偏导数与全微分

偏导数与全微分Tag内容描述：<p>1、专业精神 诚信教育 高等数学内部教材 严禁翻印蚀螁膀莇螂羆肆莆蒂蝿肂莅蚄肅莀莄螇袇芆莄衿肃膂莃蕿袆肈莂蚁肁羄蒁螃袄芃蒀蒃肀腿葿薅袂膅葿螇膈肁蒈袀羁荿蒇蕿螃芅蒆蚂罿膁蒅螄螂肇薄蒄羇羃薃薆螀节薃蚈羆芈薂袁袈膄薁薀肄肀薀蚃袇莈蕿螅肂芄薈袇袅膀蚇薇肀肆芄虿袃羂芃袁聿莁节薁羁芇芁蚃膇膃芀螆羀聿芀袈螃莈艿薈羈芄莈蚀螁膀莇螂羆肆莆蒂蝿肂莅蚄肅莀莄螇袇芆莄衿肃膂莃蕿袆肈莂蚁肁羄蒁螃袄芃蒀蒃肀腿葿薅袂膅葿螇膈肁蒈袀羁荿蒇蕿螃芅蒆蚂罿膁蒅螄螂肇薄蒄羇羃薃薆螀节薃蚈羆芈薂袁袈膄薁薀肄肀薀蚃袇莈蕿螅肂芄薈袇袅膀蚇薇肀肆芄。</p><p>2、第五节 复合函数的偏导数和全微分 证 一、链式法则 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 如 以上公式中的导数 称为全导数全导数. . 上定理还可推广到中间变量不是一元函数 而是多元函数的情况： 链式法则如图示 特殊地 即 令 其中 两者的区别 区别类似 解 解 解令 记 同理有 于是 全微分形式不变形的实质： 无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的. 二、全微分形式不变性 解 1、链式法则（分三种情况） 2、全微分形式不变性 （特别要注意课中所讲的特殊情况） （理解其实质） 三、小结 思考题 思考题解。</p><p>3、8.2 偏导数与全微分 偏导数 全微分 1CH1_ 一 偏导数 1 定义 定义1 设在点的某个邻域内有 定义， 若 存在， 则称此极限值为在点处关于的偏导数， 记为 ,， 若 （水平变化率） 2CH1_ 存在， 则称此极限值为在点处关于的偏导数， 记为 ,， 若在区域D上每一点处的偏导数都存在， 则在区域D上有偏导函数 (固定对求导) (固定对求导) 3CH1_ 例1 设求 解 例2 设求 解 4CH1_ 例3 设求 解 例4 设求 解 5CH1_ 例5 设，求 解 6CH1_ 注： 未必有在点处的偏导数存在， 在点处的连续。例如： 在点处不连续，但是 7CH1_ 2 高阶偏导数 一阶偏导数: 二阶偏导。</p><p>4、第五节 复合函数的偏导数和全微分 证 一、链式法则 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 如 以上公式中的导数 称为全导数全导数. . 上定理还可推广到中间变量不是一元函数 而是多元函数的情况： 链式法则如图示 特殊地 即 令 其中 两者的区别 区别类似 解 解 解令 记 同理有 于是 全微分形式不变形的实质： 无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的. 二、全微分形式不变性 解 1、链式法则（分三种情况） 2、全微分形式不变性 （特别要注意课中所讲的特殊情况） （理解其实质） 三、小结 思考题 思考题解。</p><p>5、第五节 复合函数的偏导数和全微分 证 一、链式法则 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 如 以上公式中的导数 称为全导数全导数. . 上定理还可推广到中间变量不是一元函数 而是多元函数的情况： 链式法则如图示 特殊地 即 令 其中 两者的区别 区别类似 解 解 解令 记 同理有 于是 全微分形式不变形的实质： 无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的. 二、全微分形式不变性 解 1、链式法则（分三种情况） 2、全微分形式不变性 （特别要注意课中所讲的特殊情况） （理解其实质） 三、小结 思考题 思考题解。</p><p>6、第十三讲 多元函数偏导数与全微分 多元函数极限与连续性 偏导数与全微分 抽象符合函数的偏导数与全微分 高阶偏导数，求偏导次序无关性 （1）邻域 一、多元函数的概念 （2）区域 例如， 即为开集 （5）二元函数的定义 类似地可定义三元及三元以上函数 例1 求 的定义域 解 所求定义域为 （6） 二元函数 的图形 （如下页图） 二元函数的图形通常是一张曲面. 二、多元函数的极限 说明： （1）定义中 的方式是任意的； （2）二元函数的极限也叫二重极限 （3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似 例2 求证 证 当 时， 原结论成立 例3 求极限 。