多元函数微分

多元函数微分Tag内容描述：<p>1、多元函数微分关系及微分应用1 多元函数微分学是建立在一元函数微分学的基础上,由一元函数的微分学推广及发展而来的。多元函数的自变量比一元函数更多为两个或两个以上,所以多元函数微分学的情形更加多变,在一元函数里,描述函数大致性质特点的主要的定义是连续及可导可微,但是对于多元函数来说,描述其大致特点的主要定义则为连续,偏导数,可微,方向导数。尽管这些概念并不相同,但它们都是从不一样的层面来描述函数的性质,所以它们之间必然存在联系,而且梳理好各概念之间的关系对于更加清晰地了解函数的性质形态有着更为重要的意义。所以本文。</p><p>2、第八章 多元函数微分法及其应用(A)1填空题(1)若在区域上的两个混合偏导数， ，则在上， 。(2)函数在点处可微的 条件是在点处的偏导数存在。(3)函数在点可微是在点处连续的 条件。2求下列函数的定义域(1)；(2)3求下列各极限(1)； (2)； (3) 4设，求及。5求下列函数的偏导数(1)；(2)；(3)。6设，求全导数。7设，求。8曲线，在点(2,4,5)处的切线对于轴的倾角是多少？9求方程所确定的函数的偏导数。10设，求所有二阶偏导数。11设是由方程确定的隐函数，求，。12设，求。13设是由方程确定的隐函数，求，。14设，求全微分。15求函数在点的全微分。</p><p>3、专业精神 诚信教育 高等数学内部教材 严禁翻印蚀螁膀莇螂羆肆莆蒂蝿肂莅蚄肅莀莄螇袇芆莄衿肃膂莃蕿袆肈莂蚁肁羄蒁螃袄芃蒀蒃肀腿葿薅袂膅葿螇膈肁蒈袀羁荿蒇蕿螃芅蒆蚂罿膁蒅螄螂肇薄蒄羇羃薃薆螀节薃蚈羆芈薂袁袈膄薁薀肄肀薀蚃袇莈蕿螅肂芄薈袇袅膀蚇薇肀肆芄虿袃羂芃袁聿莁节薁羁芇芁蚃膇膃芀螆羀聿芀袈螃莈艿薈羈芄莈蚀螁膀莇螂羆肆莆蒂蝿肂莅蚄肅莀莄螇袇芆莄衿肃膂莃蕿袆肈莂蚁肁羄蒁螃袄芃蒀蒃肀腿葿薅袂膅葿螇膈肁蒈袀羁荿蒇蕿螃芅蒆蚂罿膁蒅螄螂肇薄蒄羇羃薃薆螀节薃蚈羆芈薂袁袈膄薁薀肄肀薀蚃袇莈蕿螅肂芄薈袇袅膀蚇薇肀肆芄。</p><p>4、设空间曲线的方程 (1)式中的三个函数均可导. 一、空间曲线的切线与法平面 时，对应点为 时，对应点为 考察割线趋近于极限位置切线的过程 上式分母同除以 割线 的方程为 割线 的方向向量为 曲线在M处的切线方程 切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. 法平面：过M点且与切线垂直的平面. 曲线在M处的切线方程 切平面方程及法线方程。 例1 求曲线 在点 的 解 求导 方向向量的各分量 故切线方程为 法平面方程为 点法式方程 1.空间曲线方程为 法平面方程为 特殊地： 练习： P106 1. 3. 设曲面方程为 曲线在M处的切向量 在曲面上任取一条通 。</p><p>5、第八章多元函数微分法及其应用第一节 多元函数的基本概念教学目标：掌握多元函数的概念，掌握二元函数的几何表示、极限、连续的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质.课时安排：2课时重点：多元函数的极限、多元函数的连续性难点：多元函数的连续性教学法：讲授法一 平面点集 n维空间 平面点集 ，坐标系平面； Def：坐标平面上具有某种性质的点的集合。记为 如 ：圆内： 邻域：设为xoy平面上一点，。与的距离小于的点的全体称为点的邻域， 记为： 注：几何上：圆内部的点全体；。 内点，外点，边界点内点：若点P的某个邻域，则称P为E的内。</p><p>6、第一节 微分法在几何上的应用 一、空间曲线的切线与法平面 二、 曲面的切平面与法线 三、 小结 设空间曲线的方程 一、空间曲线的切线与法平面 (1)式中的三个函数均可导. 割线 的方向向量为: 或者 对应于 考察割线趋近于极限位置切线的过程 割线 的方程为: 曲线在M处的切线的方向向量为 切线方程为 法平面：过M点且与切线垂直的平面. 例1 求曲线 在(1,1,1)点处的切线及 法平面方程。 解 故切线方程为 法平面方程 解 切线方程 例2 法平面方程 给出曲线的参数方程求切线及法平面方 程的步骤： （1）给出参数值求出对应的点；给出 点的坐标求。</p><p>7、第十七章 多元函数微分学一、 证明题1. 证明函数在点(0,0)连续且偏导数存在,但在此点不可微.2. 证明函数在点(0,0)连续且偏导数存在,但偏导数在点(0,0)不连续,而f在原点(0,0)可微.3. 证明: 若二元函数f在点p(x0,y0)的某邻域U(p)内的偏导函数fx与fy有界,则f在U(p)内连续.4. 