i (x cos a + y cosb + z cos g)] l x y z ~ ~ 或：E(x, y, z) = E0 exp[i2p(l / cos a + l / cosb + l / cos g )] 2 13-1 平面波的复振幅分布和空间频率 2. 空间频率 对于平面波的复振幅 x y z ~ ~ E(x, y, z) = E0 exp[i2p(l / cos a + l / cosb + l / cos g )] x 在x轴上(y=z=0)，每传播 k 一个 l/cosq 变化为2p。 l/cosq 是x轴方向上的光波空间变化周期： dx = l / cos a 距离，位相 a dx b y l 同理，dy = l / cosb , = l / cos g dz d y 3 13-1 平面波的复振幅分布和空间频率 2. 空间频率 平面波的复振幅 x y z ~ ~ E(x, y, z) = E0 exp[i2p(l / cos a + l / cosb + l / cos g )] x k 光波空间变换周期： = l / cos a = l / cosb = l / cos g dx dy dz a d x b y l dy 4 13-1 平面波的复振幅分布和空间频率 2. 空间频率 它们的空间频率： 1 = cosa , 1 = cosb , 1 = cosg u = = w = v l l l dx dy dz 复振幅可以表示为 E(x, y, z) = E0 exp[i2p(ux + vy + wz)] ~ ~ 5 13-1 平面波的复振幅分布和空间频率 2. 空间频率 x 由于光波在k方向上每 k 走一个 l 行程，位相 变化2p， 因此， 每间 隔一个 l 就出现一个 a Tx 等位相面， 等位相面 在xy平面上是一簇垂直于k的平行直线。 b y l Ty 空间频率的意义： 空间频率确定了平行光波的空间传播方向。 6 13-1 平面波的复振幅分布和空间频率 3. 衍射光波的空间频率问题 光束通过有限孔径时，会发生衍射。衍射光线可以看作射向不同方向的一组平行光波。 每束平行光波有自己的传播方向，也就有自己的空间频率。 问题： 如何分析这些 光波， 以获得各个空间频率 的光波在总体中所占的比重？ 7 第十三章 几个问题： 傅里叶光学 1、光传播的空间频率 2、如何用傅立叶变换分析空间频率 3、光学系统对光波空间频率的作用 8 13－2 傅氏级数、傅氏变换与光波的空间频率 一、傅氏级数： 若设： 1 Cn = 2 (a - ibn ) Cn = T f ( x)[cos nw0 x - i sin nw0 x]dx = f ( x)e-inw0 x dx T = 1 令：w = 2pu , 其中: u 0 0 0 T exp(i2pnu0 x) 1 Cn f (x) = T 有： n=- Cn = T f (x) exp( -i2pu0 x)dx 9 13－2 傅氏级数、傅氏变换与光波的空间频率 二、傅氏级数与光栅： 例题：由均匀狭缝组成的光栅，其光波透过函数可以用周期函数 f(x)T 表示： A - a x a = 2 x - 2 x f (x) T 2 a 2 a 2 T 2 T 0 - , f(x,y) A x 。 -a/2 a/2 T T T 10 这样的光波可以看成多个空间频率的光波的合成 13－2 傅氏级数、傅氏变换与光波的空间频率 二、傅氏级数与光栅： 这样的矩形透射率光栅可以看成许多个复指数光栅 ： fe (x) = exp( i2pux) 的和。矩形光栅的透射函数： f (x) = 1 C exp(i2pnu x) n 0 T n=- a sin( npu a) C = A exp[ -i2pnu x]dx = Aa[ 0 ] , 2 n a 2 0 npu a - 0 n = 0, 1, 2,L 其中：u = 1 , 在光栅中T = d（栅缝间隔） 0 T 注意：u0是光栅结构变化的频率。 