闭区间上连续函数性质

闭区间上连续函数性质Tag内容描述：<p>1、微积分讲课提纲 微积分（I） 浙江大学理学院 讲课人：朱静芬 Email:jfzhuzju.edu.cn 第四节第四节 函数极限函数极限 一、一、 函数连续的概念函数连续的概念 二、二、 连续函数的局部性质连续函数的局部性质 三、三、 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 四、四、 初等函数在其定义域上的连续性初等函数在其定义域上的连续性 一、最大值和最小值定理 定义: 设 f (x) C ( a, b ), 则 (i) f (x) 在 a, b 上为以下四种单调函数时 aO b x y aO bx y Oa b x y Oa b x y y = f (x) a, b , y = f (x) a, b , 此时, 函数 f (x) 恰好在 。</p><p>2、第十节 闭区间上连续函数的性质,最大值和最小值定理 介值定理,教学要求,了解闭区间上连续函数的性质； 了解最大最小值定理、有界性定理、零点定理及介值定理在函数值的估计和根的估计上的应用。,一、最大值和最小值定理,定义:,例如,定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.,定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,证,二、介值定理,定义:,几何解释:,几何解释:,证,由零点定理,推论 在闭区间上连续的函数必。</p><p>3、第十节 闭区间上连续函数的性质,一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与界值定理 三、小结,一、有界性与最大值最小值定理,定义:,例如,定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.,定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,证,二、零点定理与介值定理,定义:,几何解释:,几何解释:,证,由零点定理,推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值.,例1,证,由零点定理,例2,证,由零点定理,。</p><p>4、1.10 闭区间上连续函数的性质,一、最大值和最小值定理,二、介值定理,三、小结,高等数学,中国劳动关系学院,China Institute of Industrial Relation,一、最大值和最小值定理,定义:,例如,定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.,定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,证,二、介值定理,定义:,几何解释:,几何解释:,证,由零点定理,推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值.,例1,证。</p><p>5、闭区间上连续函数的性质,最大值和最小值定理 介值定理,一、最大值和最小值定理 P55,定义:,例如,定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.,推论(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,证,证：,取,当|x|X时, | f (x)-A|1,又|f (x)|-|A| f (x)-A|1,即: | f (x)|A|+1, f(x) 在(-，+)上连续， f(x)在-X，X上连续。,由最值定理, M00, x X, 都有| f (x)|M0,取M=max|A|+1, M0,例1 设 f (x) 在(-, +)上连续，且 存在,证。</p><p>6、1,1.10 闭区间上连续函数 的性质,介值定理( intermediate value theorem ),小结 思考题 作业,最大值(maximum )和 最小值(minimum)定理,第一章 函数与极限,2,定义,例,设f (x)在区间I上有定义,使得当,恒有,若存在点,为函数f(x)在区间I上的,最小 值,记为,则称,(大),一、最大值和最小值定理,3,在闭区间上连续的,(1) 定理1中的条件“闭区间”和“连续性”,定理1(最大值和最小值定理),函数一定有最大值和最小值.,是不可少的.,4,在开区间(0,1)内连续,在(0,1)内,又如:,在闭区间0,2上有,函数f (x)在0,2上,既没有最大值,如:,函数,没有最大值或最小值。</p><p>7、第十节 闭区间上连续函数的性质,一、最大值、最小值定理 二、介值定理 三、小结,一、最大值和最小值定理,定义:,定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,注意：1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.,注意：1.若区间是开区间, 定理不一定成立;,2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.,定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,证,则f(x)在a, b上有最大值M，最小值m.,二、介值定理,定义:,定理。</p><p>8、第五节 连续函数的性质,一 连续函数的运算性质,二 闭区间上连续函数的性质,三 小结与思考判断题,定理1,例如,1、四则运算的连续性,一、连续函数的运算性质,定理4,例如,定理3 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.,例如,反三角函数在其定义域内皆连续.,定理3,注,1.定理的条件：内层函数有极限，外层函数 在极限值点处连续,例1,解,例2,解,同理可得,二、初等函数的连续性,定理4 基本初等函数在定义域内是连续的.,定理5 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,定义区间是指包含在定义域内的区间.,例1,例2,解,解,初等函数求极限的方法。</p><p>9、一元微积分学,大 学 数 学（一）,第9讲 闭区间上连续函数的性质,第三章 函数的极限与连续性,本章学习要求： 了解函数极限的概念，知道运用“”和 “X ”语言描 述函数的极限。 理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。 理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。 掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。 理解。</p><p>10、三、闭区间上连续函数的性质,我们不证明，只给出几何说明。,即在闭区间,使得,也不存在最小值。,也不存在最小值。,是连续函数,【注意】,定理的结论不一定成立。