空间向量的数量积运算

空间向量的数量积运算Tag内容描述：<p>1、一、引入 1.共线向量定理： 2.共线向量定理的推论： (1)若直线l过点A且与向量 平行，则 (2)三点P、A、B共线的充要条件有： 3.共面向量定理： 4.P、A、B、C四点共面充要条件： O A B C P M （2）证明：点M为AB的中点 O A B C P M 1. 数量积的定义： 我们规定零向量与任一向量的数量积为零，即 已知非零向量 与 ，我们把数量 叫 作 与 的数量积（或内积），记作 ，即 注意： (1)数量积是两个向量之间的运算，要与“数乘”相区别； (2)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，它的符号 由cos的符号决定； (3)点乘符号“ ”在向量运算中不是乘。</p><p>2、W= |F| |s| cos 根据功的计算,我们定义了平面两向量的数量积 运算.一旦定义出来,我们发现这种运算非常有用,它 能解决有关长度和角度问题. 1)两空间向量的夹角: O A B 2）两个向量的数量积 注:两个向量的数量积是数量，而不是向量. 规定:零向量与任意向量的数量积等于零. A1 B1 B A 3)空间两个向量的数量积性质 注： 性质是证明两向量垂直的依据； 性质是求向量的长度（模）的依据； 4)空间向量的数量积满足的运算律 注： 向量的数量积运算类似于多项式运算,平方 差公式、完全平方公式、十字相乘等均成立。 逆命题成立吗? 分析：要证明一条。</p><p>3、3.1.3空间向量的数量积运算 第二课时 D 在三棱锥OABC中，点M是ABC的重心 ，求证： . O A B C M 1. 空间向量共线定理 若 ，则点P、A、B共线 的充要条件是xy1。 2. 空间向量共面定理 对空间任一点O和不共线三点A、B、C， 若 ，则点P在 平面ABC内的充要条件是 xyz1. 若向量 不共线，则向量 与 共 面的充要条件是：存在惟一的有序实数 对(x，y)，使 . 3.利用空间向量共线定理和共面定 理，可以解决立体几何中的共点、 共线、共面和平行等问题，这是 一种向量方法. 1.数量积的定义 规定： （1）两向量的数量积是一个数量， 注意 已知两个非零向。</p><p>4、31.3空间向量的数量积运算空间向量的夹角提出问题如图所示，已知平面向量a，b.问题1：试作出向量a，b的夹角提示：如图，AOB为a和b的夹角问题2：若a，b为空间非零向量，两向量还有夹角吗？若有，试作出提示：有；在空间取一点O，作a，b，则AOB为两向量的夹角导入新知如果a，b，那么向量a，b互相垂直，记作ab.化解疑难1由定义知，两个非零向量才有夹角，当两个非零向量共线同向时，夹角为0；共线反向时，夹角为.2对空间任意两个非零向量a，b，有：(1)a，bb，aa，bb，a；(2)a，ba，ba，b.空间向量的数量积提出问题问题1：平面向量的数量积ab。</p><p>5、3.1.3空间向量的数量积运算(1)学习目标：掌握空间向量的数量积的定义、性质、计算方法以及运算规律；会用数量积证明空间的线线垂直复习提问：1、标出图中平面向量 与的夹角:当时，两向量互相垂直，记作： 与的夹角的范围： 2、平面向量的数量积： 规定： 自主学习：空间中任意两向量可转化为共面向量，类比平面向量，思考空间向量数量积的概念、性质及运算律：1、空间向量 与的夹角，记作： ，范围： 2、空间向量的数量积： (1) ，(2) = ，即 ；(3) 3、数量积的运算律：(1) ，(2) ，(3) ，(4) ，(5) .思考：类比平面向量，你能说出的几何。</p><p>6、3.1.3空间向量的数量积运算(2)学习目标：会利用运算律进行空间向量的运算；会用向量法解决空间的长度问题、夹角问题课前训练：1、 已知，则的夹角为 ；2、 已知，若，求的值合作探究：例1、已知在平行六面体中，AB=4，AD=3，求对角线的长小结1、向量法求长度，即 ；变式1、例2中，求的长变式2、已知线段AB，BD在平面内，线段，且AB=a，BD=b，AC=c，求C、D间的距离例2、已知S是边长为1的正三角形ABC所在平面外一点，且SA=SB=SC=1，M,N分别是AB,SC的中点，求异面直线SM与BN所成角的余弦值小结2、向量法求夹角：(1) ，(2) .变式1、如图，E是。</p><p>7、8.7空间向量的数量积运算,教学目标：,1.知识与技能：,2.过程与方法：,3.情感态度与价值观：,掌握空间向量数量积及其坐标表示，能判断向 量的共线与垂直。,体会数形结合思想；培养学生空间想象能力以及 推理论证能力。,培养学生勇于探索的求知精神，养成勤思善问的学习习惯，构建民主和谐的课堂氛围。,一、知识构建,1. 空间向量的夹角： 已知两非零向量 ，在空间任取一点O， 作 ,则 叫做向量 与 的夹角， 记作 ；规定： 2.面积公式：,判断:下列各图中 的大小是否为给出向量的夹角的 大小?,注意：在两向量的夹角的定义中，两向量必须是同起。</p><p>8、3.1.3空间向量的数量积（1）教学目标：1掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。教学重、难点：空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。 教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神教学过程1 复习引入：问题1：平面向量的夹角；问题2：平面向量数量积的定义二新课讲解：1空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；。</p><p>9、3.1.3空间向量的数量积（2）教学目标：1掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。教学重、难点：空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。 教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神教学过程1 复习引入：问题1：空间向量数量积的定义是什么？如何计算空间向量数量积？问题2：空间向量数量积的用途有哪些？ （用于求角运算问题） （用于求模运算问题） （用于判定垂直问题）问题3：。</p><p>10、3.1.3空间向量的数量积（1）教学目标：1掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。教学重、难点：空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。 教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神教学过程1 复习引入：问题1：平面向量的夹角；问题2：平面向量数量积的定义二新课讲解：1空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；。</p><p>11、3.1.3空间向量的数量积（2）教学目标：1掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。