11 13－2 傅氏级数、傅氏变换与光波的空间频率 二、傅氏级数与光栅 对于复指数表示的光栅： 的夫琅和费衍射为： fe (x) = exp( i2pu0 x) sin q0 = lu0 其它 = d(sin q0 - u ) = 1 F e 0 l 0 说明其衍射只有一个方向的平面波，方向为： = sin q = cos a sin q = lu ， u 0 0 0 l l x k a q z 12 u0为光波在x方向的空间频率 13－2 傅氏级数、傅氏变换与光波的空间频率 二、傅氏级数与光栅 对于其它结构频率的复指数光栅 fen (x) = exp(i2pnu0 x) sin qn = lnu0 其衍射方向为： 每一个光波的空间频率为： = cosan = sin qn = nu u l l n 0 x k 每一个衍射方向光的幅值为： an sin( npu a) Cn = Aa[ 0 ], q npu a n 0 z 13 13－2 傅氏级数、傅氏变换与光波的空间频率 二、傅氏级数与光栅 光波空间频率和光栅结构频率的关系 u0是光栅结构变化的频率。 u = 1 = 1 , 在光栅中T = d（栅缝间隔） 0 T d u0为光波在x方向的空间频率 = sin q = cos a u 0 l l 按照光栅方程，光栅的一级衍射（m = 1） sin q = 1 d sin q = l, l d u0对应于矩形光栅的一级衍射谱。 14 13－2 傅氏级数、傅氏变换与光波的空间频率 二、傅氏级数与光栅 对于矩形光栅，可以分解为： f (x) = 1 C exp(i2pnu x) n 0 T n=- 包含的各个光波空间的频率为： = cos an = sin qn = nu u n 0 l l 按照光栅方程，光栅的m级衍射： sin q = m = mu d sin q = ml, 0 l d um对应于矩形光栅的m级衍射谱，也为此衍射光的空间频率。 通常用衍射出的平面光波的空间频率分布反映物面的结构。 15 13－2 傅氏级数、傅氏变换与光波的空间频率 二、傅氏级数与光栅 f(x,y) A npa sin( ) x C = Aa[ d ] , -a/2 a/2 npa n C d d d 1 C0 d 1, C2 C3 n = 0, 2,L x = 1 d 1 a u o 通过物面产生的衍射平面光波空间频率来分析物面结构的方法就是傅里叶光学研究的内容。 16 频谱线既是光栅间隔 的反映，也是衍射光 波的空间频率的反映。 13－2 傅氏级数、傅氏变换与光波的空间频率 对于周期性变化的光栅 可以用傅氏级数来分析， 而对单缝的透射光波如何分析其空间频率？ 答案：傅立叶积分变换。 17 13－2 傅氏级数、傅氏变换与光波的空间频率 三、傅氏积分变换： 当周期T变为无穷大时，脉冲函数变为了单脉冲， 对单脉冲的分析采用傅立叶积分来分析。 f(x) A 问题： 单脉冲函数 从傅氏级数到傅立 叶积分变换？ x t/2 -t/2 T 18 13－2 傅氏级数、傅氏变换与光波的空间频率 从离散变量到连续变量 T与a比值的变化： 1. a /T = 1/4 2. a/ T = 1/8 3. a / T = 1/16 2p wo = 随着 T 的增加而减小，谱线间隔变密。 T 当T 时，nw0 = w，w变为连续的变量 19 13－2 傅氏级数、傅氏变换与光波的空间频率 三、傅立叶积分变换： 从傅氏级数到傅氏积分： 对于傅氏级数的系数： Cn = T f (x)exp(-inw0 x)dx 当T 时，nw0 = w，w是连续的变量 lim Cn = f (x) exp( -iwx)dx T - 写为： F (w ) = f (x) exp( -iwx)dx - F(w) 称为 f(x) 的傅里叶变换。 20 13－2 傅氏级数、傅氏变换与光波的空间频率 三、傅氏积分变换： 对于函数： f (x) = 1 C exp(inw x) n 0 T n=- w = 2p dw nw = w 当 T 0 o T 1 2p f ( x) = F (w )exp(iw w x)d － f(x)称为 F(w) 的反傅里叶变换。 21 13－2 傅氏级数、傅氏变换与光波的空间频率 三、傅氏积分变换： 令：w = 2pu, F (u) = f (x) exp( -i2pux)dx 有傅立叶变换： - f (x) = 1 F (u) exp(i2pux)du 2p － 22 13－2 傅氏级数、傅氏变换与光波的空间频率 三、傅氏积分变换： 傅氏积分变换与单缝衍射： 单缝衍射可以看成缝间隔 d 为无穷大的多缝，其光 波透射函数可以写为： a a - x 2 2 f (x) = A 0 周期内其它点 f (x) A f (x) a/2 -a/2 23 d 13－2 傅氏级数、傅氏变换与光波的空间频率 傅氏积分变换与单缝衍射： A - a x a f (x) = 函数 2 2 0 周期内其它点 的傅里叶变换F(u)为： a sin( pua) F (u) = Aexp[ -i2pux]dx = Aa[ ] 2 a 2 pua F(u) - f(x) A sin(pua) pua x u a/2 -a/2 T du 24 13－2 傅氏级数、傅氏变换与光波的空间频率 傅氏积分变换与单缝衍射： 有限光学孔径将入射的光衍射到各个方向，每个方向都可以看成一个平面波分量。