连续函数的运算

连续函数的运算Tag内容描述：<p>1、福州大学数计学院1 推广： 将 换成 , 及 , , 该法则仍然成立。 推广： v v 复习 福州大学数计学院2 推广 v 将 换成 , 及 , , 该法则仍然成立。 福州大学数计学院3 v v v v 福州大学数计学院4 定理(等价无穷小替换定理) 注:对于代数和中各 无穷小不能分别替换 . v v 福州大学数计学院5 用等价无穷小可给出函数的近似表达式: 例如, 称 福州大学数计学院6 例5 解 可用函数的近似表达来解决 福州大学数计学院7 第八节 函数的连续性与 连续函数的运算 一、函数的连续性 二、函数的间断点 三、四则运算的连续性 四、反函数与复合函数的连续性 五。</p><p>2、目录 上页 下页 返回 结束 一、连续函数的运算法则 第九节 二、初等函数的连续性 连续函数的运算与 初等函数的连续性 第一章 目录 上页 下页 返回 结束 定理2. 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增. 在其定义域内连续 一、连续函数的运算法则 定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 , ( 利用极限的四则运算法则证明) 商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 . 例如, 例如,在上连续单调递增， 其反函数 (递减) (证明略) 在1, 1上也连续单调 (递减) 递增. 目录 上页 下页 返回 结束 定理3. 连续函数的复合函数。</p><p>3、第一章 函数与极限 第九节 连续函数的运算与初 等函数的连续性 1 一、四则运算的连续性 还记得函数极限的四则运算吗? 2 定理1 例如，我们已证 3 反函数的连续性反函数的连续性 y = f 1(x) 的图形只是 y = f (x) 的图形绕直线 y = x 翻转 180 而成, 故单调性、连续性仍保持. 从几何上看: x = f 1(y) 与 y = f (x) 的图形相同, 连续性保持. 从而, 单调性、 4 定理2 单调的连续函数必有单调的连续反函数 . 例如, 结论：反三角函数在其定义域内皆连续. 5 x y 1 1 Ox y 1 1 O 例如 6 证 定理3 则 7 在定理3 的条件下, 极限符号可与 连续函数符。</p><p>4、目录 上页 下页 返回 结束 一、连续函数的运算法则 二、初等函数的连续性 第九节 连续函数的运算与 初等函数的连续性初等函数的连续性 第一章 目录 上页 下页 返回 结束 定理2. 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增. 在其定义域内连续 一、连续函数的运算法则 定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 , ( 利用极限的四则运算法则证明) 商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 . 例如, 例如,在上连续单调递增， 其反函数 (递减) (证明略) 在1, 1上也连续单调 (递减) 递增. 目录 上页 下页 返回 结束 定理3. 设。</p><p>5、一、连续函数的运算法则,第九节,二、初等函数的连续性,连续函数的运算与,初等函数的连续性,第一章,定理2. 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增.,在其定义域内连续,一、连续函数的运算法则,定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 ,( 利用极限的四则运算法则证明),商(分母不为 0) 运算,结果仍是一个在该点连续的函数 .,例如,例如,在,上连续单调递增，,其反函数,(递减),(证明略),在1, 1上也连续单调,(递减),递增.,定理3. 连续函数的复合函数是连续的.,在,上连续,其反函数,在,上也连续单调递增.,证: 设函数,于是,故复合函数,。</p><p>6、常用等价无穷小:,设x=x0+Dx 则当Dx0时 xx0 因此,Dy=f(x0+Dx)-f(x0),函数的连续性定义,间断点,复习,可去型,第一类间断点,跳跃型,无穷型,第二类间断点,下页,一、连续函数的和、积及商的连续性,二、反函数与复合函数的连续性,三、初等函数的连续性,1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性,上页,下页,铃,结束,返回,首页,一、连续函数的和、积及商的连续性,定理1,例1 因为sin x和cos x都在区间(- +)内连续 所以tan x和cot x在它们的定义域内是连续的 三角函数 sin x、cos x、sec x、csc x、tan x、cot x 在其有定义的区间内都是连续的,首页,二、。