试证在原点(0,0)的充分小邻域内有x+y.5. 试证:(1) 乘积的相对误差限近似于各因子相对误差限之和;(2) 商的相对误差限近似于分子和分母相对误差限之和.6.设Z=,其中f为可微函数,验证+=.7.设Z=sin y+f(sin x-sin y),其中f为可微函数,证明: sec x + secy=1.8.设f(x,y)可微,。</p><p>8、多元函数微分法及其应用 第八章习题课 一、关于多元函数极限的题类 二、关于多元函数连续、偏导数存在、可微的题类 三、关于复合函数求导、隐函数求导，全微分计算题类 四、关于多元函数极(最)值的题类 一、关于多元函数极限的题类 【例1】 【解 】 故所求极限不存在. 极限与k有关, 【例2】求下列极限 连续性 代入法 坐标变换或放缩 根式换元或坐标变换，化为一 元函数的极限，用洛必达法则 【说明】自变量分先后次序变，称二次极限,这种极限是 两个极限过程；而二重极限是一个极限过程.两者不同. 例如两个二次极限 存在 而二重极限不存在。</p><p>9、高等数学教案 第八章 多元函数微分法及其应用第八章 多元函数微分法及其应用教学目的：1、 理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。2、 了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。3、 理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。4、 理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。5、 掌握多元复合函数偏导数的求法。6、 会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。7、 了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它。</p><p>10、推广 第九章 一元函数微分学 多元函数微分学 NOTE: 善于类比, 区别异同 多元函数微分学 第一节 一、区域 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的概念 一、 区域 1. 邻域 点集 称为点 P0 的邻域. 例如,在平面上, (圆邻域) 在空间中, (球邻域) 说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成 点 P0 的去心邻域记为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在讨论实际问题中也常使用方邻域, 平面上的方邻域为 。 因为方邻域与圆 邻域可以互相包含. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 区域 (1)。</p><p>11、多元微积分的概念、理论、方法是一元微 积分中相应概念、理论、方法的推广和发展， 它们既有相似之处（概念及处理问题的思想方 法）又有许多本质的不同，要善于进行比较， 既要认识到它们的共同点和相互联系，更要注 意它们的区别，研究新情况和新问题，深刻理 解，融会贯通。 多元函数微分学 在上册中，我们讨论的是一元函数微积分 ，但实际问题中常会遇到依赖于两个以上自变量 的函数多元函数，也提出了多元微积分问题。 重点 多元函数基本概念，偏导数，全微分， 复合函数求导，隐函数求导，偏导数的几何 应用，多元函数极值。 难点 复。</p><p>12、第八章 多元函数微分法及其应用(A)1填空题(1)若在区域上的两个混合偏导数， ，则在上， 。(2)函数在点处可微的 条件是在点处的偏导数存在。(3)函数在点可微是在点处连续的 条件。2求下列函数的定义域(1)；(2)3求下列各极限(1)； (2)； (3) 4设，求及。5求下列函数的偏导数(1)；(2)；(3)。6设，求全导数。7设，求。8曲线，在点(2,4,5)处的切线对于轴的倾角是多少？9求方程所确定的函数的偏导数。10设，求所有二阶偏导数。11设是由方程确定的隐函数，求，。12设，求。13设是由方程确定的隐函数，求，。14设，求全微分。15求函数在点的全微分。</p><p>13、一、多元复合函数的求导法则 三、隐函数的求导公式 Ch7-4 多元函数的微分法 一元复合函数 求导法则 微分法则 二、多元复合函数的全微分 一、多元复合函数的求导法则链式法则 在点 t 可导, 则复合函数 且有链式法则 若定理中 偏导数连续减弱为偏导数存在, 则定理结论不一定成立. 