傅立叶积分的意义即是将这些平面波分解出来。 根据前面的分析，各平面波衍射角： sin q = lu u = sin q 为衍射光波的空间频率。 l l x x 1 x a q q f 25 13－2 傅氏级数、傅氏变换与光波的空间频率 傅氏积分变换与单缝衍射： 焦平面上不同的点对应着不同平面波的传播方向，如（x, y) 点对应的平面波在x 方向的空间频率为： u = cos a = sin q = x l l 1 lf l x x x a q q f 26 13－2 傅氏级数、傅氏变换与光波的空间频率 四、两维的傅氏变换： 对于一个可积的复函数 f (x, y)，做积分 F (u, v) = f (x, y) exp[ -i2p(xu + yv)]dxdy - 称 F (u, v) 是 f (x, y) 的傅里叶变换。 对F (u, v)做傅里叶逆变换，得到 f (x, y) f (x, y) = F (u, v) exp[i2p(xu + yv)]dxdy - f (x, y)和F(u, v)互为傅里叶变换对。 27 第十三章 几个问题： 傅里叶光学 1、光传播的空间频率 2、如何用傅立叶变换分析空间频率 3、光学系统对光波空间频率的作用 28 13－3 透镜的傅立叶变换性质和成象性质 在夫琅合费衍射中，透镜的作用是将衍射光会聚，在透镜的后焦面上观察夫琅和费衍射图样。 夫琅和费与傅立叶变换的对应关系说明：透镜可以实现傅立叶变换。 这种变换来源于透镜的位相变换函数 tL(x,y)： 29 13－3 透镜的傅立叶变换性质和成象性质 一、傅氏变换与夫琅和费衍射： 对于夫琅和费衍射 E(x, y) = C E(x1, y1 ) exp[ -ik (xx1 + yy1 ) / f ]dx1dy1 - + y2 x2 1 C = exp[ik ( f + )] 其中 ilf u = 2 f x y v = , 若设： lf lf 则有： E(u, v) = C E(x1, y1 ) exp[ -i2p(ux1 - + vy1 )]dx1dy1 30 空间频率与频谱坐标的关系 13－3 透镜的傅立叶变换性质和成象性质 一、傅氏变换与夫琅和费衍射： 比较傅里叶变换公式 F (u, v) = f (x, y) exp[ -i2p(xu + yv)]dxdy - 和夫琅和费衍射 E(u, v) = C E(x1, y1 ) exp[ -i2p(ux1 - + vy1 )]dx1dy1 结论： 光学衍射可以用傅里叶变换这个数学工具来描述。 31 除常数项外，夫琅和费衍射的复振幅 分布E(x, y) 是衍射物体复振幅分布E(x1, y1 )的傅里叶变换。 13－3 透镜的傅立叶变换性质和成象性质 一、傅氏变换与夫琅和费衍射： 因此，在傅立叶变换中 E(x, y) = C E(x1, y1 ) exp[ -i2p(ux1 + vy1 )]dx1dy1 - 中u，v 恰好是平面光波在 x , y 方向的空间频率。这些平面波各点权重与它们会聚在焦面上的光强成正比。 32 在数学上： 方波函数可以分解成无穷基频的和。 在光学上： 方孔的夫琅和费衍射，是将一个有限光波衍射成无穷个方向传输的平面光波。 数学与物理：方波函数与方孔衍射 13－3 透镜的傅立叶变换性质和成象性质 二、透镜的透射函数 ~ E (x, y) (x, y) = 2 t ~ L E1 (x, y) tL (x, y) = Et (x, y) exp[ jL (x, y)] ~ 其中： 是入射光波， 是传输光波。 