20182019学年第一学期上海市高二下册12.5双曲线方程学案（含答案）

双曲线【学习要点】1. 定义：平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数（） 的点的轨迹为双曲线. 其中两定点、叫做焦点，叫做焦距.2. 双曲线标准方程： 焦点在轴上，中心在原点，方程为：； , 焦距, . 焦点在轴上，中心在原点，方程为：. , 焦距, .3. 双曲线的性质：（1） 范围：或，；（2） 对称性：坐标轴是对称轴，原点是对称中心；（3） 顶点：、，轴上取点、，为长轴， 为短轴.（4） 渐近线方程为：；4. 双曲线的几个结论：（1） 双曲线上的点与两焦点、构成的三角形面积，其 中.（2） 双曲线上任意一点到两渐近线的距离乘积是一个常数.【例题讲解与训练】例1.已知动点到点的距离与到点的距离之差的绝对值等 于6，则动点的轨迹方程是 .变式训练11.点到两定点距离的差值为2，则点的轨迹是（ ）（A）双曲线 （B）两条射线（C）圆 （D）双曲线的一支2.过点求与圆相外切的圆的圆心的轨迹方程为 .3.在ABC中，设，若，则顶点C的轨迹方 程为 .例2.已知双曲线的一个焦点为，则实数 .变式训练21. 已知双曲线的焦点在y轴上，则的取值范围是 .2. 方程表示双曲线，则实数的取值范围是 .3. 若，则方程的曲线是（ ）（A） 焦点在轴上的椭圆 （B）焦点在轴上的椭圆 （C）焦点在轴上的双曲线 （D）焦点在轴上的双曲线例3.当时，曲线与有相同的名称；焦距； 焦点；对称轴，其中正确的是（ ）（A） （B） （C） （D）变式训练31. 双曲线的焦距是 .2. 若以坐标轴为对称轴的等轴双曲线过点，则其方程是 .3. 已知动点与两定点,有,则点的轨迹是（ ）（A）双曲线 （B）双曲线的一支 （C）一条射线 （D）两条射线例4.若双曲线的渐近线方程为, 经过一点是, 则双曲线的方程 _.变式训练41. 双曲线的渐近线的夹角是 .2. 与椭圆有共同焦点，且一条渐近线为的双曲线方程是3. 过双曲线的右焦点且与双曲线有且仅有一个公共点的直线方程为例5.已知双曲线的左右焦点分别是和，直线过点交双曲线的 左支于、两点，且=，则的周长为 .变式训练51. 过双曲线的左焦点的直线交双曲线的左支于M、N两点，为其 右焦点，则的值为 .2. 若椭圆与双曲线有相同的焦点 和，是两曲线的一个交点，则=( )(A) (B) （C） （D）3. 已知P为双曲线的右支上一点，M、N分别是圆和上的点，则的最大值为（ ）（A）6（B） （C）8（D） 例6.已知直线与双曲线相交于两点，若以为直径的 圆过原点，求的值.变式训练61.过点的直线与双曲线相交于两点，且是线段的中点，求直线的方程.2. 直线在双曲线截得的弦长为4，且的斜率为2，求直线的方程.3.已知双曲线，问在双曲线上是否存在两点关于点对称，若存在，求出坐标；不存在，请说明理由.例7.双曲线的焦点是和，是该双曲线上一点，的面积是，则 .变式训练71. 已知是双曲线的两个焦点，P为双曲线上一点，且,则的面积为 .2. 已知点在双曲线上，、是该双曲线的焦点，的面积为，则 .3. 已知双曲线的左右焦点分别为、，是双曲线上一点，若,则 .例8.已知过点的双曲线与椭圆有共同的焦点.（1） 求双曲线的方程；（2） 一条与坐标轴平行的直线与双曲线相交于点和，且它们位于双曲线 不同的分支上，点和为虚轴的两个端点，证明：直线与的 交点在双曲线上.变式训练81. 若双曲线与圆恰好有三个不同的交点，则的值为 2. 已知实常数使得在双曲线的右支上有三个点是一个正三角形的 顶点，且其中一点是该双曲线的右顶点，求的取值范围.3. 已知双曲线的中心在原点，右顶点为，两点在双曲线右支上，点到直线的距离为1.（1） 若直线的斜率为，且，求实数的取值范围；（2） 当时，的内心恰好是点，求此双曲线的方程.答案例1. ；变式训练1 1.A； 2.； 3.例2. ；变式训练2 1.； 2.； 3.D例3. C；变式训练3 1.8； 2.； 3.C例4. ；变式训练4 1.； 2.； 3.例5. 变式训练5 1.8； 2.C； 3.D例6