的微分方程

的微分方程Tag内容描述：<p>1、第二节 可分离变量的微分方程,一、可分离变量的微分方程,二、典型例题,一、可分离变量的微分方程,形如 的方程，称为可分离变量的微分方程.,分离变量，得：,设 y= (x) 是方程的解,则有恒等式：,两边积分, 得,即：,设函数 G(y) 和 F(x) 是 g(y) 和 f(x) 的一个原函数 ,则有,当 G(y) 与F(x)可微且 G(y) =g(y)0时,说明由确定的隐函数 y=(x) 是的解.,称为方程的隐式通解, 或通积分.,同样,当F(x) = f (x) 0时,上述过程可逆,由确定的隐函数 x=(y) 也是的解.,一、可分离变量的微分方程,形如 的方程，称为可分离变量的微分方程.,求解步骤： (变量分。</p><p>2、1,第二节 可分离变量的微分方程,形如,的一阶微分方程叫做已分离变量方程 .,设 是方程的解 ,两边积分, 则有,即,(称为隐式通解),形如,的方程都叫做可分离变量方程 .,则有恒等式,或,2,例1. 求微分方程,的通解.,解: 分离变量得,两边积分,得,即,令,( C 为任意常数 ),或,说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可,能增、减解.,如此例, y = 0 也是原 方程的解 , 但在变量 分离时丢失了此解.,3,例2. 解下述初值问题,解: 分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数 ),故所求特解为,4,求方程 的通解 .,解法 1：,或,( C 0 。</p><p>3、第二节 可分离变量的微分方程,一、可分离变量的微分方程 二、典型例题 三、小结,一、可分离变量的微分方程,可分离变量的微分方程.,解法,为微分方程的解.,分离变量法,例1 求解微分方程,解,分离变量,两端积分,二、典型例题,解,由题设条件,衰变规律,例 3,有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.,解,由力学知识得,水从孔口流出的流量为,设在微小的时间间隔,水面的高度由h降至 ,比较(1)和(2)得。</p><p>4、2,第二节 可分离变量的微分方程,形如,的一阶微分方程叫做已分离变量方程 .,设 是方程的解 ,两边积分, 则有,即,(称为通积分),形如,的方程都叫做可分离变量方程 .,可化为已分离变量形式,求解.,则有恒等式,或,3,例1. 求微分方程,的通解.,解: 分离变量得,两边积分,得,即,令,( C 为任意常数 ),或,说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可,能增、减解.,如此例, y = 0 也是原 方程的解 , 但在变量 分离时丢失了此解.,4,例2. 解下述初值问题,解: 分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数 ),故所求特解为,5,求方程 的。</p><p>5、转化,可分离变量微分方程,第二节,解分离变量方程,可分离变量方程,第七章,本节到第四节讨论一阶微分方程,分离变量方程的解法:,设 y (x) 是方程的解,两边积分, 得,则有恒等式,当G(y) 与F(x) 可微且 G(y) g(y)0 时,说明由确定的隐函数 y(x) 是的解.,则有,称为方程的隐式通解, 或通积分.,同样,当F(x),= f (x)0 时,上述过程可逆,由确定的隐函数 x(y) 也是的解.,例1. 求微分方程,的通解.,解: 分离变量得,两边积分,得,即,( C 为任意常数 ),或,说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ),。</p><p>6、第二节 可分离变量的微分方程,一、可分离变量的微分方程,二、典型例题,一阶微分方程一般可表示为,若关于 可解出 , 则可写作:,还可写作对称形式:,一、可分离变量的微分方程,称为可分离变量的微分方程.,一阶微分方程,求解可分离变量的微分方程 的步骤:,1、分离变量,得,2、两边积分,得,3、求出通解,例1 求解微分方程,解,分离变量 , 得,两端积分 , 得,二、典型例题,解得,例 求解微分方程,解,分离变量,得,两端积分,得,解得,例2 求解微分方程,解,分离变量,得,两端积分,得,解得,例3 求解微分方程,解,分离变量,得,两端积分,得,解得,解,分离变量,得。