E1 (x, y) E2 (x, y) ~ ~ z E2 ( x, y ) 在透镜的入射与出射面上，光波的 复振幅可以分别写为 E1 (x, y) = A1 (x, y) exp[ij1 (x, y)] E2 (x, y) = A2 (x, y) exp[ij2 (x, y)] ~ ~ 33 D1 d0 D2 E~ ( x, y ) 1 13－3 透镜的傅立叶变换性质和成象性质 t (x, y) = A2 (x, y) exp[i(j (x, y) - j ( L 2 1 A (x, y) 1 透镜对光波的位相变化是 j (x, y) = j (x, y) - j (x, y) L 2 1 假定透镜是薄透镜 ~ z U 2 (x, y) 2p l jL (x, y) = [D1 + D2 + nd (x, y)] = 2p [D + D + n(d - D - D 1 2 0 1 l = 2p nd - 2p (n -1)(D + D ) 0 1 2 l l 34 ? 可以略去 x, y))] D1 d0 D2 ~ U1 (x, y) 2 )] 13－3 透镜的傅立叶变换性质和成象性质 二、透镜的透射函数 由图中可以得出 D = R - R - (x2 + y2 ), D = -R - R - (x2 + y2 ) 1 1 1 2 2 2 + y2 + y2 x2 x2 展开 D1 = D2 = - , 将 2R 2R 1 2 略去 2p nd 的影响，有 j (x, y) = - 2p (n -1)( 1 1 - + y2〕 x2 （) 0 L l l 2R 2R 1 2 (x,y) (x,y) D 2 C1 R 2 - ( x 2 + y 2 ) 1 35 C2 — R2 － R1 D 1 13－3 透镜的傅立叶变换性质和成象性质 二、透镜的透射函数 1 f = (n -1)( 1 - 1 ) 薄透镜的焦距计算公式为 R1 R2 2p + y2 + y2 x2 x2 jL (x, y) = - = -k 因而： l 2 f 2 f 透射用透射系数表示 ~ x + y 2 2 E (x, y) (x, y) = = exp[ - t 2 ik ] ~ L E1 (x, y) 2 f + y2 x2 ~ ~ ~ 或写为 E2 (x, y)＝t L (x, y)E1 (x, y)＝E1 (x, y) exp[ -ik ] 2 f 36 13－3 透镜的傅立叶变换性质和成象性质 三、透镜的成象性质 1、球面波的复振幅 v rv ] E( x,y,z ) = E0 exp[ ik 球面波的复振幅 : r E( r ) = v E v exp[ik r ] 发散光波，k 与r 方向一致 0 r v v 会聚光波， 与r 方向相反 E( r ) = E0 exp[ -ik r ] k r 若球心在x = y = 0点： + y2 + y2 x2 x2 1 r = x + y + z z[1+ - ( ) +L] 2 2 2 2 2z2 z >> z2 时， 8 + y2 + y2 x2 x2 r = z + , 当 2z2 2z 几何光学中称为傍轴近似。 37 13－3 透镜的傅立叶变换性质和成象性质 三、透镜的成象性质 1、球面波的复振幅 + y2 x2 E E(x,y,z) = exp[ik (z + 球面波的复振幅 : 0 z )] 2z 若球心在x = x0 , y = y0点， 发散的球面波： (x - x + ( y - y )2 )2 E E(x,y,z) = 0 exp[ ik (z + 0 0 )] z 2z 会聚的球面波： (x - x + ( y - y )2 )2 E E(x,y,z) = 0 exp[ -ik (z + 0 0 )] z 2z 38 13－3 透镜的傅立叶变换性质和成象性质 三、 透镜的成象性质； 2、对平行光波成象 入射光波： ~ E(x1, y1) = Aexp[i2p(ux + vy )] 1 1 ~ ~ ~ E (x1, y1 ) = tL (x1, y1 )E(x1, y1 ) p = Aexp{-i [(x + y2 ) - 2(lfux + lfvy )]} 2 1 1 1 1 lf = Aexp{-i p [(x - lfu)2 + ( y - lfv)2 ]}exp[ilf (u2 + v2 )] 1 1 lf p ~ E (x1, y1 ) = A exp{- [( x - lfu) + ( y1 - lfv) ]} 2 2 i 1 lf 是会聚在焦平面上 ( lfu, lfv ) 球面光波。 注意：lfu = f sin qx，lfv = f sin qy。 