数值分析课件

数值分析课件Tag内容描述：<p>1、Ch1、引 论1、数值分析及其特点1、数值分析及其主要内容数值分析也称计算方法，主要研究用计算机求解数学问题的数值方法及理论，内容主要包括：(1)数值逼近插值与拟合、多项式逼近、有理逼近等(Ch2Ch3)；(2)数值积分与微分(Ch4)；(3)数值代数求解方程(组)以及特征问题的数值方法(Ch6Ch9)；(4)常微分方程的数值解法(Ch5)。2、数值分析的特点(1)首先要有可靠的理论分析，以确保算法在理论上的收敛性和数值稳定性；(2)其次要对计算结果进行误差估计，以确定其是否满足精度；（见例3）(3)还要考虑算法的运行效率，即算法的计算量与存储量。例。</p><p>2、第九章 线性与非线性方程组的迭代解法 /* iteration methods for the solution of linear or nonlinear systems */ Linear systems： A x = b Matrix form Ax=b A x* =b x(k+1)=f(x(k) ) x(k), k=0,1,2, hopefully, limx(k)=x* Iterative method: given a linear system Ax=b, design an iteration formula x(k+1)=f(x(k) and choose an initial approximate solution x(0). iteration results in a series approximate solutions x(k)|kZ which approaches to the real solution x* hopefully. x(0 ) How to design the iteration formul。</p><p>3、主讲教师：经玲 教授 jingling_student163.com 数值分析 Numerical Analysis 数值分析 李庆扬 王能超 易大义 编 清华大学出版社(第5版) 教 材 Numerical Methods for Numerical Methods for EngineeringEngineering， S Steventeven C C Chapra Chapra, , Raymond P Raymond P CanaleCanale. . McGraw- McGraw- Hill, 1998Hill, 1998 数值计算原理数值计算原理 李庆阳，关治，白峰杉编著清李庆阳，关治，白峰杉编著清 华大华大 学大学出版社学大学出版社 数值分析基础，数值分析基础， 关治，陆金甫关治，陆金甫 著著 ，高等教育出版社，。</p><p>4、Numerical Analysis 7.1 数 值 分 析 Numerical Analysis 机械与汽车工程学院 主讲人：孔胜利 kongslspu.edu.cn 2012-09-01 数值分析 Numerical Analysis 7.2 第7章 非线性方程求根 求根的基本问题及分析方法 迭代法 Newton法 弦截法与抛物线法 数值分析 Numerical Analysis 7.3 7.1 求根的基本问题及分析方法 方程的求根大致包括方程的求根大致包括3 3个基本问题：个基本问题： 根的存在性 方程有没有根？有的话，有几个？ 根的隔离 求出几个互不相交的区间，使每个区间中只有一个根。 根的精确化 在求出精度不高的近似根的基础上，逐步。</p><p>5、第十章,常微分方程数值解法,（Numerical Methods for Ordinary Differential Equations ）,问题驱动：蝴蝶效应,洛伦兹吸引子(Lorenz attractor)是由MIT大学的气象学家E dward Lorenz在1963年给出的，他给出第一个混沌现象蝴 蝶效应。,图10.1.1蝴蝶效应示意图,洛伦兹方程是大气流体动力学模型的一个简化的常微分方程组：,该方程组来源于模拟大气对流，该模型除了在天气预报中有显 著的应用之外，还可以用于研究空气污染和全球侯变化。洛伦 兹借助于这个模型，将大气流体运动的强度x与水平和垂直方 向的温度变化y和z联系了起来。参数,称为普。</p><p>6、第二章,插值,1 引 言,一、引例,已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下： 深度（M） 466 741 950 1422 1634 水温（oC）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13 根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如500米，600米，1000米）处的水温.,这就是本章要讨论的“插值问题”,问题驱动：汽车的刹车距离,司机驾驶汽车时需要根据车速估计汽车的刹车距离以确保行车安全。