</p><p>7、7.5 高阶偏导数与高阶全微分 一、高阶偏导数 二、高阶全微分 三、二元函数的泰勒公式 一、高阶偏导数 例1 解 先求一阶偏导数 因此 例2 解 例3 解 因此 由此可得 从而 二、高阶全微分 例4 解 记 因此 三、二元函数的泰勒公式 定理7.6 其中。</p><p>8、5.3 偏导数与全微分 5.3.1偏导数,在前面一元函数部分, 由函数关于自变量的变化率问题引 进了导数的概念. 现在我们考虑二元函数的变化率.假定两个 自变量中只有一个改变, 而另一个保持不变而得到的“导数” 称为偏导数。,定义6.3.1 设函数z=f(x, y)在点 的某个邻域内有定 义. 如果固定 后, 一元函数 在点 处可导, 即极限 存在, 则称此极限值为函数z=f(x, y)在点 处关于自变 量x的偏导数,例5.3.1 求函数 在点(1,2)处的偏导数。,解 求 时, 把y看作常数,对x求导得,求 时, 把x看作常数, 对y求导得,将x=1,y=2分别待入上面两式，得,解 设中间变量。</p><p>9、1.偏导数和全微分的概念,一.偏导数 设二元函数 在区域 有定义 是 的内点.若 (常数),一元函数 在 可导,即极限 存在,则称此极限是函数 在 关于 的偏导数,表为 类似若 (常数),一元函数 在 可导,即极限 存在,则称此极限是函数 在 关于 的偏导数,表为,若函数 在区域 任意 都存在关于 (关于 )的偏导数,则称函数 在区域 存在关于(关于 )的偏导数,也简称偏导数,表为 一般情况下 元函数 在点 关于 的偏导数 是极限 由此可见,多元函数的偏导数就是多元函数分别关于每一个自变量的导数,因此可按一元函数的求导法则和求导公式来求偏导数,二.全微分 对。</p><p>10、72,偏导数与全微分,一偏导数, 一元函数y=f(x)只存在y随x变化的变化率， 即点x沿x轴移动的一个方式下的变化率（变化快慢）,1. 一元函数变化率与多元函数变化率, 二元函数z=f(x,y)存在z随x变化的变化率随 y变化的变化率随xy同时变化的变化率。,即点M(x,y)在域D内可沿x轴沿y轴沿其它直线 方向移动的多个方式下的变化率。因而研究二元 函数的变化率问题，需区别沿哪一个方向的变化， 比一元函数时复杂得多。,o,x,y,z,M,P,D, 一元函数变化率问题是研究二元函数变 化率问题的基础,对于曲面z=f(x,y)，当我们用过点(0,y0 ,0)而平 行于xoz面(垂直于。</p><p>11、1,第三节 偏导数与全微分,一、偏导数,或,处对x的偏导数，记为,2,偏导函数：,或,2.偏导数的概念可以推广到二元以上函数.,说明：,1.偏导数实质上仍然是一元函数的微分问题.,3,一阶偏导数的几何意义,偏导数的几何意义是: 表示曲面z=f(x,y)与平面y=y0的交线在空间点M0(x0,y0,f(x0,y0)处的切线Tx的斜率，如图所示.,4,表示曲面z=f(x,y)与平面x=x0的交线在空间点M0(x0,y0,f(x0,y0)处的切线Ty的斜率，如图所示.,5,解,例1,6,证,所以原结论成立,例2,7,解,例3,8,解,例4,9,求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求.,解,例5,同理,10,多元函数中在某点偏。</p><p>12、8.2 偏导数与全微分,一、偏导数的概念,二、高阶偏导数,三、全微分,偏增量,定义 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0，而x在x0处有增量x时，相应函数有增量,称为关于x的偏增量记为,相应的,即,一、偏导数的定义及其计算法,1.偏导数的定义,如果极限,存在，则称此极限值为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数.记作,即,记为,类似地，函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数为,如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)都存在对x的偏导数，即,存在，显然这个偏导数仍是x，y的函数，称它为函数z=f(x,y)对x的偏导函数，记作,2。