39 13－3 透镜的傅立叶变换性质和成象性质 三、 透镜的成象性质；3、对球面波成象（1） k ~ E(x , y ) = Aexp[i (x + y )] 2 2 1 1 1 1 2l k ~ ~ E (x1 , y1 ) = E(x1 , y1 ) exp[ -i 2 f (x1 + y )] 2 2 1 = Aexp[ -ik 1 ( 1 - 1 2 + y2 )] )(x 1 1 2 f l 注意到物象关系： 1 = 1 - 1 l f l ~ 1 故有： = Aexp[ - + y )] 2 1 2 E (x , y ) ik (x 1 1 1 2l 仍是一个会聚球面波，会聚点在S的象点S。 40 13－3 透镜的傅立叶变换性质和成象性质 三、 透镜的成象性质； 3、对球面波成象（2） k ~ E(x1, y1 ) = Aexp{i 2l [( x1 - x0 ) + ( y1 - y0 ) ]} 2 2 + y2 x x + y y x2 k = Aexp[i 2 + 2 - (x0 y )] exp[ik ( 1 1 2l 1 0 1 0 l )] 0 2l k = A exp[i (x2 + y2 )] A 令： 0 0 2l + y 2 x x + y y x2 ~ E(x , y ) = - 1 0 1 0 )] 1 1 2l A exp[ik( 1 1 l 通过透镜之后: ~ ~ k E (x1, y1 ) = E(x1, y1 ) exp[ -i 2 f (x1 + 2 2 y )] 1 + y2 1 - 1 + x x + y y x2 = A exp{- ik[ 1 1 ( ) 1 0 1 0 )]} 2 f l l 41 13－3 透镜的傅立叶变换性质和成象性质 三、 透镜的成象性质；3、对球面波成象（2） + y2 x x + y y x2 ~ 1 1 在：E (x , y ) = A exp{- ( - ) + 1 0 1 0 )]} ik[ 1 1 2 1 1 f x0 l l y0 根据几何成象公式： 1 = 1 - 1, = x , = y l l l f l l + l + y2 x x + y y x2 ~ 有：E (x , y ) = A exp[ - 1 1 2l 1 1 l ik ( )] 1 1 这是一个向象点(-x,-y) 会聚的球面波。 ~ ~ 42 (x0,y0) E(x1, y1) E (x1, y1) l (-x,-y) l 13－3 透镜的傅立叶变换性质和成象性质 四、透镜的傅立叶变换性质 E(x, y) E(u, v) E(x1 , y1 ) E (x , y ) EL (x , y ) L d0 f F P L 1 P：输入面（物面）；F：频谱面。 则是E( x1,y1)的菲涅耳衍射, EL (x , y ) E(x, y) 是E (x, y ) 的菲涅耳衍射 L 43 13－3 透镜的傅立叶变换性质和成象性质 四、透镜的傅立叶变换性质 x2 + y2 EL (x , y ) = exp[- 透镜的位相作用： ik ]EL (x , y ) (1) 2 f E(x, y) 是E (x, y ) 的菲涅耳衍射 L eikf ik E(x, y) = ilf [(x - x ) + ( y - y ) ]}dx dy 2 2 E (x , y ) exp{ L 2 f - 将(1)式代入上式，得到E(x,y) 和 EL(x, y)关系： x2 + y2 ik [ f + ] 2 f E(x, y) = e - ik + L E (x , y ) exp[ (xx yy )]dx dy ( 2 ) ilf f - E (x, y ) 则是E(x , y ) 的菲涅耳衍射 L 1 1 ikd = e 0 ik - - [(x x1 ) + ( y 2 2 EL (x , y ) E(x , y ) exp{ y1 ) ]}dx1dy1 ( 3 ) 44 1 1 ild 2d - 0 0 13－3 透镜的傅立叶变换性质和成象性质 四、透镜的傅立叶变换性质 E (x, y ) 则是E(x , y ) 的菲涅耳衍射 1 1 L ikd = e 0 ik - - [(x x1 ) + ( y 2 2 EL (x , y ) E(x , y ) exp{ y1 ) ]}dx1dy1 ( 3 ) 1 1 ild 2d - 0 0 两个衍射过程：从P到L1平面，由公式（3）给出； 从L1平面经过透镜到F面，由公式（2）给出。 