,图2.1.1 某车型干燥路况刹车距离示意图,美国的某司机培训课程的有如下驾驶规则：正常的驾驶条件下对车与车之间的距离的要求是每小时10英里的速率可以允许一辆车的跟随距离。实现这一规。</p><p>7、1,5.2 Runge-Kutta法,考虑改进Euler法,2,形如(1)式的求解公式称为二阶Runge-Kutta法,对于Simpson求解公式：,这是隐式多步法,选取适当的显化方法,可得类似(1) 的高阶Runge-Kutta方法,以下使用中值定理进行推导,3,一、Runge-Kutta方法的导出,为了同学们课后复习的方便,以下的内容将k写成n.,4,5,二、低阶Runge-Kutta方法,即,6,(由(5)式),7,和(1)式一致,即改进Euler公式,也称为二阶Runge-Kutta法,8,三、高阶Runge-Kutta方法,9,令,10,取,(7)式称为三阶Runge-Kutta方法,11,12,13,-(9),14,因而方法(10)有4阶精度,15,例1. 使用高阶R-K方法计算初值。</p><p>8、第六章 逐次逼近法,计算机数值方法,2,本章要点,非线性方程的数值方法,简单迭代法、 Newton迭代法,P254. 2. 4. 9. 14.(1) 17. 21(3).,本章作业,线性方程组的迭代法:,简单迭代法:G-J迭代法、G-S迭代法、,3,6.1 基本概念,“范数“是对向量和矩阵的一种度量,实际上是二维 和三维向量长度概念的一种推广,数域:,数的集合,对加法和乘法封闭,线性空间:,可简化为向量的集合,对向量的加法和 数量乘法封闭,二维向量和三维向量都可以度量其大小和长度,高维向量的“长度“能否定义呢?,也称为向量空间,4,定义1.,一、向量和矩阵的范数,5,6,显然,并且由于,。</p><p>9、1,2.5 平方根法,一、对称正定矩阵的三角分解(Cholesky分解),2,3,因此,4,Diagonal:对角,5,所以,6,这种关于对称正定矩阵的分解称为Cholesky分解,7,8,9,二、对称正定线性方程组的解法,线性方程组,10,对称正定方程 组的平方根法,11,解:,12,即,13,所以原方程组的解为,14,本例中出现了大量的根式运算,原因为,考虑改变分解方式,15,三、平方根法的数值稳定性,用平方根法求解对称正定方程组时不需选取主元,16,2.6 追赶法(Thomas算法),对角占优矩阵:,补充,17,有一类方程组,在今后要学习的插值问题和边值问题中 有着重要的作用,即三对角线方程组,其形。</p><p>10、数值分析教案第一章 绪论1。数值分析的对象与特点随着计算机的发展，人们对计算方法的需要就显的越来越重要，同一个问题选择的计算方法不同所得结果就完全不一样。当然人力，物力，财力等的消耗也不尽相同。数值分析课程的主要内容就是研究如何较好的处理数学模型问题。它是数学的一个重要分支，其内容不像纯数学那样只研究理论，而是着重研究求解的数值方法及相关的理论。这些理论包括方法的收敛性，稳定性及误差分析。数值分析课程的特点：既有纯数学高度抽象性与严密科学性的特点，又有应用的广泛性与实际实验的高度技术性的特点，是一。</p><p>11、手 机：13969605386 邮 箱：qd-liguiling163.com 办公室：J13-110,数 值 分 析 李桂玲,数值分析：数值计算方法,基础：分析、代数知识 工具：MATLAB数学软件,预备知识：,第一章,绪论,1.数值分析的背景,2.误差,1,数值分析的来源、发展 及其实际应用背景,一、举例：,已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下： 深度（M） 466 741 950 1422 1634 水温（ ）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13 根据这些数据，希望合理地估计出其它深度 （如500米, 600米， 1000米）处的水温。,计算数学,二、现代科学研究的三大支柱,21世纪信息社会的两个主要特征： “计。</p><p>12、第一章 绪论习题一1.设x0,x*的相对误差为，求f(x)=ln x的误差限。解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有已知x*的相对误差满足，而，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？