</p><p>13、医用高等数学,”,第二节 偏导数与全微分,一、偏导数的概念,二、偏导数的几何意义,三、高阶偏导数,四、全微分,一、偏导数的概念,定义4-4 设函数,在点,的某一邻域,内有定义，当,固定在,而,在,处有增量,时，相应,地函数有增量,如果,存在，则称此极限为函数,在点,处对,的偏导数(partial derirative)，记作,或,同样，当,固定在,，而,在,处有增量,时，如果,极限,存在，则称此极限为函数,在点,处对,的,偏导数，记作,或,偏导数是函数,沿着两个特殊方向的变化率，,即一个平行于,，另一个平行于,轴的变化率,如果函数,在区域,内每一点,都有关于,的偏。</p><p>14、第三节 多元数量值函数的导数与微分,3. 1 方向导数与偏导数,对方向导数定义的三点说明：,若在对 的偏导数中，改记 ，由于此时 ，从而由方向导数的定义可得,作 业,习 题 5.3（P44-45）,1（3）（6）（9）（12）； 2；,3. 2 全微分,由一元函数微分学中增量与微分的关系得,定义3.3(全微分),可偏导与连续的关系,一元函数: 可导必定连续，,多元函数: 可偏导不一定连续,解：,全微分在近似计算中的应用,解,故,3. 3 梯度及其与方向导数的关系,作 业,习 题 3.5（P44-45）,3（2）； 4（4）； 5； 6 ； 9 ； 11； 12。</p><p>15、5.2 二元函数的偏导数与全微分,一、偏导数 二、高阶偏导数 三、全微分 四、全微分在近似计算中的应用,5.2 二元函数的偏导数与全微分,一、偏导数,1、偏导数的定义,5.2 二元函数的偏导数与全微分,5.2 二元函数的偏导数与全微分,5.2 二元函数的偏导数与全微分,偏导数的概念可以推广到二元以上函数,如函数 在点 处,5.2 二元函数的偏导数与全微分,例1 求,解法1,解法2,在点(1 , 2)处的偏导数.,5.2 二元函数的偏导数与全微分,例2 设,证,例3 求,的偏导数 .,解,求证:,5.2 二元函数的偏导数与全微分,偏导数记号是一个,例4 已知理想气体的状态方程,求。</p><p>16、对一元函数：,导数,对于多元函数，我们同样感兴趣它在某处的瞬时变化率问题，,6-4 偏导数与全微分,1. 一阶偏导数(偏微商)的定义,或,或,偏导数，记为,或,求偏导方法：只需将其它变量视为常数，按一元函数求导则可.,例1,解,例2 设,解,例3,解法1,解法2,(先代后求),(先求后代),例4 设,解,例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的,偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .,偏导数定义为,(请自己写出),例5,解,二元函数偏导数的几何意义:,是曲线,在点 M0 处的切线,对 x 轴的斜率.,在点M0 处的切线,斜率.,是曲线,对 y 轴的,。</p><p>17、5.3 偏导数与全微分 5.3.1偏导数,在前面一元函数部分, 由函数关于自变量的变化率问题引 进了导数的概念. 现在我们考虑二元函数的变化率.假定两个 自变量中只有一个改变, 而另一个保持不变而得到的“导数” 称为偏导数。,定义6.3.1 设函数z=f(x, y)在点 的某个邻域内有定 义. 如果固定 后, 一元函数 在点 处可导, 即极限 存在, 则称此极限值为函数z=f(x, y)在点 处关于自变 量x的偏导数。</p><p>18、四、小结 思考题,一、偏导数,三、高阶偏导数,6.4 偏导数与全微分,二、全微分,一、偏导数,1.【偏导数的定义】,(1)【二元函数在一点处的偏导数】,(2)【二元函数在区域内的偏导数】,注意求偏导的方法！,偏导数的概念可以推广到二元以上函数,如u = f (x , y , z) 在(x , y , z) 处,(3)【多元函数的偏导数】,例1 . 求,解法1,解法2,在点(1 , 2) 处的偏导数.,先求后代,先代后求再代,【解】,不存在,例7.9 例7.10 例7.11,2.【有关偏导数的几点说明】,(1),(2),求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；,解,例如,一元函数中在某点可导 连续，,多元函。</p>