教学重、难点：空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。 教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神教学过程1 复习引入：问题1：空间向量数量积的定义是什么？如何计算空间向量数量积？问题2：空间向量数量积的用途有哪些？ （用于求角运算问题） （用于求模运算问题） （用于判定垂直问题）问题3：。</p><p>12、3.1.3空间向量的数量积运算学习目标：1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法(重点)3.能用向量的数量积解决立体几何问题(难点)自 主 预 习探 新 知1空间向量的夹角(1)夹角的定义图3115已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作a，b，则AOB叫做向量a，b的夹角，记作a，b(2)夹角的范围空间任意两个向量的夹角的取值范围是0，特别地，当0时，两向量同向共线；当时，两向量反向共线，所以若ab，则a，b0或；当a，b时，两向量垂直，记作ab.2空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b。</p><p>13、掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律 掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题,3.1.3 空间向量的数量积运算,【课标要求】,【核心扫描】,空间向量的数量积运算(重点) 利用空间向量的数量积求夹角及距离(难点) 空间向量数量积的运算律(易错点),1,2,1,2,3,1空间向量的夹角,自学导引,a，b,0，,ab,想一想：a，b与b，a相等吗？a，b与a，b呢？ 提示 a，bb，a，a，ba，b 空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a|b|cos a，b叫做a，b的数量积，记作a。</p><p>14、第2课时空间向量的数量积课后训练案巩固提升A组1.下列命题中正确的是()A.(ab)2=a2b2B.|ab|a|b|C.(ab)c=a(bc)D.若a(b-c),则ab=ac=0解析:对于A项,左边=|a|2|b|2cos2,右边=|a|2|b|2,左边右边,故A错误.对于C项,数量积不满足结合律,C错误.在D中,a(b-c)=0,ab-ac=0,ab=ac,但ab与ac不一定等于零,故D错误.对于B项,ab=|a|b|cos,-1cos1,|ab|a|b|,故B正确.答案:B2.如图,已知空间四边形每条边和对角线长都等于a,点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列向量的数量积等于a2的是。</p><p>15、3.1.3空间向量的数量积运算,根据功的计算,我们定义了平面两向量的数量积运算.一旦定义出来,我们发现这种运算非常有用,它能解决有关长度和角度问题.,回顾平面向量数量积的定义,已知两个非零向量 , 则 叫做 的数量积，记作 , 即,A,B,向量的夹角：,B,1)两个向量的夹角的定义:,2）两个向量的数量积,注:两个向量的数量积是数量，而不是向量. 规定:零向量与任意向量的数量积等于零.,A1,B1,B,A,3)数量积的主要性质：,利用空间向量数量积的性质可以解决的立体几何问题：,3）向量的夹角（两异面直线所成的角）,2）证明垂直问题,1）线段的长（两点间。</p><p>16、1,练习巩固,课本例2,复习引入,本课小结,2,练习巩固,3,2答案,4答案,3.(课本第99页第3题)已知线段AB、BD在平面 内,BDAB,线段AC ,如果ABa,BDb,ACc,求C、D间的距离.,第3题:,第4题:,4,综合,分析,数形结合,妙!,5,6,逆命题成立吗?,另外,空间向量的运用还经常用来判定空间垂直关系,证两直线垂直线常可转化为证明以这两条线段对应的向量的数量积为零.,解答,7,证明：,如图,已知:,求证：,在直线l上取向量 ,只要证,为,逆命题成立吗?,8,分析:同样可用向量,证明思路几乎一样,只不过其中的加法运算用减法运算来分析.,9,解答,分析：要证明一条直线与一个平。</p><p>17、掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律 掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题,3.1.3 空间向量的数量积运算,【课标要求】,【核心扫描】,空间向量的数量积运算(重点) 利用空间向量的数量积求夹角及距离(难点) 空间向量数量积的运算律(易错点),1,2,1,2,3,1空间向量的夹角,自学导引,a，b,0，,ab,想一想：a，b与b，a相等吗？a，b与a，b呢？ 提示 a，bb，a，a，ba，b 空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a|b|cos a，b叫做a，b的数量积，记作a。</p><p>18、课时跟踪检测（十四） 空间向量的数量积运算层级一学业水平达标1已知向量a，b是平面内两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l上，则ca0，且cb0是l的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B若l平面，则ca，ca0，cb，cb0；反之，若ab，则ca，cb，并不能保证l平面.2已知e1，e2是夹角为60的两个单位向量，则ae1e2与be12e2的夹角是()A60 B120C30 D90解析：选Bab(e1e2)(e12e2)ee1e22e1112，|a|，|b|.cosa，b.a，b120.3.如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，E。</p><p>19、2019/5/28,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,1,第九章直线、平面、简单几何体,2019年5月28日星期二,王新敞,http:/wxc.833200.com,9.5空间向量及其运算,两个向量的数量积,2019/5/28,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,2,空间向量的基本定理,如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有序实数对 x、y、z，使,A,B,D,C,O,思路：作,E,2019/5/28,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,3,推论：设点O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数对 x、y、z使,O,A,B,C,P,P,P,注：空间任意三个。</p>