二重积分的计算

二重积分的计算Tag内容描述：<p>1、第二节 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的计算法（2） 第八章 复习：一、利用直角坐标计算二重积分 在D上连续时, 由曲顶柱体体积的计算可知, 若D为 X 型区域 则 若D为Y 型区域 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、利用极坐标计算二重积分 在极坐标系下, 用同心圆 r =常数 则除包含边界点的小区域外,小区域的面积可以近似地 及射线 =常数, 分划区域D 为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 看作是一个小长方形的面积 对应有在内取点 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注 。</p><p>2、x O D y y x y O ab x D 在直角坐标系下二重积分的计算的公式有 d c 1 9.3 二重积分的换元法 在计算定积分时, 换元法是一种强有力的方法. 在计 不易计算时, 算二重积分时, 也常用此法. 特别是二重积分 上的二重积分, 以达到简化二重积分的计算. 那么这两个二重积分有何关系呢？ 把 xy 平面内区域 D上的二重积分, 变成 uv 平面内区域 (x, y)的特点, 用一个适当的变换 我们也可根据积分区域D的形状和被积函数 2 定理2 若(x, y)在 xy 平面的闭区域D上连续, 且变换 (1) 与 在 uv 平面的闭区域 上具有一阶连续 (2)它将xy平面上的区域D 一对一地。</p><p>3、目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 二重积分的定义 2. 二重积分的性质 (与定积分性质相似) 3. 曲顶柱体体积的计算二次积分法 目录 上页 下页 返回 结束 *三、二重积分的换元法 第二节 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 二重积分的计算法 第九章 目录 上页 下页 返回 结束 且在D上连续时, 由曲顶柱体体积的计算可知, 若D为 X - 型区域 则 若D为Y - 型区域 则 一、利用直角坐标计算二重积分 目录 上页 下页 返回 结束 当被积函数 均非负 在D上变号时, 因此上面讨论的累次积分法仍然有效 . 由于 目录 上页 下页 。</p><p>4、第二节 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的计算法 第九章 一、利用直角坐标计算二重积分 且在D上连续时, 由曲顶柱体体积的计算可知, 若D为 X 型区域 则 若D为Y 型区域 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 当被积函数 均非负 在D上变号时, 因此上面讨论的累次积分法仍然有效 . 由于 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: (1) 若积分区域既是X型区域又是Y 型区域 , 为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. 则有 (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 X-型域或Y-型。</p><p>5、利用极坐标计算二重积分 将典型小区域近似看作矩形（面积=长宽） 则 面积元素 扇形 弧长 径向 宽度 则 二重积分极坐标表达式 一、极坐标系下二重积分表达式 二、极坐标下二重积分化为二次积分 区域特征如图 （1）极点O在区域D的边界曲线之外时 （2）极点O恰在区域D的边界曲线之上时 区域特征如图 极坐标系下区域的面积 区域特征如图 （3）极点O在区域D的边界曲线之内时 小结 一、极坐标计算二重积分的步骤： （1）区域D表达为极坐标范围 （2）直角坐标系下二重积分化为极坐标系下二重积分 （3）极坐标系下二重积分化为极坐标系下二次积分 。</p><p>6、利用直角坐标系计算二重积分 2/299.2 二重积分的计算法 其中函数 、 在区间 上连续. (1)X型域 预备知识:X型,Y型区域 2.公式推导 三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算 1.X型,Y型区域3.几点说明 （一）直角坐标系下计算 【X型区域的特点】 穿过区域且平行于y 轴的直线与区 域边界相交不多于两个交点. 3/299.2 二重积分的计算法 (2)Y型域 2.公式推导 三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算 1.X型,Y型区域3.几点说明 4/299.2 二重积分的计算法 (3)既非X型域也非Y型域如图 在分割后的三个区。</p><p>7、1,第二节 二重积分的计算法,计算二重积分的方法:,二重积分,累次积分(即两次定积分).,2,在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，,故二重积分可写为,则面积元素为,一、利用直角坐标系计算二重积分,3,(2)如果积分区域为：,其中函数 、 在区间 上连续.,X型,4,回忆：平行截面面积为已知的立体的体积,立体体积,5,计算截面面积,( 红色部分即A(x0) ),以D为底,以曲面,为顶的曲顶柱体的体积.,应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法.,用二重积分的几何意义说明其计算法:,是区间,为曲边的曲边梯形.,为底,曲线,6,先对y后对x的二。</p><p>8、如果积分区域为：,其中函数 、 在区间 上连续.,一、利用直角坐标系计算二重积分,X型,应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得,如果积分区域为：,Y型,X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,若区域如图，,在分割后的三个区域上分别使用积分公式,则必须分割.,解,积分区域如图,解,积分区域如图,解,原式,解,练习1：,注：,注：,练习2：,练习2：,比较麻烦；要仔细选择积分次序。,练习3：,练习3：,若先对y积分：,比较麻。</p><p>9、二重积分在直角坐标系下的计算,二、典型例题,一、二重积分计算公式,三、利用对称性简化二重积分的计算,想一想：能不能用定积分的方法来求曲顶柱体的体积？,利用平行截面面积为已知的几何体体积的计算方法,.,曲顶柱体的体积,.,曲顶柱体的体积,综合上述两种“曲顶柱体”体积计算方法，得到,就是说，二重积分可以通过 两次定积分来计算。,如果积分区域为：,其中函数 、 在区间 上连续.,一、利用直角坐标系计算二重积分,X型,特点:穿过D内部且垂直于x轴的直线与D的边界相交不多于两点.,应用计算“平行截 面面积为已知的立体 体积”的方法,X型,。