</p><p>7、1,第九节 连续函数的运算,一、四则运算的连续性,二、反函数与复合函数的连续性,三、初等函数的连续性,四、小结 思考题,与初等函数的连续性,2,一、连续函数的四则运算的连续性,【定理1】,例 如 ,（上节已证）,由函数“点连续”的定义和极限四则运算法则，立得:,【推广】,有限个连续函数的和、差、积仍为连续函数。,【结论】三角函数在其定义域内连续.,若f(x) , g(x)在点x0处连续，则f(x)g(x) ，,f(x)g(x) , f(x)/g(x)g(x0)0在点x0处也连续.,3,二、反函数与复合函数的连续性,【定理2】严格单调的连续函数必有严格单调的 连续反函数.（证明略。</p><p>8、一、连续函数的运算法则,第九节,二、初等函数的连续性,连续函数的运算与,初等函数的连续性,第一章,定理2. 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增.,在其定义域内连续,一、连续函数的运算法则,定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 ,( 利用极限的四则运算法则证明),商(分母不为 0) 运算,结果仍是一个在该点连续的函数 .,例如,例如,在,上连续单调递增，,其反函数,(递减),(证明略),在1, 1上也连续单调,(递减),递增.,定理3. 连续函数的复合函数是连续的.,在,上连续,其反函数,在,上也连续单调递增.,证: 设函数,于是,故复合函数,。</p><p>9、二、 函数的间断点,一、 函数连续性的定义,第七节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数的连续性与连续函数的运算,第一章,三、 连续函数的运算,分析基础,函数,极限,连续, 研究对象, 研究方法, 研究桥梁,连续函数是微积分研究的主要对象。,连续现象、连续性是自然界、人类社会 大量呈现的基本现象。,有关连续的相关概念,自变量的改变量（增量）,函数的改变量 （增量）,说明: 1）函数,在点,一、 函数连续性（ Continuous ）的定义,定义:,在,的某邻域内有定义 ,则称函数,(1),在点,即,(2) 极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件:,存在 ;,且,有。</p><p>10、第八节 函数的连续性与 连续函数的运算,一、函数的连续性,二、函数的间断点,三、连续函数的运算,一、函数的连续性,1.函数的增量,2.连续(continuous)的定义,定义1 设函数 在 内有定义，如 果当自变量的增量 趋向于零时，对应的函 数的增量 也趋向于零，即 或 ,那末就称函数 在点 连续， 称为 的连续点.,定义2 设函数 在 内有定义,如果 函数 当 时的极限存在,且等于它在 点 处的函数值 ,即 那末就称函数 在点 连续.,定义3,设函数 在 内有定义,称函数 在点 连续.,例1,证,由定义2可推得：,例,3.单侧连续,定理,例,例2,解,例2,解,右连续但不左连。</p><p>11、第六讲 函数的连续性与连续函数的运算,内容提要 1.函数的连续性； 2. 函数的间断点； 3. 连续函数的和、差、积、商的连续性； 4.反函数、复合函数与初等函数的连续性； 5. 闭区间上连续函数的性质.,1. 理解函数在一点连续的概念，了解函数在一点处的左、右连续概念以及函数在一个区间上连续的概念； 2. 会判断函数间断点及其类型； 3.了解连续函数的和、差、积、商的连续性，知道反函数与复合函数的连续性，知道连续函数的保号性，了解初等函数的连续性； 4.掌握用连续性计算初等函数的极限； 5.了解闭区间上连续函数的性质最大、最小值定。</p><p>12、更多的学习资料见我的博客： http:/xuxzmail.blog.163.com/,本课件可以在以下网址看到： 高等数学博客： http:/xuxzmail.blog.163.com/ 2. 微积分精品课程网站：http:/219.221.200.61/2006/xiaoji/c134/Course/ 高等数学学习手册在以下书店购买： 四川大学 江安校区 商业街 红专书店,更多的学习资料见我的博客： http:/xuxzmail.blog.163.com。</p><p>13、一、连续函数的运算法则,第九节,二、初等函数的连续性,连续函数的运算与,初等函数的连续性,一、连续函数的运算法则,1.连续函数的四则运算,定理1 函数(x)与g(x)在x0 处连续,则,都在x0 处连续.,(利用极限的四则运算法则证明),在其定义域内连续,例如,2. 反函数与复合函数的连续性,定理2 设函数 y = (x)在某个区间上单调且连续, 则其反函数y= f -1(x)在相应区间上亦单调且连续.,例如,在,上连续单调递增，,其反函数,在 1 , 1 上也连续单调递增.,在,上连续 单调 递增,其反函数,在,上也连续单调递增.,又如,定理3,例如,是由连续函数链,因此,在,上。