定理 若函数 在点(u,v)处的偏导连续, 在 t 可导， 说说 明明 1. 链式法则 推广: 1) 中间变量多于两个的情形. 例如, 设下面所涉及的函数都可微 . 2) 中间变量是多元函数的情形. 例如, 当它们都具有可微条件时, 有 注意: 这里 表示固定 y 对 x 求导,表示固定 v 对。</p><p>14、医用高等数学,”,第三节 多元函数微分法,一、复合函数微分法,二、隐函数微分法,这一法则称为一元复合函数的锁链式求导法.现在,我们将这一法则推广到多元复合函数.,一、复合函数微分法,1. 中间变量是二元函数的情形,其中,定理4-4 设函数 、 在点 的偏导数都存在,函数在 对应点 可微，则复合函数 在点 处存在对 、的偏导数,且,锁链式法则如图示,(1) 单链是导数关系,多链是偏导关系;,(2) 一条链之间,依次求导相乘;,(3) 各条链之间,求导后逐渐相加.,注意 上述运算法则对中间变量或自变量多于或少于两个的情形仍然适用.,解:,例4-20 设 , 而 ， 。</p><p>15、螁聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆蚃蚆袀莂蚂螈肅芈蚁羀袈芄蚁蚀膄膀蚀螂羆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆螆蝿羃蒅螅袁膈莁螅肃羁莇螄螃芇芃莀袅肀腿荿羈芅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿蒇袂肆膅蒆羄衿蒄蒅蚄肄蒀蒄袆袇莆蒃罿膃节蒃蚈羅膈蒂螁膁蒆蒁袃羄莂薀羅腿芈蕿蚅羂膄薈螇膈膀薇罿肀葿薇虿芆莅薆螁聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆蚃蚆袀莂蚂螈肅芈蚁羀袈芄蚁蚀膄膀蚀螂羆蒈虿袅膂莄蚈羇羅芀蚇蚇膀膆螆蝿羃蒅螅袁膈莁螅肃羁莇螄螃芇芃莀袅肀腿荿羈芅蒇莈蚇肈莃莈螀芃艿蒇袂肆膅蒆羄衿蒄蒅蚄肄蒀蒄袆袇莆蒃罿膃节蒃蚈羅膈蒂螁膁蒆蒁袃羄莂薀羅腿芈蕿蚅羂膄薈螇膈膀薇罿肀。</p><p>16、第八章 多元函数微分法及其应用一、多元函数的基本概念1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念2、多元函数的极限 （或）的定义 掌握判定多元函数极限不存在的方法：（1）令沿趋向，若极限值与k有关，则可断言函数极限不存在；（2）找两种不同趋近方式，若存在，但两者不相等，此时也可断言极限不存在。 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商，等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似：例1用定义证明例2（03年期末考试 三、1，5分）当时，函数的极限是否存在？证明你的结论。例3 。</p><p>17、设空间曲线的方程,(1)式中的三个函数均可导.,一、空间曲线的切线与法平面,考察割线趋近于极限位置切线的过程,上式分母同除以,割线 的方程为,曲线在M处的切线方程,切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.,法平面：过M点且与切线垂直的平面.,解,切线方程,法平面方程,1.空间曲线方程为,法平面方程为,特殊地：,2.空间曲线方程为,切线方程为,法平面方程为,所求切线方程为,法平面方程为,设曲面方程为,曲线在M处的切向量,在曲面上任取一条通过点M的曲线,二、曲面的切平面与法线,令,则,切平面方程为,法线方程为,曲面在M处的法向量即,垂直于曲面。</p><p>18、微积分A,刻苦 勤奋 求实 创新,理学院工科数学教学中心,第八章 多 元 函 数 微 分 学,理解多元函数的极限与连续概念,以及有界闭区域上 连续函数的性质。,理解偏导数和全微分的概念, 了解全微分存在的必 要和充分条件。理解方向导数和梯度的概念，并掌握其计算方法。掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。会求隐函数的偏导数和全导数。,了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单函数的最大值和最小值，会解一些简单应用题。,重点与难点,重点：多元函数的概念，偏导数。</p>