同济大学微积分第三版课件第

同济大学微积分第三版课件第Tag内容描述：<p>1、第十节 函数的极值与最大最小值 本节要点 本节引入函数的极值, 并通过函数的一阶及二阶导函 一、函数的极值与求法 二、函数的最大值, 最小值及求法 三、应用 数的符号去讨论函数的极值情况. 一、函数的极值与求法 定义 设函数 在点 的某个邻域 内有定 或 则称 是函数 的一个极大值（极小值）, 点 义, 如果对任意的 有 是 的一个极大值点（极小值点）; 极大值和极 小值通称为极值; 极大值点和极小值点通称为极值点. 值得注意的是: 函数的极值是一个局部性的概念. 极小值 极大值 但是函数的驻点未必是它的极值点. 例如函数 在本章的第五节中。</p><p>2、第四节 有理函数的不定积分,本节要点,本节通过有理函数的高斯分解建立了有理函数的积分,一、有理函数的不定积分,二、可化为有理形式的三角函数的积分,三、可化为有理形式的简单无理函数的积分,方法, 并讨论某些可以化为有理函数的积分.,一、有理函数的不定积分,1.有理函数的部分分式分解方法,有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数, 即具,其中 为非零整数, 都是实数, 且,有如下形式的函数:,有理函数可以分解成多项式与若干个部分分式之和,假设多项式 之间没有公因式, 且 的,的次数大于或等于 的次数, 此时称该有理函,有理函数的原函数。</p><p>3、第六节 微积分基本定理,本节要点,本节通过积分上限函数, 证明了连续函数的原函数的,其中 为 的一个原函数.,存在性, 更进一步地得到微积分基本公式牛顿莱,伯尼茨公式,一、问题的提出,在上一节中, 我们看到: 物体在时间间隔 内经,但是, 这段路程又可视为位置函数 在区间 上,的增量 即,过的路程为速度函数在区间 上的定积分,又 即位移函数是速度函数的原函数, 所以上,值得提出的是: 该问题是否具有一般意义, 即: 若函,的定积分是否可以表达为它的原函数在区间 上的,述关系表示为速度函数 在区间 上的定积分等,于 的原函数 在区间 上的增量.,。</p><p>4、第四节 有理函数的不定积分,本节要点,本节通过有理函数的高斯分解建立了有理函数的积分,一、有理函数的不定积分,二、可化为有理形式的三角函数的积分,三、可化为有理形式的简单无理函数的积分,方法, 并讨论某些可以化为有理函数的积分.,一、有理函数的不定积分,1.有理函数的部分分式分解方法,有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数, 即具,其中 为非零整数, 都是实数, 且,有如下形式的函数:,有理函数可以分解成多项式与若干个部分分式之和,假设多项式 之间没有公因式, 且 的,的次数大于或等于 的次数, 此时称该有理函,有理函数的原函数。</p><p>5、第二节 求导法则,本节要点,本节从函数导数的定义出发, 讨论各类函数的求导方,一、函数的四则运算的求导法则,二、反函数的求导法则,三、复合函数的求导法则,法, 主要内容有:,一、函数的线性组合、积、商的求导法则,设函数 在点 处可导, 考虑这两个函数的,1.设 , 则 可导, 且有,线性组合、积、商在点 处的导数.,事实上,2.设函数 , 则 可导, 且有,3.设 , 则 可导, 且,解,例1 求 的导数.,解,例2 求 的导数.,同理有,二、反函数的导数,设函数 在区间 内单调、连续, 则其反函,内单调, 连续: 若设 在区间 内可导, 且,今来讨论 的可导性.,给 以增量。