</p><p>7、对称式),可分离变量的微分方程,形如,解法,分离变量法,为微分方程的解,叫做方程的隐式解又叫隐式通解.,二、典型例题,例1 求解微分方程,的通解.,例2,例3 一曲线通过点（2，3），它在两坐标轴间的任一,切线段均被切点平分，求这曲线方程。,思考与练习,化下列方程为可分离形式：,定义,的微分方程称为齐次方程.,齐次方程,解法,作变量代换,例1 解微分方程,例 2 解微分方程,例 3 解微分方程,1.定义 一阶线性微分方程的标准形式:,上方程称为齐次的.,上方程称为非齐次的.,一阶线性微分方程,一、线性方程,2.解法,齐次方程的通解为,分离变量法:,常数。</p><p>8、一阶方程的一般形式为,本节主要研究能把导数解出来的一阶方程,的解法,这个方程虽然简单，也常常很难求出解的有限表达式,几种特殊类型的一阶微分方程的解法。,所以本节只讨论,特殊类型的一阶方程的求解,一阶方程有时也可以写成如下的对称形式,它既可视为以 x 为自变量以 y 为未知函数的方程,也可以视为以 y 为自变量,以 x 为未知函数的方程,很重要的观点,考虑方程,或写成,两边积分得,但并不是所有的一阶方程都能象上面那样采取两边积分的方法来求它的通解,如,困难就在于方程的右端含有未知函数,积分,求不出来,为了解决这个问题,方程的两边。</p><p>9、一、可分离变量的微分方程,二、齐次方程,四、变量代换法解方程,第二节 一阶微分方程,三、一阶线性微分方程,一、可分离变量的微分方程,如果一阶微分方程可以化为下列形式：,则称原方程为可分离变量的微分方程。,运用积分方法即可求得可分离变量方程的通解：,其中C 为积分后出现的任意常数。,例1 求微分方程,解,分离变量,两端积分,解,两边同时积分，得,故所求通解为,二、齐次方程,变量代换,代入原方程，得,形如,解,于是，原方程化为,两边积分，得,即,例4 求解微分方程,微分方程的通解为,解,例5 求解微分方程,解,微分方程的解为,三、一阶线性。</p><p>10、转化,可分离变量微分方程,第二节,解分离变量方程,可分离变量方程,第七章,一阶微分方程,一般形式：,特殊一点的形式：,如,如,一阶微分方程,也可写成对称形式,若将x视为自变量，y为因变量，方程可改写为,若将y视为自变量，x为因变量，方程可改写为,即便是一阶微分方程,也没有一种统一求解的方法。 微分方程必须根据不同的类型，用不同的方法求解。 所以判别微分方程的类型十分重要。 下面几节将讨论几种常见类型的方程的解法。,其中2-4节，讨论一阶微分方程求解 5-8节，高阶微分方程求解,最简单的一阶微分方程：,通解：,例如,无法积分,两边同。</p><p>11、转化,可分离变量微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第二节,解分离变量方程,可分离变量方程,第十二章,分离变量方程的解法:,设 y (x) 是方程的解,两边积分, 得,则有恒等式,这说明方程的解y (x) 满足代数方程式.,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,反之，设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,是隐函数方程的解。,当G(y) 与F(x) 可微且,时,根据隐函数,求导法则有,这说明,是微分方程的解。,同理,当,时，,由确定的隐函数,x(y) 也是的解.,称为方程的隐式通解, 或通积分.,例1. 求微分方程,的通解.,解: 分离变量得,两边积分,得,即,( C 为任意。</p><p>12、2,第二节 可分离变量的微分方程,形如,的一阶微分方程叫做已分离变量方程 .,设 是方程的解 ,两边积分, 则有,即,(称为通积分),形如,的方程都叫做可分离变量方程 .,可化为已分离变量形式,求解.,则有恒等式,或,3,例1. 求微分方程,的通解.,解: 分离变量得,两边积分,得,即,令,( C 为任意常数 ),或,说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可,能增、减解.,如此例, y = 0 也是原 方程的解 , 但在变量 分离时丢失了此解.,4,例2. 解下述初值问题,解: 分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数 ),故所求特解为,5,求方程 的。