,(1),对开区间内的连续函数,或闭区间上有,它的最大值是,点上取得。,则对于满足,使得,定理2指出：,则至少存在一点,几何意义：,例,实根。,证明,故,根据推论可知，,至少存在一点,由推论知：,练习,证明,证明,小结,1. 函数在一点连续必须满足的三个条件;,5. 间断点的分类与判别;,2. 区间上的连续函数;,第一类间断点:,无穷型,振荡型.,间断点,6. 闭区间上连续函数的性质.,可去型,跳跃型.。</p><p>11、1.10 闭区间上连续函数的性质,闭区间上的连续函数有着十分优良的性质, 这些性质在函数的理论分析、研究中有着重大的价值, 起着十分重要的作用. 下面我们就不加证明地给出这些结论, 好在这些结论在几何意义是比较明显的.,一、最大值和最小值定理,定义: 对于定义在区间I上的函数f(x), 如果有x0I, 使得对一切的xI, 都有 f(x) f(x0) (或 f(x) f(x0) ) 则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大(小)值. 此时称x0为最大(小)值点.,又例如, y=sgnx在(-, +)上有: ymax=1, ymin=-1, 在(0, +)上有: ymax=ymin=1.,定理1(最大值和最小值定理): 在闭区间上连。</p><p>12、定理.,且,使,( 证明略 ),定理1. ( 介值定理 ),且,则对 A 与 B 之间的任一数 C ,1-6 闭区间上连续函数的性质,证:,作辅助函数,则,且,故由零点定理知, 至少有一点,使,即,推论:,在闭区间上的连续函数,必取得介于最小值与最,大值之间的任何值 .,定理2. 最大(小)值定理,注意: 若函数在开区间上连续,以上结论不一定成立 .,在闭区间上的连续函数,即: 设,则,使,或在闭区间内有间断点,在该区间上一定有,在该区间上一定有界.,定理3. (有界性定理),闭区间上的连续函数,且能取得它的最大值和最小值.,无最大值和最小值,例如、,例,定理4. 设 y = f(x) 在。</p><p>13、1,二、介值定理,一、最大值和最小值定理,第十节,闭区间上连续函数的性质,第一章函数与极限,2,定义:,例如,一、最大值和最小值定理,3,定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定能取到最大值和最小值.,注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.,4,定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,5,二、介值定理,定义:,此定理又称为根的存在性定理,6,几何解释:,7,几何解释:,证,由零点定理,推论 在闭区间上连续 的函数必取得介于最大 值 与最小值 之间 的任何值.,8,例1,证,9,例2,。</p><p>14、一、有界性与最大值最小值定理,二、零点定理与介值定理,1.10 闭区间上连续函数的性质,一、有界性与最大值最小值定理,最大值与最小值 对于在区间I上有定义的函数f(x) 如果有x0I 使得对于任一xI都有 f(x)f(x0) (f(x)f(x0) 则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值),最大值与最小值举例:,函数 f(x)=1+sinx在区间0 2p上有最大值 2 和最小值 0 ,函数y=sgn x 在区间(- +)内有最大值1和最小值-1 但在开区间(0 +)内 它的最大值和最小值都是1,最大值与最小值举例:,一、有界性与最大值最小值定理,最大值与最小值 对于在区间I上有定义的函数f(x)。</p><p>15、定理1 设 在闭区间 上连续，则 在 上存在最大值和最小值，即 使得,1、最大值和最小值定理,2.6 闭区间上连续函数的性质,设f (x)在闭区间a, b上连续，则,(i) f (x)在a, b上为单调函数时,2.6 闭区间上连续函数的性质,此时，函数 f (x)恰好在 a, b的端点a和b取到最大值和最小值.,y=f (x)a, b, 则,y=f (x)a, b, 则,2.6 闭区间上连续函数的性质,(ii) y = f (x) 为一般的连续函数时，如图中所示，,2.6 闭区间上连续函数的性质,注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.,2.6 闭区间上连续函数的性质,定理2 设 。</p><p>16、闭区间上连续函数的性质,闭区间上的连续函数有着十分优良的性质，这些性质在函数的理论分析、研究中有着重大的价值，起着十分重要的作用。下面我们就不加证明地给出这些结论，好在这些结论在几何意义是比较明显的。,一、最大值和最小值定理,定义:,例如,定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.,定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,证,二、介值定理,定义:,几何解释:,证,由零点定理,几何解释:,例1,证,由。</p><p>17、第九节 闭区间上连续函数的性质,定理2.23,(最大值最小值定理),如果函数,在闭区间,上连续,则,在闭区间,上一定有最大值和最小值.,定理2.24,如果函数,在闭区间,上连续,则,在闭区间,上一定有界.,(有界性定理),定理2.25,(介值定理),如果函数,在闭区间,上连续,则对,介于最小值,和,最大值,之间的任一实数,至少存在一点,使,定理2.26,(零值定理),如果函数,在闭区间,上连续,并且,与,异号,则至少存在,使,一点,例1,设,在,上连续,为,中的,个点,证明必存在,使,证,在,上连续,使,例2,证明,方程,至少有一实根.,证,令,因,上连续.,并且,由零点存在定理知,至少。</p><p>18、闭区间上连续函数的性质,闭区间上的连续函数有着十分优良的性质，这些性质在函数的理论分析、研究中有着重大的价值，起着十分重要的作用。下面我们就不加证明地给出这些结论，好在这些结论在几何意义是比较明显的。,一、最大值和最小值定理,定义:,例如,定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.,定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,证,二、介值定理,定义:,几何解释:,证,由零点定理,几何解释:,例1,证,由。</p><p>19、第九节 闭区间上连续函数的性质,(最大值最小值定理),如果函数,在闭区间,上连续,则,在闭区间,上一定有最大值和最小值.,定理2.23,直观理解,如果函数,在闭区间,上连续,则,在闭区间,上一定有界.,(有界性定理),定理2.24,如果函数,在开区间,内连续,且极限,则,在开区间,内一定有界.,(有界性定理),补充定理,与,存在,04考研真题4分,函数,在下列哪个区间内,有界?,答案(A),(介值定理),如果函数,在闭区间,上连续,则对,介于最小值,和,最大值,之间的任一实数,至少存在一点,使,定理2.25,直观理解,例1,设,在,上连续,为,中的,个点,证明必存在,使,在,上连续,。</p>