E(x, y) E(u, v) E(x1 , y1 ) E (x , y ) EL (x , y ) L f d0 F P 45 L 1 13－3 透镜的傅立叶变换性质和成象性质 四、透镜的傅立叶变换性质 x2 + y2 ik [ f + ] 2 f e ik f E(x, y) = (x , y ) exp[ - (xx + yy )]dx dy L E ( 2 ) ilf eikd0 - ik E (x , y ) = [(x - x1 ) + ( y - y1 ) ]}dx1dy1 2 2 E(x , y ) exp{ ( 3 ) L 1 1 ld i 2d - 0 0 将（3）式代入（2）式，有（并变换积分限） ik E(x, y) = C C 1 2 1 [(x - x )2 + ( y - y )2 ]} E(x , y ){ exp{ 1 1 1 2d - - 0 k exp[ - i (x x + y y)]dx dy }dx dy 1 1 f 46 注意关注：C = 1 + x + y C = 1 exp(ikd ) 2 2 1 ilf exp[ik( f 2 f )] 2 ild 0 0 13－3 透镜的傅立叶变换性质和成象性质 四、透镜的傅立叶变换性质 2 - ik E(x, y) = C C [( x - x )2 + ( y - y )2 ]} E(x , y ){ exp{ 1 1 1 1 1 2d - 0 k f exp[ - (x x + i y y)]dx dy }dx dy ( 4 ) 1 1 其中对内层积分项: 设 - x = p - y = q x x y y , , 1 1 = x + p = y + q 1 1 ik k f k f U = [ p2 + q2 ]exp[ -i (xp + yq)] exp[ -i (x x + y y)]dpdq exp[ 1 1 2d - 0 - k f ik k f = exp[ -i (x x + y y)] [ p2 + q2 ]exp[ -i (xp + yq)]dpdq exp[ 1 1 2d 0 47 13－3 透镜的傅立叶变换性质和成象性质 四、透镜的傅立叶变换性质 k f ik k f U = exp[ -i (x x + y y)] [ p2 + q2 ]exp[ -i (xp + yq)]dpdq exp[ 1 1 2d - 0 p d0 + y2 x2 d0 = ild0 exp[ -i l (x + y )] = ild0 exp[ -ik 2 2 ] ( 5 ) 积分号中 2 f f 2 f + y2 x2 d k U = ild0 exp[ -ik ] exp[ -i (x1x + y1 y)] 0 f (6) 2 f f 将（6）式代入（4）式 E(x, y) = ild0 exp[ -ik + y2 x2 d 0 f ] C1C2 2 f E(x1, y1 ) exp[ -i - k f (x1x + y1 y)] dx1dy1 ( 7) 48 13－3 透镜的傅立叶变换性质和成象性质 四、透镜的傅立叶变换性质 + y2 x2 1 1 = ilf exp[ik( f + = ild 由于 C1 )] C2 exp(ikd0 ) 2 f 0 + y2 x2 d C = ild0 exp[ -ikf 有 0 ]C1C2 f 2 f + y2 x2 1 d = + d0 )] exp[ik (1- 0 ) exp[ik ( f ] ilf f 2 f + y2 x2 d C = C0 exp[ik (1- 0 ) ] (8) f 2 f 1 C = exp[ik ( f + d )] (9) 0 0 ilf 49 13－3 透镜的傅立叶变换性质和成象性质 四、透镜的傅立叶变换性质 E(x, y) = C E(x1, y1 ) exp[ -i k f (x1 x + y1 y)] dx1dy1 ( 10) - x y u = , v = 设 从空间频率到频谱坐标的变换 lf lf E(u, v) = C E(x1, y1 ) exp[ -i2p(x1u + y1v)]dx1dy1 - x2 + y2 1 d C = exp[ik( f + d0 )]exp[ik(1- 0 ) ] ilf f 2 f C 是一个二次位相因子，称为位相弯曲。 50 13－3 透镜的傅立叶变换性质和成象性质 四、透镜的傅立叶变换性质 1 C = exp[ik 2 f ] 当d =f 时，有 0 0 ilf E(u, v) = C0 E(x1, y1 ) exp[ -i2p(x1u + y1v)]dx1dy1 - 位相弯曲消失，E(u,v)是E(x1,y1) 准确的傅里叶变换。 