立体几何中的向量

立体几何中的向量Tag内容描述：<p>1、向量在立体几何中的应用 中文摘要 立体几何中的基本思想是用代数的方法来研究几何。为了把代数运算引导几何 中来，最根本的做法就是把空间的几何结构有系统的代数化，数量化。向量代 数是立体几何中的应用性最好的量，用向量来证明立体几何中的点，线，面之 间的位置关系及其解决度量问题显得明快，简捷和容易的方法。 关键词：向量；方向向量；法向量；点；直线；平面；平行；垂直；夹角。 Quadratic curves of the nature of the midpoint string Abstract The basic idea is solid geometry with algebra approach to studying geometr。</p><p>2、第1讲讲 立体几何中的向量方法 高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)空间向量的坐 标表示及坐标运算，属B级要求；(2)线线、线面、面面平行 关系判定，属B级要求；(3)线线、线面、面面垂直的判定， 属B级要求；(4)求异面直线、直线与平面、平面与平面所成 角，属B级要求. 真 题 感 悟 考 点 整 合 1.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法 设直线l的方向向量为a(a1，b1，c1)，平面，的法向量 分别为(a2，b2，c2)，(a3，b3，c3)，则 (1)线面平行 laa0a1a2b1b2c1c20. (2)线面垂直 laaka1ka2，b1kb2，c1kc2. (3)面面平行 a2a3，b2b。</p><p>3、研究 从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几何中的应用. 为了用向量来研究空间的线面位置关系，首先我 们要用向量来表示直线和平面的“方向”。那么 如何用向量来刻画直线和平面的“方向”呢？ 一、直线的方向向量 A B 直线l上的向量 以及与 共线 的向量叫做直线l的方向向量。 由于垂直于同一平面的直线是互相平行的, 所以，可以 用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”。 二、平面的法向量 平面的法向量：如果表示向量 的有向线段所在直线垂 直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ,记作 ， 如果 ，那 么 向 量 叫。</p><p>4、http:/www.ehappystudy.com 快乐学习，尽在中小学教育网例谈立体几何中距离与角的向量求法张黎庆用向量方法探求立体几何问题，是高中数学新教材的一大改革，高中数学课程标准指出：立体几何教学采用传统的综合法与向量法相结合，以向量法为主，这充分体现向量的工具作用。本文就立体几何中距离与角的向量求法举例说明，供参考。一、求距离例1 （2003年联赛山东预赛，19）如图1，已知正方体的棱长为2，点E是棱CD的中点，求异面直线的距离。图1解：以DA、DC、分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则A1（2，0，2）、C1（0，2，2）、B1（2，。</p><p>5、上一节的课 外思考题 练习巩固 引入 方法的分析 课外练习 1 A1 B1 C1 D1 A B C D H 分析：面面距离转化为点面距离来求 尝试： 所求的距离是 课本第114页例1的思考(3) 晶体中相对的两个平面之间的距离是多少?(设棱长为1) 几何法较难,如何用向量知识求点到平面的距离? 几何分析 加向量运算 妙!妙!妙! 能否用法向量运算求解呢? 可证得 2 如何用向量法求点到平面的距离： 思考题分析 3 详细答案 D A B C G F E x y z 4 D A B C G F E x y z 5 1答案2答案 A P D C B M N 2.(课本第116页练习2)如图，60的二面角的棱上有A、B两点， 直线AC、BD分。</p><p>6、限时集训（十二）空间几何体、空间中的位置关系基础过关1.如图X12-1所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱BB1的中点,用过点A,E,C1的平面截去该正方体的上半部分,则剩余的几何体的侧视图为()图X12-1AB CD图X12-22.某几何体的三视图如图X12-3所示,则该几何体的体积是()图X12-3A.12B.16C.323D.243.已知m和n是两条不同的直线,和是两个不重合的平面,那么下面给出的条件中一定能推出m的是()A.且mB.且mC.mn且nD.mn且n4.某几何体的三视图如图X12-4所示,图中正方形的边长均为6,俯视图中的两条曲线均为圆弧,则该几何体的体积为()图X12-4A.216-3B.216-4。</p><p>7、第12讲空间几何体、空间中的位置关系1.(1)2018全国卷中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图M4-12-1中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()图M4-12-1图M4-12-2(2)2013全国卷一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到的正视图可以为 ()图M4-12-3试做命题角度由直观图求三视图的问题关键一:注意正视图、侧视图。</p><p>8、第12讲空间几何体、空间中的位置关系1.(1)2018全国卷中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图M4-12-1中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()图M4-12-1图M4-12-2(2)2013全国卷一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到的正视图可以为 ()图M4-12-3试做命题角度由直观图求三视图的问题关键一:注意正视图、侧视图。</p><p>9、第八章 立体几何 8.7 立体几何中的向量方法(一)证明平行与垂直 理1直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面内两不共线向量，n为平面的法向量，则求法向量的方程组为2用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2(或l1与l2重合)v1v2.(2)设直线l的方向向量为v，与平面共面的两个不共线向量v1和v2，则l或l存在两个实数x，y，使vxv1yv2.(3)设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则l或lvu.(4)设平面和的。</p><p>10、立体几何中的向量方法适用学科高中数学适用年级高中二年级适用区域通用课时时长（分钟）90知识点用空间向量处理平行垂直问题；用空间向量处理夹角问题.教学目标1. 理解直线的方向向量与平面的法向量；2. 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；3. 