多元函数微积分

多元函数微积分Tag内容描述：<p>1、第第6 6章章 多元函数微积分多元函数微积分 第第1 1节节 多元函数的概念多元函数的概念 第第2 2节节 多元函数的偏导数和全微分多元函数的偏导数和全微分 第第3 3节节 多元复合函数、隐函数的求导法则多元复合函数、隐函数的求导法则 第第4 4节节 多元函数微分法的应用多元函数微分法的应用 第第5 5节节 二重积分的概念二重积分的概念 第第6 6节节 二重积分的计算二重积分的计算 第第7 7节节 二重积分的应用二重积分的应用 6.1 6.1 多元函数的概念多元函数的概念 二元函数的定义二元函数的定义 二元函数的几何意义二元函数的几何意义 二元。</p><p>2、第八章 多元函数微积分第八章 多元函数微积分本章主要知识点l 一阶偏导数计算l 可微与全微分l 二阶偏导数l 二重积分直角坐标系l 二重积分极坐标系一、一阶偏导数计算多元函数一阶偏导数计算主要有下面问题：（1）显式函数一阶偏导。（2）复合函数一阶偏导。（3）隐函数一阶偏导数。1显函数的一阶偏导数例8.1，求。解：例8.2，求。解：，例8.3，求。解：，。2复合函数的求偏导 我们用具体的例子来说明复合函数的求偏导的解题步骤。例如，其中为已知可微三元函数，求。第一步：变量的关系网络图其中1，2，3分别表示第二步：寻找与对应的路径。</p><p>3、第八节 利用Mathematica 求解 多元函数微积分,第八章,多元函数的定义域常用一个不等式所确定的区域 来表示，需要画出区域的图形，在程序包子集Graphics 的程序文件“InequalityGraphics.m” 中有绘制不等式确定的区域的函数。,函数语句 InequalityPlotineqs，x,xmin,xmax，y,ymin,ymax：绘制由不等式（组）ineqs所确定的平面区域。,一、由不等式确定的区域,例1 绘制由不等式|x|-|y|,1给出的平面区域。,GraphicsInequalityGraphics InequalityPlotAbsAbsx-Absy 1,x,-2,2, y,-2,2,Graphics,例2 绘制由不等式,给出的平面区域。,GraphicsInequ。</p><p>4、6.2 多元函数的基本概念,二元函数的概念,二元函数的极限,二元函数的连续性,一元函数的概念,一元函数的极限,一元函数的连续性,特别地,特别地,推广,推广,推广,一、 平面点集,二、 二元函数的概念,例6.2.2,例6.2.3,例6.2.4,三、 二元函数的极限,四、 二元函数的连续性,五、 内容小结, 思考题, 习题解答,例6.2.1,例6.2.5,例6.2.7,例6.2.6, 作业,本节内容:,1. 邻域,点集,称为点 P0 的 邻域.,例如,在平面上,(圆邻域),在空间中,(球邻域),说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成,点 P0 的去心邻域记为,一.平面点集,当不关心邻域半径时, 简记为 和 .。</p><p>5、1,8.2多元函数的概念,一、二元函数的定义与几何意义 二、二元函数的极限 三、二元函数的连续性,2,二元函数的定义,定义：设D是一个平面点集,若对于D内每个点P(x,y),变量z按照某个确定的对应法则f都有唯一确定的值和它对应,则称f是定义在D上的函数,记为z=f(x,y)。(或记为z=f(P)。),类似地可定义三元及三元以上函数: u=f(x,y,z),当n2时,n元函数统称为多元函数。,多元函数同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念。,二元函数有两个自变量,故其定义域是一个平面上的区域：Df=(x,y)| 。,3,例题与讲解,例求函数定义域：,解：,所求定义域为,4,例。</p><p>6、前言,这部分知识在一元函数微积分的基础上扩充到多元函数 微积分，说是多元，实际上也只是针对二元函数进行研究。 有了前面的基础，这部分内容是可以自学的，但还是有些难 度的。不过我们从历年的试卷中不难发现，试题的形式和难 度还是比较固定的，一般来说会出现三种题型： 一是考查对多元函数求偏导； 二是考查考查对抽象复合函数求偏导； 三是考查二重积分的计算。 这三种题型归根结底还是对一元函数求导或求积分，因 此，同学们在学习这部分知识的时候更多地要注重解题和实际应用，对于一些概念和定理的理解可以暂时地回避，也就是说。</p><p>7、第八章 多元函数微分学 8.1 多元函数的极限与连续 8.2 偏导数 8.3 全微分 8.4 多元复合函数微分法 8.5 隐函数的微分法 8.6 多元函数微分法在几何上的应用 8.7 方向导数和梯度 8.8 多元函数的极值 8.9 * 二元函数的泰勒公式 8.10 * 最小二乘法,8.1 多元函数的极限与连续,8.1.1 平面点集的知识,有序实数对集 ：,“ 有序实数对 ”,与 “ 平面上的点 ” 不加区别 .,例如：,二维空间：,1. 邻域,定义,邻域 .,空（去）心邻域 :,2. 内点：,4. 界点：,3. 外点：,边界,内点,5. 聚点:,(a) 内点一定是聚点；,注：,例:,(b) 点集 的聚点可以属于 ，也可。</p><p>8、多元函数微积分,多元函数的极限与连续 多元函数微分学 隐函数定理及其应用 含参量积分 曲线积分 重积分 曲面积分,第16章 多元函数的极限与连续,1 平面点集与多元函数 （了解平面点集的有关概念、平面上的完备性定理、多元函数的概念 ）,一、 平面点集,坐标平面 ,平面点集 E=(x,y)|(x,y)满足的条件,邻域 U(A,)=(x,y)|(x-x0)2+(y-y0)22 U(A,)=(x,y)|x-x0|,|y-y0|,空心邻域 U0(A,)=(x,y)|0(x-x0)2+(y-y0)22 U(A,)=(x,y)|x-x0|,|y-y0|,(x,y)(x0,y0),（一）下面利用邻域描述点和点集的关系,() 内点 U(A)E,() 外点 U(A)E=,() 界点 U(A)E 且 U(A)。