</p><p>6、第七节 定积分的换元法 与分部积分法,本节要点,牛顿公式建立了不定积分与定积分之间的关系, 本节,一、定积分的换元积分法,二、定积分的分部积分法,在此基础上建立了定积分的计算方法: 换元积分法和分,部积分法.,一、定积分的换元法,定理 设函数 如果函数 满足:,从 单调增加地变到 ;,则,公式称为定积分的换元公式.,且当 从 变到 时, 对应的,证 由条件, 式中等式两边的定积分存在, 且原函数,另外, 对 与 的复合函数 求导,即 是 的一个原函数. 所以,也存在. 设 是 的一个原函数, 则,由复合函数求导法则, 得,故原式成立.,当 时, 公式仍然成立.。</p><p>7、第一节 不定积分的概念,本节要点,本节通过原函数引出了不定积分的概念, 并得到不定,一、原函数与不定积分,二、不定积分的计算,积分的简单性质.,一、原函数与不定积分,1.原函数,在第二章中曾提出在已知 求 的求,导问题, 而现在的问题是 已知, 求满足,的,这类问题就是求原函数问题.,即对任一 都有,定义 如果在区间 上的可导函数 的导函数为,或,则称函数 为 在区间 上的一个原函数.,例1 函数 的一个原函数为,又如,这是因为,故, 的原函数为,我们知道, 对函数而言, 如果导函数存在的话, 导函,数是唯一的, 但某个函数的原函数是否唯一呢？为此,。</p><p>8、第三节 不定积分的分部积分法,本节要点,本节通过函数乘积的导数公式建立了不定积分中的重,要积分公式分部积分公式,设函数 具有连续的导函数, 则由乘,移项后, 两边积分得:,分部积分公式,积的导数公式, 有,上式即称为不定积分的分部积分公式.,注1 分部积分法的关键是如何选择好 使得,一般地, 可按反（三角函数）, 对（数函数）三（角,比 容易求得.,函数）, 指（数函数）的顺序来选择,常见积分及相应规则如下:,将指数函数或三角函数视为 交换后对幂函数求导;,将幂函数视为 交换后对对数函数或反三角函数求导.,例1 求积分,解 取,则,注意到, 若。</p><p>9、第六节 微分中值定理,本节要点,本节主要讨论在微分学中起着重要作用的几个中值定,一、费马引理,二、罗尔定理,三、拉格朗日中值定理,四、柯西中值定理,理:,一、费马引理,首先, 让我们来观察这样一个几何事实. 如图所示:,我们看到在曲线弧的最高点 或最低点处,的横坐标为 则有,连续曲线弧 是函数 的图形, 如果,曲线有水平切线. 若记点,进一步观察,当 时, 又看到在曲线弧,上, 至少有一点 弧 在该点处的切线 平行于弦,由此启发我们考虑这样一个,又切线 的斜率是 以 记 的横坐,标, 则有,理论上的问题: 设,是否存在,使等式,成立？下面我们从理论。</p><p>10、第四节 高阶导数,本节要点,本节引入高阶导数的概念及计算方法, 并给出高阶导,数的莱布尼兹公式.,高阶导数,记为 或,若 在 处都可导, 则由极限,则很自然地会考虑函数 的可导性. 若 在 处可导,若函数 在区间 中点点可导, 即,则称 在 处的导数为 在 处的二阶导数,由定义, 知,同样可以定义三阶、四阶导数, 及更高阶的导数.,确定了一个以 为定义域的函数, 称其为 的二阶导,函数, 简称为二阶导数. 记为,按照定义, 我们有,为了记号上的方便, 我们约定,例1 求函数,解,的三阶导数.,例2 求函数,解,例3 求 的 阶导数.,解,的二阶导数.,例4 求 的 阶导数。</p><p>11、序言,微积分是一门以变量为研究对象、以极限方法作为基,本研究手段的数学学科. 应用极限方法研究各类变化率,问题和几何学中曲线的切线问题, 就产生了微分学; 应,用极限方法研究诸如曲边图形的面积等这类涉及到微小,量无穷积累的问题, 就产生了积分学; 可以说, 整个微,积分学是建立在极限理论的基础之上的. 由此可以理解,为什么每本微积分教程都以极限理论作为其开始部分的,在本章中, 我们将介绍极限的概念、性质和运算法则.,在本章的最后部分将引入一类最重要的函数,内容.,介绍与极限概念密切相关、且在微积分运算中扮演重要,角色的无穷小。</p>