</p><p>10、二重积分的计算,两类区域上二重积分的计算,一般区域上二重积分的计算,交换累次积分的次序,二、二重积分的一般变量代换,一、利用直角坐标系计算二重积分,三、利用极坐标系计算二重积分,如果积分区域为：,其中函数 、 在区间 上连续.,X型,一、利用直角坐标系计算二重积分,应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得,如果积分区域为：,Y型,X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,若区域如图，,在分割后的三个区域上分。</p><p>11、第八节 直角坐标系下二重积分的 计算,一、矩形区域上二重积分的计算,即：矩形区域上的二重积分可以化为任何一种次序的累次积分,此时，选择哪种次序就看被积函数（积分要简单）,二、一般区域上二重积分的计算,1.x-型区域与y-型区域,如果积分区域为：,其中函数 、 在区间 上连续.,X型 区域,X型区域的特点： 穿过区域垂直于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,如果积分区域为：,其中函数 、 在区间 上连续.,Y型 区域,Y型区域的特点：穿过区域且垂直于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,2.一般区域上二重积分的计算,积分区域为X-型。</p><p>12、第一节 二重积分,一. 二重积分的定义,二. 二重积分的性质,四. 二重积分的计算,三. 二重积分的几何意义,对 D 进行分割：,小曲顶柱体,曲顶柱体的体积,引例1,(底面积),(高),小曲顶柱体的体积,.,.,小平顶柱体体积为：,近似代替,曲顶柱体的体积,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,非均匀分布时平面薄板质量问题,引例2,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,非均匀分布时平面薄板质量问题,比较分割后小曲顶柱体体积与平面薄板质量,小曲顶柱体,平面薄板小块,(底),(高),(密度),(面积),(面积),(小块),一. 二重积分的定义,两个无关,二重。</p><p>13、三、二重积分的换元法,第二节,一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二重积分的计算法,一、利用直角坐标计算二重积分,且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为 X 型区域,则,若D为Y 型区域,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,当被积函数,均非负,在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .,由于,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明: (1) 若积分区域既是X型区域又是Y 型区域 ,为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.,则有,(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干,X-。</p><p>14、6.2 二重积分的计算,一、二重积分的几何意义,前面我们已经知道：面密度为f (x,y)的平面簿片,的质量可以用二重积分表示为：,因为被积函数z=f (x,y)在几何上表示一空间曲面，假定,z=f (x,y) 0且在D上连续，下面我们将说明二重,D为底，以过D的边界曲线为准线而母线平行于z,轴的柱面为侧面，以曲面,的体积 .这样的空间立体,z=f(x,y)为顶的一空间立体,称为曲顶柱体.,分割,求曲顶柱体的体积 .的,通过分割、作乘积、,求和、取极限，,可得曲顶柱体的体积,就是曲顶柱体的体积.,在xoy平面的下方，二重积分的绝对值,是负的.,这些部分区域上曲顶柱体体。</p><p>15、在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，,故二重积分可写为,则面积元素为,当函数f(x,y)在区域D上连续时，我们可以用特定的分割 来解决定积分的计算。,9.2.1利用直角坐标计算二重积分,已知平行截面面积 的立体的体积,3积分区域D既不是X型区域也不是Y型区域。,改变二次积分次序的关键是正确画出积分区域的 图形，要经历 “由限画图”和“由图定限”两个过程。</p><p>16、1,第二节 二重积分的计算,一 、直角坐标系下的二重积分,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,X型区域的特点： 穿过区域且平行于 y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 .,Y型区域的特点：穿过区域且平行于 x 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 .,若区域如图 ，,在分割后的三个区域上分别使用积分公式,则必须分割 .,15,二、极坐标系下的二重积分,16,17,18,19,20,21,22。</p><p>17、第二节,二重积分的计算法,第九章,一、利用直角坐标计算二重积分,且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为 X 型区域,则,若D为Y 型区域,则,X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,若区域如图，,在分割后的三个区域上分别使用积分公式,则必须分割.,例1. 计算,其中D 是直线 y1, x2, 及,yx 所围的闭区域.,解法1. 将D看作X型区域, 则,解法2. 将D看作Y型区域, 则,作草图、选择类型、确定上下限-,后积先定限、限内化条线,例2. 计。</p><p>18、习题课 二重积分的计算,二重积分的计算方法是累次积分法，化二重积分为累次积分的步骤是：,作出积分区域的草图,选择适当的坐标系,选定积分次序，定出积分限,1。关于坐标系的选择,这要从积分区域的形状和被积函数的特点两个方面来考虑,一、主要内容,被积函数呈,常用极坐标,其它以直角坐标为宜,2。关于积分次序的选择,选序原则,能积分，少分片，计算简,3。关于积分限的确定,二重积分的面积元,为正,确定积分限时一定要保证下限小于上限,积分区域为圆形、扇形、圆环形,看图定限 穿越法定限 和不等式定限,先选序，后定限,直角坐标系,。先 y 后 。</p><p>19、第三节,一、利用直角坐标计算二重积分,二重积分的计算法,第八章,引入：底是矩形的曲顶柱体的体积,在区间上任意取定一点 ， 作平行于yoz面的平面, 截面是一个以 区间为底, 曲线 为曲边的曲边梯形, 其面积为 任意一点处的横截面积,该曲顶柱体的体积为,根据二重积分的几何意义, 有,综上两个表达式可得,一、利用直角坐标计算二重积分,且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为 X 型区域,则,若D为Y 型区域,则,（2)若积分区域既是X型区域又是Y型区域 ,则有,(1) X-型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,Y。</p>