</p><p>13、形式：,解法：分离变量，初等积分。,12.2 (一)可分离变量的微分方程,例1(1) 求解微分方程,解,分离变量,两端积分,通解,且已包含,例1(2) 求解微分方程的通解,通过变量代换解决，先考虑。稍后讲,解,由题设条件,例5,有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.,解,由力学知识得,单位时间水从孔口流出的流量为,设在微小的时间间隔,水面的高度由h降至 ,比较(1)和(2)得:,即为未知函数的微分方程.,可。</p><p>14、第二节 可分离变量的微分方程,一、一阶微分方程,二、可分离变量的微分方程及其求解,华南理工大学数学科学学院 杨立洪 博士,一、一阶微分方程,首先，对一阶微分方程作一次概要的介绍：,例 一阶微分方程：,也可以写成,一般，一阶微分方程都具有以下三种等价形式：,问题：如何求解一阶微分方程？难！,问题的简化：以下几节我们只讨论几种特殊 类型的一阶微分方程：,二、可分离变量的微分方程及其求解,如果一阶微分方程能化成,（4）,的形式，则该一阶微分方程称为可分离变量的,微分方程,什么方程是可分离变量的微分方程呢？,第二步：两边积分,。</p><p>15、一、可分离变量的微分方程,可分离变量的微分方程.,解法,为微分方程的解.,分离变量法,例1 求解微分方程,解,分离变量,两端积分,二、典型例题,解,分离变量,两端积分,将,代入上式，得,所以原方程的通解为,所以原方程的特解为,即,。,解,由题设条件,衰变规律,例 4,有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.,解,由力学知识得,水从孔口流出的流量为,设在微小的时间间隔,水面的高度由h降至 ,比较(1)。</p><p>16、代入原方程, 得,解法：,特点：,P(x)的(n-k)阶方程,可得通解.,一、 型,解,代入原方程,解线性方程, 得,两端积分,得,原方程通解为,例 1,求得其解为,原方程通解为,特点：,解法：,二、 型,解,代入原方程得,原方程通解为,例 2,特点,解法：,类似于全微分方程可降低一阶,再设法求解这个方程.,三、恰当导数方程,解,将方程写成,积分后得通解,注意:,这一段技巧性较高, 关键是配导数的方程.,例 3,特点：,解法：,四、齐次方程,解,代入原方程,得,原方程通解为,例 4,五、小结,解法,通过代换将其化成较低阶的方程来求解.,解,从而通解为,例 5,另解,原方程变。</p><p>17、第二节 可分离变量的微分方程,一、可分离变量的微分方程,二、典型例题,一、可分离变量的微分方程,形如 的方程，称为可分离变量的微分方程.,分离变量，得：,设 y= (x) 是方程的解,则有恒等式：,两边积分, 得,即：,设函数 G(y) 和 F(x) 是 g(y) 和 f(x) 的一个原函数 ,则有,当 G(y) 与F(x)可微且 G(y) =g(y)0时,说明由确定的隐函数 y=(x) 是的解.,称为方程的隐式通解, 或通积分.,同样,当F(x) = f (x) 0时,上述过程可逆,由确定的隐函数 x=(y) 也是的解.,一、可分离变量的微分方程,形如 的方程，称为可分离变量的微分方程.,求解步骤： (变量分。</p><p>18、第二节 一阶可分离变量的微分方程,高等数学 05-02-01,一阶可分离变量的微分方程 形如,高等数学 05-02-02,的微分方程，称为一阶可分离变量的微分方程。,解法（分离变量法）,高等数学 05-02-03,分离变量,两边积分,得通解,例 试判断下列微分方程是否为可分离变量的微分方程。,是,是,不是,是,高等数学 05-02-04,（1）,（2）,（3）,（4）,例 求微分方程 的通解。,高等数学 05-02-05,例 求微分方程 的通解。,高等数学。</p><p>19、12-2 可分离变量的微分方程,研究对象 解法 举例,隐式（通）解,注意对方程的解中 任意常数的处理哦！,思考：,例 4,有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.,解,由力学知识得,水从孔口流出的流量为,设在微小的时间间隔,水面的高度由h降至 ,比较(1)和(2)得:,即为未知函数的微分方程.,可分离变量,所求规律为,作业,附加题,精品课件资料分享,SL出品。</p>