</p><p>14、第九节 连续函数的运算与性质,定理1,则,例如,故,在其定义域内连续.,反函数的连续性,定理2,单调减少)且连续,则它的反函数,也在对应,调减少)且连续.,证略,单调增加(或,单调增加(或单,例如,故,同理,反函数的连续性,定理2,单调减少)且连续,则它的反函数,也在对应,调减少)且连续.,证略,单调增加(或,单调增加(或单,同理,反函数的连续性,定理2,单调减少)且连续,则它的反函数,也在对应,调减少)且连续.,证略,单调增加(或,单调增加(或单,同理,总之,反三角函数,在它们的定义域内都是连续的.,复合函数的连续性,意义,1.,2.,定理3,且,极限符号可以与连续。</p><p>15、第十节 连续函数的运算与性质,定理1,则,例如,故,在其定义域内连续.,反函数的连续性,定理2,单调减少)且连续,则它的反函数,也在对应,调减少)且连续.,证略,单调增加(或,单调增加(或单,例如,故,同理,反函数的连续性,定理2,单调减少)且连续,则它的反函数,也在对应,调减少)且连续.,证略,单调增加(或,单调增加(或单,同理,反函数的连续性,定理2,单调减少)且连续,则它的反函数,也在对应,调减少)且连续.,证略,单调增加(或,单调增加(或单,同理,总之,反三角函数,在它们的定义域内都是连续的.,复合函数的连续性,定理3,若,连续,则有,证,恒有,又,对上述,。</p><p>16、2.3 函数的连续性,考察下列图形,定义,2.3.1 函数连续的概念,增量语言描述:,注:,定义,定理14,定义,（连续的充要条件）,解：,例1.,解:,例2.,例3.,例3.,A.四则运算法则,例 4.,2.3.2 连续函数的运算,定理 15,例 5.,证明：,结论：任何多项式及有理函数在其定义域内都是 连续函数。,推论1,推论2,定理 16,B.复合函数的连续性,证明：,意义,1.极限符号可以与函数符号互换;,例6,解,例7,解,同理可得,定理 17,即： 两个连续函数构成的复合函数在一定区间内 也是连续函数。,例10.,C. 反函数的连续性,定理 18,例如,结论：反三角函数在其定义域内皆连续.,。</p><p>17、1,1.9 连续函数的运算与 初等函数的连续性,四则运算的连续性,反函数与复合函数的连续性,小结 思考题 作业,初等函数的连续性,第一章 函数与极限,2,定理1,如,则,由于,一、四则运算的连续性,也在点 x0连续;,在其定义域内连续.,在点 x0连续;,在点 x0连续.,3,如,结论: 反三角函数在其定义域内皆连续,定理2,故,同理,二、反函数与复合函数的连续性,单调增加,且连续,单调的连续函数,必有单调的连续反函数.,也是单调增加且连续.,单调减少且连续.,单调增加且连续.,单调减少且连续.,4,此定理对计算某些极限是很方便的.,定理3,设函数,是由函数,与函数,。</p><p>18、一、连续函数的运算法则,第九节,二、初等函数的连续性,连续函数的运算与,初等函数的连续性,第一章,定理2. 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增.,在其定义域内连续,一、连续函数的运算法则,定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 ,( 利用极限的四则运算法则证明),商(分母不为 0) 运算,结果仍是一个在该点连续的函数 .,例如,例如,在,上连续单调递增，,其反函数,(递减),(证明略),在1, 1上也连续单调,(递减),递增.,定理3. 连续函数的复合函数是连续的.,在,上连续,其反函数,在,上也连续单调递增.,证: 设函数,于是,故复合函数,。</p><p>19、一、连续函数的运算法则,第九节,二、初等函数的连续性,连续函数的运算与,初等函数的连续性,第一章,定理2. 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增.,在其定义域内连续,一、连续函数的运算法则,定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 ,( 利用极限的四则运算法则证明),商(分母不为 0) 运算,结果仍是一个在该点连续的函数 .,例如,例如,在,上连续单调递增，,其反函数,(递减),(证明略),在1, 1上也连续单调,(递减),递增.,定理3. 连续函数的复合函数是连续的.,在,上连续,其反函数,在,上也连续单调递增.,证: 设函数,于是,故复合函数,。</p><p>20、一、连续函数的运算法则,第九节,二、初等函数的连续性,连续函数的运算与,初等函数的连续性,第一章,定理2. 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增.,在其定义域内连续,一、连续函数的运算法则,定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 ,( 利用极限的四则运算法则证明),商(分母不为 0) 运算,结果仍是一个在该点连续的函数 .,例如,例如,在,上连续单调递增，,其反函数,(递减),(证明略),在1, 1上也连续单调,(递减),递增.,在,上连续,其反函数,在,上也连续单调递增.,又如,单调 递增,定理3,证：,将上两步合起来:,意义,1.极限符号可以。</p>