EL (x , y ) E (x , y ) 其中，C 是光束走过 2f 距离 E(x, y) E(u, v) L 0 E(x1 , y1 ) 产生的位相延迟。 d0 = f 注意：准确与非准确傅里叶变换之间的差别只是 C 与 C0。 f P F 51 结论：当物体在透镜的前焦面上时，在透镜的后焦面上得 到准确的傅里叶变换 13－3 透镜的傅立叶变换性质和成象性质 四、透镜的傅立叶变换性质 E (x , y ) E(x, y) E(u, v) E (x , y ) E(-x ,-y ) E(x , y ) L L 1 1 1 1 F P P f d0 = f f f 同样，从 F 面P到也是准确的傅里叶变换，并得到原函 数，但坐标方向相反。 E(u, v) exp{ } 0 E(-x ,- y ) = C - i2p [(-x )u + (- y )v] dudv 1 1 1 1 - 52 13－3 透镜的傅立叶变换性质和成象性质 四、透镜的傅立叶变换性质 F-1[F(u, v)] = f (x, y), 其中：F(u, v) = F[ f (x, y)] (2) FF{ f (x, y)} = f (-x,-y) 定理： (1) 1 u v (3) F[ f (ax,by)] = F( , ) a b ab (4) F[ f (x, y) + g(x, y)] = F(u, v) + G(u, v) (5) F[ f (x - a, y - b)] = F(u, v)exp[-2ip(au + bv)] 53 13－3 透镜的傅立叶变换性质和成象性质 四、透镜的傅立叶变换性质 如果是观测频谱面（即(u,v)或 (x,y)平面）上的光强分布： I (u, v) = E(u, v) E(u, v)* x2 + y2 1 d 可以注意到： C = exp[ik( f + d0 )]exp[ik(1- 0 ) ] ilf f 2 f 1 C = exp[ik( f + d )] 0 0 ilf 1 2 2 = C = C 有： 0 ( lf )2 结论：改变物面与透镜之间的距离，对频谱面上的光 强分布没有影响，而只影响光场分布的位相因子。 54 13－4 阿贝成象理论、波特实验与光学信息处理 一、 阿贝成象理论 1. 4 f 光学变换系统 EL (x , y ) E (x , y ) E( x, y) E(u, v) L E(-x ,- y ) E(x1 , y1 ) 1 1 d0 f f f P F P P：输入面（物面）；F：频谱面； P’ 是象面。 55 13－4 阿贝成象理论、波特实验与光学信息处理 一、 阿贝成象理论 2. 单透镜 光学变换系统 物面 象面 焦平面－谱面 (x1,y1) (-x1,-y1) f l l 4f 系统中三个关键的面：物面P ，频谱面F ； 像面 P。在 光学系统中，频谱面即是焦平面。因而，用一个单透镜同样可以实现傅里叶变换。 56 13－4 阿贝成象理论、波特实验与光学信息处理 一、 阿贝成象理论 2. 单透镜 光学变换系统 物面 象面 焦平面－谱面 （x,y) (x1,y1) (-x1,-y1) f l l 从物面到谱面，是一次傅里叶变换过程。 2p E(x, y) = C E(x1 , y1 )exp[-i lf (x1x + y1 y)]dx1dy1 - + y2 x2 1 l = exp[ik ( f + l)]exp[ik (1- ) f ]F(u, v) ilf 2 f u = x , v = y F(u, v)表示E(x , y )的傅里叶变换。 lf lf 1 1 57 13－4 阿贝成象理论、波特实验与光学信息处理 一、 阿贝成象理论 2. 单透镜 光学变换系统 从谱面到象面可以用菲涅耳衍射描述。 eik (l- f ) ik E(x , y ) = [(x - x) + ( y - y) ]}dxdy 2 2 CF (x, y) exp{ 1 1 1 1 il(l - f ) 2(l - f ) - 考察：两项合并后的结果 计算结果为： l x2 + y2 l E(x , y ) = - exp[ik (l + l)]exp[ik 1 1 2 f ] 1 1 l l F(u, v)exp{- i2p[x1u + y1v]}dudv F(u, v)exp{- i2p[x1u + y1v]}dudv = E(-x1 ,- y1 ) 注意： 58 13－4 阿贝成象理论、波特实验与光学信息处理 一、 阿贝成象理论 2. 