（1）（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。（1）（2）4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。5.计算取，。</p><p>13、第一章 基本知识（一）,一 绪论 二 误差的来源 三 误差危害的防止,辫绥删萄人芯簧洽尚蔷遗禹帅帚拱单饮弛措摧缄暗榜狼致与协陛芋沧舰皇清华第五版数值分析第1章课件清华第五版数值分析第1章课件,2019/3/26, Wuhan University Confidential,2,提问：数值分析是做什么用的？,这门课程的主要内容是研究使用计算机求解各种数学问题的数值方法，(要求方法能在计算机上实行，计算机只能做加减乘除和逻辑运算)对求得解的精度进行评估，以及如何在计算机上实现求解等。,识懊悉圆捅席榷弹亿脾僳坠椿帖寞翔雇漂掌继根垛税斯益磐师氦规剐靳酥清华第五。</p><p>14、第四章 数值积分和数值微分,为什么要数值积分？,要求被积函数f(x) 有解析表达式； f(x)的原函数F(x)为初等函数,问题 1) f(x)没有解析表达式，只有数表形式 e.g.,2) f(x)有表达式，但原函数不是初等函数 e.g.， 它们的原函数都不是初等函数。,解决办法,1) 我们用不同的办法近似 可得到不同的积分公式。 2）用简单曲线的积分代替复杂曲线的积分。,求积公式举例,1）梯形公式 2）中矩形公式 3）一般公式,求积节点， 求积系数，也称为节点 的权，权仅与节点的选取有关，不依赖于被积函数的具体形式。 这种数值积分方法称为机械求积，特点是积分。</p><p>15、1,第三章 插值法和最小二乘法,3.1 插值法,3.2 插值多项式中的误差,3.3 分段插值法,3.4 Newton插值,3.6 三次样条 插值,3.7 数据拟合,2,本章要点,掌握有关插值法的一些基本概念,及多项式 插值的基础理论和几个常用的插值方法: Lagrange插值、分段线性插值、Newton插值、 掌握拟合的最小二乘法,P122. 1. 5. 7. 8. 25. 27.,本章作业,3,3.1 插值法,一、插值问题,4,5,整体误差的大小反映了插值函数的好坏,6,二、代数插值多项式的存在唯一性,为了使插值函数更方便在计算机上运算,一般插值函 数都使用代数多项式和有理函数,本章讨论的就是代数插值。</p><p>16、1,二、分段二次Lagrange插值,分段线性插值的光滑性较差,且精度不高,因此,当节点较多时,可根据情况构造分段二次插值,构造Lagrange二次插值,1. 分段二次插值的构造,2,上式称为分段二次Lagrange插值,显然,插值区间,3,一般,4,外插,内 插,外插,5,2. 分段二次插值的误差估计,由于,6,例:,7,(2). 分段二次Lagrange插值的公式为,8,9,分段低次Lagrange插值的特点,计算较容易,可以解决Runge现象,但插值多项式分段,插值曲线在节点处会出现尖点,插值多项式在节点处不可导,10,3.4 Newton插值法,那么，是否可以将这n+1个多项式作为插值基函数呢？,11,12,1。</p><p>17、解线性方程组的直接法 /* Direct Method for Solving Linear Systems */,求解,1 高斯消元法 /* Gaussian Elimination */, 高斯消去法 ：,消元,记,Step k：设 ，计算因子 且计算,共进行 ？ 步,n 1,Gauss消去法,消元过程（1）,消元过程（1）,消元过程（1）,消元过程（1）,消元过程（2）,消元过程（2）,消元过程（2）,消元过程（3）,消元过程（4）,回代过程（1）,回代过程（2）,回代过程（3）,若A的所有顺序主子式 /* determinant of leading principal submatrices */ 均不为0，则高斯消元无需换行即可进行到底，得到唯一解。,回代,No uniqu。</p><p>18、第五章 线性代数方程组的数值解法,引言,关于线性方程组的数值解法一般有两类。 直接法：经过有限步算术运算，可求得方程组的精确解的方法（若在计算过程中没有舍入误差）. 代表性的算法是高斯(Gauss)消去法。计算代价高. 迭代法：用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法. 简单实用。,5.1 高斯消去法,上三角方程组的回代求解：,则,设 Ax=b. 记A(1)=A b(1)=b,第二步：,则,重复上述过程, 最后得,原方程组的同解方程组,消元过程,Gauss 消去法,上三角方程组的回代求解：,定理：若A的各阶顺序主子式不等于0，则高斯消去法能顺序进行消。</p>