</p><p>9、第八章 多元函数微积分学,8.1 预备知识,8.2 多元函数的概念,8.3 偏导数与全微分,8.5 多元函数的极值与最值,8.6 二重积分,8.4 复合函数与隐函数微分法,区域,（1）邻域,连通的开集称为区域或开区域,（2）区域,8.1 预备知识,平面方程,一般式：,截距式：,球面方程,标准式：,一般式：,练 习 一,例1：已知平面与 轴、 轴、 轴的截距依次,为3，4，5，则平面方程为。,例2: 球心为（3，4，5）半径为6的球面方,程为。,8.2 多元函数的概念,一、 多元函数的定义 二、 二元函数的极限 三、二元函数的连续性,一、多元函数的定义,定义,类似地可定义三元及。</p><p>10、多 元 函 数 微 积 分,空间解析几何简介,二元函数的概念,偏导数和全微分,第五章,多元复合函数与隐函数的微分法,多元函数的极值,二重积分,空间解析几何简介,二元函数的概念,平面直角坐标系,o,平面内任取一点O原点,过O点另作一垂线y轴（纵轴）,过O点做一直线x轴（横轴）,两坐标轴分平面为、 象限,实数对（x，y）对应平面内的点P，记作P（x，y），分别 称数x为点P的横坐标，数y为点P的纵坐标。,平面内的点与实数对一一对应,空间解析几何简介,空间直角坐标系（三维直角坐标系）,右 手 原 则,平面,平面,平面,三个坐标平面分空间为八个卦限 （演。</p><p>11、7.6 二重积分,二重积分的概念,二重积分的性质,二重积分的计算,小结,思考与练习,在这一节，我们将把一元函数定积分的概念及基本性,质推广到二元函数的定积分，即二重积分，为引出二重积,分的概念，我们先来讨论两个实际问题。,1.曲顶柱体的体积,体积公式来计算，但可采用这样的思想方法,二重积分的概念,（1）分割,（2）近似,即,(3)求和,就得到所求的曲顶柱体的体积的近似值，,即,（4）取极限,即,2.平面薄板的质量,上面两个问题所要求的，都归结为同一形式的和的极限。,在其他学科中，由许多物理量和几何量也可归结为这一形式的 和的极限。。</p><p>12、1,第八章 多元函数微积分,8.1预备知识 8.2多元函数的概念 8.3偏导数与全微分 8.4多元复合微分法/隐函数微分法 8.5高阶偏导数 8.6多元函数极值与最值 8.7二重积分,2,8.1预备知识,一、空间直角坐标系与空间的点 二、空间曲面与方程 三、平面区域的概念 在本节中我们将介绍一些有关空间解析几何和平面区域的基本常识，这将有助于大家理解多元函数的概念。,3,可设想n元数组(x1,xn)与n维空间中的点一一对应,尽管画不出!,z0,x0,空间直角坐标系,实数x可与数轴上的点x一一对应。 二元数组(x,y)与坐标平面上的点(x,y)一一对应。 建立了空间直角坐标。</p><p>13、第七章 空间解析几何与向量代数,7.1 向量及其线性运算,7.2 数量积 向量积 混合积,7.4 空间曲线及其方程,7.3 曲面及其方程,7.5 平面及其方程,7.6 空间直线及其方程,矢量纵横八卦，代数析解几何。,一、背景知识,应用代数方法研究图形性质的数学学科。,1、解析几何变量数学的开端。,恩格斯曾指出，微积分是变量数学的最重要部分；他还说: “数学中的转折点是笛卡尔的变数。有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了，而它们也就立刻产生；”所以学习微积分，除了应当具备初等数学的知识以外。还必须具备最初引入变数的学科解析几何的基础知。</p><p>14、实验04 多元函数微积分 一 实验目的 2 二 实验内容 2 三 实验准备 2 四 实验方法与步骤 3 五 练习与思考 7 一 实验目的 1 了解多元函数 多元函数积分的基本概念 多元函数的极值及其求法 2 理解多元函数的偏导数 全。</p><p>15、1 习题 1 1 解答 1 设 y x xyyxf 求 1 1 1 yxfy x xyf yx fyxf 解 y x xyyxf xxy y yxf yx y x xyf x y xyyx f 2 22 1 1 1 1 2 设yxyxflnln 证明 vyfuyfvxfuxfuvxyf lnlnlnlnlnlnlnln ln lnln ln ln ln vyfuyfvxfuxf vyuyvxux。</p><p>16、一 空间曲线的切线与法平面一 空间曲线的切线与法平面 设空间曲线的方程设空间曲线的方程 1 tz ty tx o z y x 1 式中的三个函数均可导 式中的三个函数均可导 M M M 6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用 Mt t 000 xyz 0 t 000 xx yy zz 0 tt 一 空间曲线的切线与法平面一 空间曲线的切线与法平面 设空间曲线的方程设空间曲线的方程 1。</p><p>17、习题1 1解答 1 设 求 解 2 设 证明 3 求下列函数的定义域 并画出定义域的图形 1 2 3 4 y x 1 1 1 1 O 解 1 y x 1 1 1 1 O 2 y x a b c O z a b 3 4 y x O z 4 求下列各极限 1 2 3 4 5 证明下列极限不存在 1 2 1 证明 如果动点沿趋向 则 如果动点沿趋向 则 所以极限不存在 2 证明 如果动点沿趋向 则 如果。</p>