单透镜 光学变换系统 1 = 1 + 1 1 l 1- l = - l = 利用 得到： , l - f lf l l f l f ik 2(l - f ) [(x - x)2 + ( y - y)2 ]} C exp{ 1 1 + y2 x2 l ik ]exp{ } - - = C0 exp[ik(1- f ) x) + ( y1 2 2 [(x y) ] 1 2(l - 2 f + y2 f ) - x2 l ikl ]exp{ } - = C0 exp[ - x) + ( y1 2 2 ik l [(x y) ] 1 2 f 2l f x2 + y2 l il ]exp{ [x1x + y1y]} = C0 exp[ik 2p 1 1 2 f ll f l 59 13－4 阿贝成象理论、波特实验与光学信息处理 一、 阿贝成象理论 2. 单透镜 光学变换系统 由此可以得到从谱面到象面的菲涅耳衍射衍射 ： eik (l- f ) ik E(x , y ) = [(x - x) + ( y - y) ]}dxdy 2 2 CF (x, y) exp{ 1 1 1 1 il(l - f ) 2(l - f ) - x2 + y2 l l ] F (x, y) exp{ [x1x + y1y]}dxdy E(x1, y1) = C0C0 exp[ik - i2p 1 1 2 f ll f l E(x1, y1)是F(x,y)的傅里叶变换，其中： 1 1 il(l - f ) C C = exp[il(l - f )] exp[ik( f + l)] 0 0 ilf - l 因为： 1 = l , 1- l = - l 有： C C = exp[ik(l + l)] l - f lf l 0 0 l2 2l f f 60 13－4 阿贝成象理论、波特实验与光学信息处理 2. 单透镜 光学变换系统 一、 阿贝成象理论 从谱面到象面的菲涅耳衍射衍射： x2 + y2 l l ] F (x, y) exp{ [x1x + y1y]}dxdy E(x1, y1) = C0C0 exp[ik - 2p 1 1 i ll f l 2 f - l C C = exp[ik(l + l)] 0 0 l2 2l f x l , y l l u = v = 对上式做坐标变换，令 l lf lf l l x2 + y2 E(x1, y1) = - exp[ik (l + l)]exp[ik 有： 1 1 2 f ] l l F(u, v)exp{- i2p[x1u + y1v]}dudv F(u, v)exp{- i2p[x1u + y1v]}dudv = E(-x1 ,- y1 ) 注意： 61 13－4 阿贝成象理论、波特实验与光学信息处理 一、 阿贝成象理论 2. 单透镜 光学变换系统 l l x2 + y2 l = - exp[ik (l + l)]exp[ik E(x , y ) 1 1 2 f ]F[ F(u, v)] 1 1 l 物面 象面 焦平面－谱面 （x,y) (x1,y1) (-x1,-y1) f l l 62 从物面到象面的位相延迟。 象的放大率 傅里叶变换 位相弯曲 13－4 阿贝成象理论、波特实验与光学信息处理 二、光学信息处理 EL (x , y ) E (x , y ) E(x, y) E(u, v) L E( -x ,- y ) E(x1 , y1 ) 1 1 f f f d0 P F P 例题：一个正弦光栅 置于透镜的前焦面上，求其透镜后 焦面的光场分布。 正弦光栅的透射率函数：t(x ) = 1 + 1 cos 2pu x 1 0 1 2 2 63 13－4 阿贝成象理论、波特实验与光学信息处理 二、光学信息处理：例题 分析：这是一个准确的傅里叶变换计算。 T (u) = - t( x1 ) exp[-i2pux1 ]dx1 ( 1 + 1 cos 2pu x ) exp[-i2pux ]dx - = 0 1 1 1 2 2 = 1 + 1 exp[-i2pux ]dx cos(2pu x )exp[-i2pux ]dx 1 1 0 1 1 1 2 2 - - = 1 exp[-i2pux1 ]

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