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）4. 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法的作用教学重点用向量方法解决立体几何中的有关问题教学难点用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题教学过程一、课堂导入空间平行。</p><p>11、立体几何中的向量方法(二)求空间角和距离1 空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角满足cos |cosm1，m2|.(2)设直线l的方向向量和平面的法向量分别为m，n，则直线l与平面所成角满足sin |cosm，n|.(3)求二面角的大小1如图，AB、CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小，2如图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足cos cosn1，n2或cosn1，n22 点面距的求法如图，设AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则B到平面的距离d.1 判断下面结论是否正确(。</p><p>12、用向量法推断 线面位置关系,基本原理,设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面，的法向量分别为u，v，则,例1 四棱锥PABCD的底面为正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，点E为PC的中点，作EFPB交PB于点F，求证： （1）PA/平面BDE；（2）PB平面DEF.,O,例2 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、 F分别是AC、A1D上的点，且EFAC，EFA1D，求证:EF/BD1.,例3 在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB ，AD1，AA1 ，M是BB1的 中点，求证：BD1AM.,例4 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱AB和BC的中点，试在棱BB1上找一点M，使D1M平面EFB1.,M,作业： P107练习：1. P111练习：1。</p><p>13、第二课时求空间角与距离【选题明细表】知识点、方法题号利用向量法求直线与平面所成角2利用向量法求距离1综合应用3,4【教师备用】 (2016邢台摸底考试)如图,已知四棱锥PABCD的底面为菱形,BCD=120,AB=PC=2,AP=BP=.(1)求证:ABPC;(2)求二面角BPCD的余弦值.(1)证明:取AB的中点O,连接PO,CO,AC,因为APB为等腰三角形,所以POAB,又四边形ABCD是菱形,BCD=120,所以ACB是等边三角形,所以COAB.又COPO=O,所以AB平面PCO,又PC平面PCO,所以ABPC.(2)解:易求得PO=1,OC=,所以OP2+OC2=PC2,所以OPOC.以O为坐标原点,以OC所在直线为x轴,OB所在直线为y轴,OP所在直线。</p><p>14、3.2立体几何中的向量方法（四）求二面角复习旧知1. 二面角、二面角的平面角的有关概念二面角：从一条直线出发的两个半平面组成的空间图形.二面角的平面角：在二面角的棱l上任取一点O，以O的垂足，在半平面a和b内分别作垂直于棱l 的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的角AOB叫做二面角的平面角 特别地，平面角是直角的二面角叫直二面角注意：二面角的大小是通过其平面角的大小来度量；二面角的取值范围是0, p.2.平面的法向量如果表示向量 的有向线段所在直线垂直于平面a则称这个向量垂直于平面，记作 a；如果a，那么向量叫做平面的法向量注意：。</p><p>15、8.7 立体几何中的向量方法,基础知识 自主学习,课时训练,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：在直线上任取一 向量作为它的方向向量. (2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面内两不共线向量，n 为平面的法向量，则求法向量的方程组为,知识梳理,非零,2.用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2(或l1与l2重合)_________. (2)设直线l的方向向量为v，与平面共面的两个不共线向量v1和v2，则l或l . (3)设直线l的方向向量为v，平面。</p><p>16、利用空间向量证明空间中的位置关系(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016泉州模拟)设平面的一个法向量为n1=(1,2,-2),平面的一个法向量为n2=(-2,-4,k),若,则k=()A.2B.4C.-2D.-4【解析】选B.由知n1n2,则n2=n1.即(-2,-4,k)=(1,2,-2),即解得k=4.【加固训练】若平面,垂直,则下面可以是这两个平面的法向量的是()A.n1=(1,2,1),n2=(-3,1,1)B.n1=(1,1,2),n2=(-2,1,1)C.n1=(1,1,1),n2=(-1,2,1)D.n1=(1,2,1),n2=(0,-2,-2)【解析】选A.因为,所以n1n2,即n1n2=0,经验证可知,选项A正确.2.(2016西安模拟)若平面,的法向量分别是n1=(2,-3,5),n2=(。</p><p>17、第三章 空间向量与立体几何,3.2 立体几何中的向量方法,第一课时,复习巩固,建系，求相关点的坐标；,运用向量运算解题.,求相关向量的坐标；,1、运用向量的坐标运算解题的步骤:,2、如图，正三棱柱中，D,E分别是A1B1 与A1C1的中点，求BD与CE所成角的余弦 值。,如何求E的坐标？,如何建系？,问题提出,1.立体几何研究的主要问题有共点， 共线，共面，平行，垂直，夹角，距离等，这些问题都与空间向量有着密切的内在联系，从而可以用向量方法解决立体几何问题.,2.立体几何研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形.为了用空间向量。</p><p>18、3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程学习目标1.掌握直线的方向向量、直线的向量方程有关概念，并会用数学语言表述2.能正确运用向量方法证明线与线、线与面、面与面的平行和垂直关系3.能根据具体问题合理选定基底教学过程1.用向量表示直线或点在直线上的位置在平面向量的学习中，我们得知 M、A、B三点共线 A、B是直线l上任意两点。O是l外一点.动点P在l的充要条件是，称作直线l的向量参数方程式，实数t叫参数。给定一个定点A和一个向量a，如图所示，再任给一个实数t,以A为起点作向量这时点P的位置被完全确定。</p>